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    溝通關(guān)系建構(gòu)數(shù)學模型

    2019-09-10 19:53:58宋鈞鈞
    學習與科普 2019年32期
    關(guān)鍵詞:數(shù)量關(guān)系雞兔同籠數(shù)學思想

    宋鈞鈞

    摘 要:“雞兔同籠”問題是我國民間廣為流傳的數(shù)學趣題。教學中,本人根據(jù)學生現(xiàn)有的認知水平,努力溝通數(shù)量關(guān)系,解題策略內(nèi)在關(guān)系,有效突破傳統(tǒng)教學模式,滲透化繁為簡的數(shù)學思想,構(gòu)建數(shù)學模型,使學生積累了豐富的數(shù)學活動經(jīng)驗。

    關(guān)鍵詞:雞兔同籠 ?數(shù)量關(guān)系 策略 數(shù)學思想 數(shù)學模型

    一、背景闡述

    “雞兔同籠”問題是中國古代經(jīng)典趣題的代表。在現(xiàn)行的各個版本的教材中都有其濃墨重彩的一筆。如北師大版五年級上冊“嘗試與猜測”中用它來讓學生學會運用列表這種基本的解題策略解題;蘇教版六年級上冊將之作為一道練習題來鞏固“假設(shè)和替換”的策略;原人教版(實驗版)則是在六年級上冊“數(shù)學廣角”中詳細介紹了“雞兔同籠”問題的出處、多種解法(列表、假設(shè)或方程解等)及實際應(yīng)用。除此之外,還有不少名師在二年級用“畫圖法”、在六年級用“二元一次方程組”來生動地演繹它,特級教師朱樂平、俞正強等都對此進行課堂演繹或評析。

    二、教學片段

    (一)、情境導(dǎo)入:呈現(xiàn)教材情境圖(古人學習“雞兔同籠” 問題圖),理解“古語”并提出問題:籠子里有若干只雞和兔,從上面數(shù),有35個頭,從下面數(shù),有94只腳。雞和兔各有幾只?

    師:猜一猜:雞和兔各有多少只?

    師:他們的猜測對嗎?同學們有方法來驗證一下嗎?

    師:大家猜了好幾組數(shù)據(jù),但是經(jīng)過驗證都不對,為什么都猜不準呢?

    生:數(shù)太大了不好猜!

    【設(shè)計意圖:1.通過大數(shù)據(jù)的“雞兔同籠”問題進行答案的猜測,由于學生已經(jīng)具備了一定的生活經(jīng)驗和知識儲備,他們會猜測出各種答案(但絕不會猜測全部是雞或全部是兔子),這樣的猜測不僅為解決問題指明了方向,還增強了學生的數(shù)感,發(fā)展了推理能力;2.根據(jù)猜測進行計算、驗證,感受大數(shù)據(jù)下的問題解決困難,滲透化繁為簡的數(shù)學思想;3.讓學生經(jīng)歷猜測、計算、驗證的活動過程初步體驗數(shù)量之間的關(guān)系(在頭數(shù)不變的情況下:雞、兔數(shù)量的多少變化和隨之發(fā)生變化的腳的數(shù)量之間的關(guān)系)、積累基本的活動經(jīng)驗,為接下來的列表解決問題鋪墊。】

    (二)、新知探究

    1.呈現(xiàn)例一,滲透思想

    師:數(shù)小一些是不是就能猜對了?

    出示例1:籠子里有若干只雞和兔。從上面數(shù),有8個頭,從下面數(shù),有26只腳。雞和兔各有幾只?

    2.自主嘗試,解決問題:獨立思考可以列表、畫圖、算式等,嘗試解決,然后匯報。

    【設(shè)計意圖:1.給予學生充分的時間與空間經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等活動過程,從中發(fā)現(xiàn)“雞兔同籠”問題中的一些特殊的規(guī)律,初步體會其內(nèi)在聯(lián)系,從而感悟數(shù)量之間的關(guān)系;2.嘗試用多種方法(畫圖、列表、計算等)解決雞兔同籠問題,初步感受各種解題策略之間的關(guān)系。】

    3.交流策略,溝通數(shù)量關(guān)系

    師:經(jīng)過同學們的研究,現(xiàn)在知道雞和兔各有幾只了嗎?

    師:你是怎么探究得出這個結(jié)果的?老師請這幾位同學來為大家做匯報?

    生1:逐一舉例:從雞有0只,兔有8只開始推算(如下表)

    師:仔細觀察,你能發(fā)現(xiàn)些什么?

    追問:從左往右看,每次增加1只雞,減少1只兔,腿數(shù)是怎么變化的?

    (把一只雞換成一只兔,腳的數(shù)量就增加2只)

    追問:從右往左看,每次增加1只兔,減少1只雞,腿數(shù)又是怎么變化的?

    (把一只兔換成一只雞,腳的數(shù)量就減少2只)

    ……

    師:你認為這種方法有什么特點?(逐一舉例)

    小結(jié):逐一列表法雖然比較麻煩,但是不重復(fù)不遺漏;

    【設(shè)計意圖:1.第一張列表的選擇呈現(xiàn)學生常規(guī)的逐一舉例法,引導(dǎo)學生按順序?qū)ふ掖鸢?2.呈現(xiàn)逐一舉例的列表更利于教師有效的持續(xù)的引導(dǎo),幫助學生發(fā)現(xiàn)并理清兔子和雞之間到底有什么關(guān)系?!?/p>

    生2:請取中列表的同學匯報(取中列舉:如下表)

    師:你為什么選擇4只雞、4只兔為第一組數(shù)據(jù)?

    師:在驗證了第一組數(shù)據(jù)后,(計算驗證后發(fā)現(xiàn)了什么問題?)馬上調(diào)整為第二組數(shù)據(jù)?

    師:在驗證了第二組數(shù)據(jù)后,(計算驗證后發(fā)現(xiàn)了什么問題?)馬上調(diào)整為第三組數(shù)據(jù)?

    追問:他的這種猜測、計算驗證、分析、調(diào)整的方法怎么樣?(簡便、快捷)

    【設(shè)計意圖:1.合理的利用有價值的生成,盡可能關(guān)注學生在學生中的遇到的問題與困惑,激活學生的思維,促進學生自主能動的開展學習、探究活動;2.在取中舉例4雞4兔有24只腳的基礎(chǔ)上,對比腳的數(shù)量進行了第一次調(diào)整(5雞3兔),發(fā)現(xiàn)“增雞減兔”后發(fā)現(xiàn)腳數(shù)更少了,因此進行了第二次調(diào)整(3雞5兔)“增兔減雞”,腳數(shù)才等于26只,再一次感受雞、兔頭數(shù)的數(shù)量變化與腳數(shù)之間的數(shù)量變化的關(guān)系;3.在逐一列表并發(fā)現(xiàn)雞兔的頭數(shù)變化與腳數(shù)變化之間的數(shù)量關(guān)系基礎(chǔ)上,感悟?qū)Σ聹y、計算、驗證后的數(shù)量關(guān)系(猜測下的腳數(shù)與實際腳數(shù)的數(shù)量關(guān)系),并進行合理的分析、調(diào)整(猜測下腳多了——“減兔增雞”;猜測下腳少了——“增兔減雞”)?!?/p>

    師:現(xiàn)在你能根據(jù)調(diào)整數(shù)據(jù)的方法,練習調(diào)整從8雞0兔16腳和0雞8兔32腳調(diào)整到26腳。說一說調(diào)整的方法。(如下表)

    總結(jié):這些同學根據(jù)已知信息進行嘗試猜測,分析后進行合理調(diào)整,然后進行計算驗證,最終都得到正確答案。(相機板書:猜測、驗證、調(diào)整)

    三、結(jié)語

    史寧中教授提出:義務(wù)教育階段數(shù)學的本質(zhì)是研究“關(guān)系”。本課教學中我致力于引導(dǎo)學生通過猜測、計算、驗證、分析、推理、調(diào)整等思維活動,借助“畫圖法”探究并理解“雞兔同籠”問題的本質(zhì),幫助學生溝通數(shù)量之間的關(guān)系,解決問題策略之間的內(nèi)在關(guān)系,在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學生思考,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,從而把所列的表格,圖形、總結(jié)的規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)學符號,建構(gòu)成數(shù)學模型。

    參考文獻:

    [1]小學數(shù)學課程標準[M].北京師范大學出版社,2011.

    [2]王延強.淺談“雞兔同籠”問題的數(shù)學建模[J].山東教育. 2011(05).

    [3]凌魁、陳健. 在數(shù)學建模中體驗數(shù)學思想方法[J].中國農(nóng)村教育. 2016(05).

    [4]姜家鳳.激情 猜想 驗證 溝通 建?!半u兔同籠”教學實踐與反思[J].小學教師. 2009(11).

    [5]杭甬.基于建模的“雞兔同籠”教學[J].小學教學參考. 2016(07).

    [6]傅瑩芳. 整合解題策略,滲透數(shù)學思想——“雞兔同籠”教材分析及教學建議[J].新課程學習.2013(04).

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