3.1直線傾斜角與斜率 3.1.1傾斜角與斜率

曾麗潔

【中圖分類號】 G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號】 1992-7711（2019）16-171-03

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【教材依據(jù)】本節(jié)教學(xué)設(shè)計(jì)來源于人教A版數(shù)學(xué)必修2第三章第一節(jié)第一課時(shí)傾斜角與斜率。

一、設(shè)計(jì)思路

1.指導(dǎo)思想

課堂教學(xué)應(yīng)有利于學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)的形成與發(fā)展，即在課堂教學(xué)中，創(chuàng)設(shè)問題情境，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)發(fā)現(xiàn)問題、解決問題，并充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極主動(dòng)性；有效地滲透數(shù)學(xué)的思想方法，發(fā)展學(xué)生個(gè)性思維品質(zhì)，這是本節(jié)課的教學(xué)指導(dǎo)思想。

2.教材分析

直線的傾斜角和斜率，是解析幾何的重要概念之一，也是直線的重要幾何要素。學(xué)生在原有的對直線的有關(guān)性質(zhì)及平面向量的相關(guān)知識(shí)理解的基礎(chǔ)上，重新以坐標(biāo)化（即解析化）的方式，來研究直線的相關(guān)性質(zhì)。而本節(jié)課的直線的傾斜角和斜率，是直線的重要的幾何性質(zhì)，是研究直線的方程形式，直線的位置關(guān)系等的思維起點(diǎn)。另外，本節(jié)也初步向?qū)W生滲透解析幾何的基本思想和基本方法。因此，本節(jié)課的有著開啟全章，奠定基調(diào)，滲透方法，明確方向，承前啟后的作用。

3.學(xué)情分析

我校屬于肇慶市重點(diǎn)中學(xué)，本節(jié)課的教學(xué)對象為高二年級平行班的學(xué)生，經(jīng)過高一一年的學(xué)習(xí)，他們的學(xué)習(xí)目標(biāo)更明確，對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)變得更有熱情，但數(shù)學(xué)基礎(chǔ)欠扎實(shí)，學(xué)生的反應(yīng)速度較慢。根據(jù)以上特點(diǎn)，教師講解時(shí)要放慢步驟，多加以前后知識(shí)間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學(xué)生直接參與分析、解決問題，給學(xué)生以成功的體驗(yàn)。

4.教學(xué)目標(biāo)

（1）知識(shí)與技能：

①理解直線傾斜角和斜率的概念；②掌握過兩點(diǎn)的直線斜率公式及其應(yīng)用。

（2）過程與方法：

①在平面直角坐標(biāo)系中，觀察具體圖形，并結(jié)合幾何畫板動(dòng)態(tài)演示，在探索以及描述直線的傾斜程度的幾何要素中，抽象出直線傾斜角的概念，明確傾斜角的取值范圍。

②借助日常生活中表示傾斜面的“坡度”問題，引出并描述直線傾斜程度的直線斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法去刻畫直線斜率的過程，明確傾斜角與斜率之間的關(guān)系。

（3）情感、態(tài)度與價(jià)值觀

學(xué)生通過自主探究、合作學(xué)習(xí)及互相交流，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，提高學(xué)生數(shù)學(xué)思維的情趣，給學(xué)生以成功的體驗(yàn)，并強(qiáng)化學(xué)生的主體參與意識(shí)。

（4）現(xiàn)代教學(xué)手段的運(yùn)用

充分利用學(xué)校配備的多媒體平臺(tái)，實(shí)物投影儀，投影儀用于展示學(xué)生的學(xué)習(xí)成果。

5.教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：理解直線傾斜角和斜率的概念，及過兩點(diǎn)的直線斜率的公式。

難點(diǎn)：利用斜率解決實(shí)際問題。

二、教學(xué)準(zhǔn)備

（1）教學(xué)方法：觀察發(fā)現(xiàn)、啟發(fā)引導(dǎo)、探索實(shí)驗(yàn)等相結(jié)合的教學(xué)方法。啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生積極地思考，并對學(xué)生的思維進(jìn)行調(diào)控，使學(xué)生優(yōu)化思維的過程；在此基礎(chǔ)上，通過學(xué)生的交流與合作，從而擴(kuò)展自已的數(shù)學(xué)知識(shí)和使用數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)工具的能力，實(shí)現(xiàn)自覺地、主動(dòng)地、積極地學(xué)習(xí)。

（2）教學(xué)手段：通過學(xué)生主動(dòng)構(gòu)建、自主解決問題，充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位，真正體現(xiàn)以人為本的教育理念。通過操作運(yùn)用《幾何畫板》軟件進(jìn)行數(shù)據(jù)處理、分析等，實(shí)現(xiàn)師生、生生間的互動(dòng)，也反映了新的信息手段對課堂教學(xué)的深遠(yuǎn)影響。

（3）教學(xué)工具：白板、幾何畫板等。

三、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題

【思考】：哪些條件可以確定平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的一條直線的位置呢？

[設(shè)計(jì)意圖]：“思維從疑問開始”，通過創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生的求知欲，使學(xué)生處于“憤”“悱”的狀態(tài)，此時(shí)需要教師適當(dāng)“啟”“發(fā)”引導(dǎo)學(xué)生理解確定直線的條件。

[學(xué)生活動(dòng)]：學(xué)生自主思考，并分組討論，派代表回答討論的結(jié)果。確定直線位置可有兩種方式：（1）已知直線上兩點(diǎn)；（2）已知直線上一點(diǎn)，和直線的傾斜程度。

【問題1】：如何描述直線的傾斜程度呢？什么是直線的傾斜角呢？它的范圍如何？

[設(shè)計(jì)意圖]：通過讓學(xué)生觀察討論圖形，理解直線傾斜角的定義。

數(shù)學(xué)概念來刻畫事物時(shí)，講求統(tǒng)一美與簡潔美，如何用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確描述這個(gè)角呢？（揭示課題）

1、傾斜角的定義：

在平面直角坐標(biāo)系中，以x軸為基準(zhǔn)，當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，軸正向與直線l向上方向之間所成的角α，叫做直線l的傾斜角。

規(guī)定：（1）當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，它的傾斜角為0.

（2）形成傾斜角的范圍：0≤α<180.

這樣平面直角坐標(biāo)系中，每條直線都有唯一確定的傾斜角α與它對應(yīng)。傾斜程度相同的直線，它們的傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，它們的傾斜角不相等。以上從“形”的角度，定義了一個(gè)用傾斜角刻畫平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一條直線的傾斜程度。

（二）鞏固舊知，同化新知

【問題2】：生活中，我們都有過爬山、爬坡的體驗(yàn)。對于斜坡的傾斜程度，我們可以用什么量來反映？（坡角與坡度）初中對坡度是如何定義的？

[設(shè)計(jì)意圖]：采用發(fā)現(xiàn)法，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)斜率的定義及必要性。

[學(xué)生活動(dòng)]：互相討論日常生活中的爬山坡的坡度大小，得結(jié)論。

坡度（比）

2. 斜率的定義：

我們把傾斜角不是90的直線，其傾斜角的正切值，叫做這條直線的斜率（即k=tanα（a≠90°）。

【問題3】：（運(yùn)用幾何畫板）當(dāng)α∈[0°，180°]變化時(shí)，斜率k如何變化？

[設(shè)計(jì)意圖]：培養(yǎng)學(xué)生觀察概括問題的能力，分類討論思想的應(yīng)用，并培養(yǎng)學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性及科學(xué)性，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。

[學(xué)生活動(dòng)]：通過直觀圖像來研究，分組討論并派代表回答討論的結(jié)果。

老師總結(jié)：

（三）師生互動(dòng)，導(dǎo)出兩點(diǎn)的斜率公式

【問題4】：在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線上兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）且x1≠x2，能否用P1、P2坐標(biāo)，來表示直線斜率k？

思路分析：根據(jù)斜率的定義解決問題，因此首先要構(gòu)造直角三角形。

[設(shè)計(jì)意圖]：使學(xué)生明確已知直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)，用求其斜率的方法；體會(huì)構(gòu)造的過程以及滲透化歸的數(shù)學(xué)思想，向?qū)W生展現(xiàn)數(shù)學(xué)的和諧與對稱美。

[學(xué)生活動(dòng)]：學(xué)生通過討論過兩點(diǎn)的直線斜率公式的推導(dǎo)思想，完成推導(dǎo)過程。隨意在坐標(biāo)系下畫兩點(diǎn)P1、P2及直線P1P2，探究各種圖形并嘗試推導(dǎo)，可以先特殊再一般，也可先一般再特殊地去分析。

3.兩點(diǎn)的斜率公式：

經(jīng)過兩點(diǎn)P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2）的直線的斜率公式是：k=

【思考】：（1）（運(yùn)用幾何畫板）各種一般情形得出的結(jié)論一致嗎？和P1、P2這兩點(diǎn)坐標(biāo)的順序有關(guān)嗎？

（2）當(dāng)直線垂直于x軸或y軸時(shí)，上述結(jié)論適用嗎？

（3）斜率公式使用時(shí)，應(yīng)注意什么問題？

（四）例題鞏固（運(yùn)用白板）

例1：已知A（3，2），B（-4，1），C（0，-1），求直線AB，BC，CA的斜率，并判斷它們的傾斜角是鈍角，還是銳角？

分析：kAB= ，其傾斜角為銳角；kBC=- ，其傾斜角為鈍角；kAC=1，其傾斜角為銳角。

（1）一般結(jié)論：

當(dāng)k=tanα<0時(shí)，其傾斜角α是鈍角；當(dāng)k=tanα>0時(shí)，其傾斜角α是銳角；當(dāng)k=tanα=0時(shí)，其傾斜角α為0°.

（2）利用斜率公式，求直線的斜率時(shí)應(yīng)注意：運(yùn)用公式的前提條件是“x1≠x2”，即直線與x軸不垂直。因?yàn)楫?dāng)直線，與x軸垂直時(shí)，斜率是不存在的。

變式：在△ABC中，已知A（1，-1），B（1，1），C（3，-1），求直線AB、BC、CA的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角，還是鈍角，或直角？

分析：因?yàn)锳、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同，所以直線AB垂直于x軸，傾斜角為90°，即傾斜角為直角，斜率為不存在。因?yàn)锳，C兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，所以直線AC平行于x軸，即垂直于y軸，斜率為0，傾斜角為0°，既不是鈍角，也不是銳角和直角。B，C兩點(diǎn)橫坐標(biāo)不相同，縱坐標(biāo)也不相同，由tanα= =-1，所以直線BC的斜率為-1，傾斜角為135°，即傾斜角為鈍角。

[設(shè)計(jì)意圖]：鞏固本課時(shí)里所學(xué)的基本知識(shí)。

[學(xué)生活動(dòng)]：投影學(xué)生答題結(jié)果，然后講解。

例2：在平面直角坐標(biāo)系中，畫出經(jīng)過原點(diǎn)且斜率分別為1、-1、2，及-3的直線l1、l2、l3及l(fā)4。

分析：要畫出經(jīng)過原點(diǎn)的直線，只要再找出l1上的另外一點(diǎn)M，而M的坐標(biāo)，可以根據(jù)直線l1的斜率確定。

[設(shè)計(jì)意圖]：通過逆向思維，進(jìn)一步加深對本課時(shí)所學(xué)的基本知識(shí)的理解，滲透坐標(biāo)法的逆用，以及數(shù)形結(jié)合思想。

[學(xué)生活動(dòng)]：小組內(nèi)合作完成，并投影小組答題結(jié)果，然后講解。

【例3】（1）若三點(diǎn)A（-2，3），B（3，-2），C ，m共線，則m的值為 。

[設(shè)計(jì)意圖]：讓學(xué)生進(jìn)一步加深，對本課時(shí)所學(xué)的基本知識(shí)的理解。

[學(xué)生活動(dòng)]：投影學(xué)生答題結(jié)果，然后講解。

（五）強(qiáng)化理解，課堂達(dá)標(biāo)

（1）下列說法正確的是（ ）

A.一條直線和x軸的正方向所成的角叫該直線的傾斜角

B.直線的傾斜角α的取值范圍是0°≤α≤180°

C.任何一條直線都有斜率

D.任何一條直線都有傾斜角

（2）已知經(jīng)過兩點(diǎn)（5，m）和（m，8）的直線的斜率等于1，則m的值是 。

（3）已知三點(diǎn)A（a，2），B（3，7），C（-2，-9a）在同一條直線上，則實(shí)數(shù)a的值為 。

（4）已知A（m，-m+3），B（2，m-1），C（-1，4），直線AC的斜率等于直線BC的斜率的3倍，求m的值。

[學(xué)生活動(dòng)]：學(xué)生展示，把有問題的寫到導(dǎo)學(xué)案上，反饋問題。

（六）形成知識(shí)結(jié)構(gòu)，課堂小結(jié)

1、直線的傾斜角與斜率的定義、范圍及兩點(diǎn)的斜率公式；

2、構(gòu)造直角三角形，將斜化為直，是化歸思想的體現(xiàn)。

3、數(shù)形結(jié)合的思想；

（七）布置作業(yè)

思考：已知直線l過點(diǎn)P（-1，2），且與以A（-2，-3），B（3，0）為端點(diǎn)的線段相交，則直線l的斜率的取值范圍是 .

（八）板書設(shè)計(jì)

四、教學(xué)反思

本教學(xué)設(shè)計(jì)先后進(jìn)行了兩次磨課，根據(jù)實(shí)際教學(xué)情況，對教學(xué)設(shè)計(jì)做了幾次修改，而得到的終稿。本節(jié)課是為2018年10月根據(jù)終稿在數(shù)學(xué)科組內(nèi)開展的一節(jié)公開課。學(xué)生通過對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，能很好地去理解直線的傾斜角和斜率的概念，同時(shí)也能理解傾斜角與斜率是分別從幾何以及代數(shù)兩個(gè)不同的角度，來刻畫直線的傾斜程度。從而讓學(xué)生理解解析幾何中，將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，并進(jìn)行研究的數(shù)學(xué)思想，并能在之后的學(xué)習(xí)中逐步利用這種思想來研究解析幾何問題。教學(xué)中緊緊地把傾斜角與斜率概念的得出，作為重點(diǎn)內(nèi)容，并強(qiáng)調(diào)學(xué)生在得到概念這一過程中的積極參與、主動(dòng)探索。通過設(shè)計(jì)一些具有思考價(jià)值的問題，引導(dǎo)學(xué)生的思考步步深入，最后概念在頭腦中呼之欲出，從而讓學(xué)生感受到得出概念這一過程是自然的，是非常清楚的，是水到渠成的。本節(jié)課課堂氣氛較活躍，學(xué)生的參與度強(qiáng)，并充分發(fā)揮了學(xué)生的主觀能動(dòng)性，重難點(diǎn)較突出，教學(xué)目標(biāo)明確，同行認(rèn)可度高，是一節(jié)成功的概念課。