排列、組合的破解之術(shù)

孫劍英

摘? 要：排列、組合，說它難吧，其實挺簡單的，就是分析事件的邏輯步驟，然后用分步乘法計數(shù)原理、分步加法計數(shù)原理計算就可。說簡單吧，排列、組合卻是同學(xué)們最沒把握的事情，同樣難度的幾道題，做順了，三下五除二，幾分鐘內(nèi)解決問題;做不順，則如一團亂麻，很長時間也理不順思路。下面談?wù)勂平獬Ｒ娕帕?、組合模型的常用方法！

關(guān)鍵詞：排列? 組合? 計數(shù)原理

一、特殊元素——優(yōu)先法

對于有特殊要求的元素的排列、組合問題，一般應(yīng)對有特殊要求的元素優(yōu)先考慮。

例1??? 將數(shù)字1，2，3，4，5，6排成一列，記第i個數(shù)為ai（i=1，2，...，6），若a1≠5，a1

解析?? 由題意，a1≠1，a3≠3，a5≠5，a1

第一步，可以先排a1a3a5只有5種方法;第二步，再排a2a4a6有a3種方法。

由分步乘法計數(shù)原理得，不同的排列方法有5A=30（種）答案?30

二、相鄰問題——捆綁法

把相鄰的若干個特殊元素“捆綁”為一個大元素，然后再與其余“普通元素”全排列，最后再“松綁”，將特殊元素在這些位置上全排列。

例2? 記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有

A.1440種???? B.960種???? C.720種???? D.480種

解析? 先將兩位老人排在一起有種排法，再將5名志愿者中的2名安排在兩端有種排法，最后將2位老人視為一個元素，與剩下3名志愿者組成4個元素全排列，有種排法，由分步乘法計數(shù)原理可得，不同的排法有（種）?? 答案?? B

三、不相鄰問題——插空法

某些元素不能相鄰或某些元素要在某個特殊位置時可采用插空法，即先安排好沒有限制條件的元素，然后再把有限制條件的元素按要求插入排好的元素之間。

例3 高三（一）班需要安排畢業(yè)晚會的4個音樂節(jié)目，2個舞蹈節(jié)目和1個曲藝節(jié)目的演出順序，要求兩個舞蹈節(jié)目不連排，則不同的排法的種數(shù)是（? ）

A.1800??? B.3600??? C.4320???? D.5040

解析?? 先排4個音樂節(jié)目和1個曲藝節(jié)目有種方法，這5個節(jié)目之間以及兩端共有6個空位，從中選兩個放入舞蹈節(jié)目，共有種放法。所以兩個舞蹈節(jié)目不相鄰的排法共有（種）??答案? B

四、至多至少問題———間接法

對于某些排列、組合問題的正面情況較復(fù)雜而反面情況較簡單，可先考慮無限制條件的排列，再減去其反面情況的種數(shù)。

例4? 從班委會5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有________種。（用數(shù)字作答）

解析? 從班委會5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員共有種選法，其中甲、乙中有一人擔(dān)任文娛委員的選法有種，故共有（種）選法。? 答案?? 36

五、“隔板法”在計數(shù)問題中的妙用

“隔板法”在計數(shù)問題中有特殊的適用背景，并且“隔板法”往往會使很復(fù)雜的問題得到巧妙的解決，下面剖析一下隔板法的適用條件，并選擇幾個實例來加以說明。

隔板法的適用條件

排列組合中的相同小球放進不同的盒子，名額分配或相同物品的分配等問題，是排列組合中的難點問題，這類問題的基本模型是：將n個相同元素分組到m個不同對象中（），每個對象至少有一個元素。這類問題必須滿足三個條件：（1）小球必須相同;（2）盒子必須不同;（3）每個盒子至少有一個小球。當(dāng)滿足這三個條件時，我們可以采用隔板法。

隔板法的實際應(yīng)用

應(yīng)用1? 20個相同的小球放入編號為1號、2號、3號的三個盒子里，要求每個盒子都不空，問有多少種放法？

解? 如圖，用“0”表示小球，0000|00000000|00000000在上圖中，在0與0之間的19個空檔中插入2塊隔板即可將小球分成3組，同時能夠保證每組中至少有一個小球，所以一共有=171（種）放法。

點評?? 解決此類問題的關(guān)鍵是，看題目情景是否滿足隔板法的條件，若滿足，則直接套用公式即可。

應(yīng)用2?? 求方程的正整數(shù)解有多少個？

解? 該問題轉(zhuǎn)化為：將方程左邊的看成是4個盒子得到的小球數(shù)，右邊的20看成是20個相同的小球。這樣就相當(dāng)于20個相同的小球放入4個盒子里，要求每個盒子至少有一個小球，共有多少種不同的分配方法？這樣，類似應(yīng)用1可知，所以共有（種）

整體概括：通過對隔板法的應(yīng)用，可得下列結(jié)論。

結(jié)論1：把n個相同的元素分成m組分配給m個人，每組不允許落空，則可將n個元素排成一排，從n-1個間隔中，選出m-1個插上隔板，每一種隔板的插法對應(yīng)一種分配方法，則分配方法數(shù).

結(jié)論2：把n個相同的元素分成m組分配給m個人，某些組允許落空，則可將m-1個隔板和n個元素排成一排，每一種隔板的插法對應(yīng)一種分配方法，則分配方法數(shù)。

小試身手：

將7個相同的小球放入4個不同的盒子中。

不出現(xiàn)空盒時的放入方式共有多少種？

可出現(xiàn)空盒時的放入方式共有多少種？

解：（1）將7個相同的小球排成一排，在中間形成的6個空格中插入無區(qū)別的3個“隔板”將球分成4份，每一種插入隔板的方式對應(yīng)一種球的放入方式，則不同的放入方式共有（種）

每種放入方式對應(yīng)于將7個相同的小球與3個相同的“隔板”進行一次排列，即從10個位置中選3個位置安排隔板，故共有（種）放入方式.

參考文獻：

[1]林潘能.對排列組合應(yīng)用問題的探究[J].讀與寫（教育教學(xué)刊），2019，16（07）：69.