NO PPT、NO數(shù)學題的數(shù)學課堂創(chuàng)建

張娟萍

摘? ? 要：NO PPT、NO數(shù)學題的數(shù)學課堂讓所學的內容由學生已有知識創(chuàng)造（生長）出來，并經過學生思維的掙扎，使得學習內容和思考空間進一步拓寬，實現(xiàn)分析、創(chuàng)造等高階思維發(fā)展.

關鍵詞：NO數(shù)學題;數(shù)學課堂;一次函數(shù)

數(shù)學課堂中常見大容量的數(shù)學題和PPT，就像學生看電影看得懂一樣，理解教師的講解是沒有問題的，訓練模仿解數(shù)學題也可以得到高的分數(shù)，但僅止于理解和模仿，很少體驗和經歷思維產生、掙扎的過程.要提升學生思維、培養(yǎng)學生核心素養(yǎng)，課堂中要由學生創(chuàng)造所學內容，課堂知識和解決問題策略的產生從學生已有知識生長出來，所有數(shù)學題的出現(xiàn)都由學生根據獲得的知識編制得到.因此，筆者提出NO PPT、NO數(shù)學題的數(shù)學課堂.“NO PPT、NO數(shù)學題”是指不預先設定學生所要探究內容的具體問題和結論，力求讓學生所學的數(shù)學內容由學生已有知識創(chuàng)造（生長）出來，并經過思維的掙扎，使得學習內容和思考空間進一步拓寬，實現(xiàn)分析、創(chuàng)造等高階思維發(fā)展.下面以筆者在青島執(zhí)教的一次函數(shù)復習課為例，談談NO PPT、NO數(shù)學題的數(shù)學課堂創(chuàng)建.

一、教學背景分析

（一）學情分析

課堂合作的學生是青島市一個公辦學校初二（上）的學生，他們使用的是蘇教版教材;課前沒有機會與學生交流對話，現(xiàn)場了解到學生已經學了一次函數(shù)的圖象和性質，一次函數(shù)的應用還沒有學.

本節(jié)課定位為“一次函數(shù)的復習課”，教材不一樣、學生的情況不了解，所以課堂設計采用以學生為主、完全開放的形式.

（二）教材知識點分析

一次函數(shù)的圖象、解析式、取值范圍及函數(shù)值，以及有關性質：k，b所表示的意義，直線與坐標軸、直線與直線的交點，不等式等相關知識點;圖象信息與函數(shù)特征之間的關聯(lián);突出一次函數(shù)的式結構和形結構.

（三）教學目標

1.通過自主學習、自主提出問題和解決問題復習一次函數(shù)的相關知識，整合和聯(lián)通一次函數(shù)的圖形和符號特征解決問題.

能用函數(shù)思想解決實際問題，轉化為方程、不等式等問題，感悟轉化與化歸、數(shù)形結合等數(shù)學思想.

2.經歷函數(shù)學習方法整理，提煉、系統(tǒng)化整個一次函數(shù)知識結構體系，體驗問題情境所反映的文字信息與圖象表征和符號（解析式）表征的統(tǒng)一.

3.形成函數(shù)復習和數(shù)學復習的一般通法：落實內部知識之間的聯(lián)系形成單元結構;落實知識與其他知識（外部：上位、下位）的聯(lián)系，實現(xiàn)知識系統(tǒng)化;落實知識與問題解決的聯(lián)系，做到知識靈活應用;落實知識與學習方法的聯(lián)系，實現(xiàn)學習方法的遷移，特別是對后繼學習具有方法論的意義;落實知識促進和拓展思維深度，實現(xiàn)思維各層次特別是創(chuàng)造性思維的參與與發(fā)展.

二、教學片段

（一）問題情境引入探究主題

1.筆者描述來到學校的經歷，要求學生用數(shù)學的方法簡潔地表述問題情境，引出課堂研究主題.師生一起分析這個經歷描述的變化過程：路程和時間在變化，即路程和時間是兩個變量，這兩個變量是怎么樣的一個關系呢？學生根據上一節(jié)課關于函數(shù)關系描述，分析發(fā)現(xiàn)：時間在變，路程跟著變化，時間確定就可以確定相應路程.所以概括：情境描述了路程和時間滿足函數(shù)關系.問題轉變成了如何表示函數(shù)？

學生迅速地想到表達函數(shù)的方法：圖象、表格和解析式.

【設計意圖】課堂主題由生活實際引入，根據問題要素與函數(shù)特征的關聯(lián)性——時間確定就可以確定相應路程，聯(lián)想到函數(shù)，數(shù)學知識與實際問題自然銜接，并促進學生主動啟動數(shù)學知識（函數(shù)模型）解決實際問題，體驗數(shù)學對實際生活問題解決的價值.

2.學生想要用圖象來表示函數(shù)，于是搜索函數(shù)圖象的相關要求：首先要建立直角坐標系，確定橫軸和縱軸.學生選擇用時間表示橫坐標、用路程表示縱坐標，在確定原點的時候有分歧，后來協(xié)商決定以“學?！睘樵c.

3.建立坐標系后，由學生分別獨立畫出函數(shù)圖象，小組之間進行比較，小組派代表到黑板畫出函數(shù)草圖，有如圖1所示幾種不同情況（以學校為原點，用橫軸x表示到學校的時間，縱軸y表示離學校的距離）.根據圖形還原故事情節(jié)，從而糾正圖象，體驗文字信息與圖象特征之間的一致性.

4.由學生自己編一個故事情節(jié)，并用圖象表示，讓同伴根據圖象猜出故事梗概.

【設計意圖】由實際情境逐漸抽取數(shù)學模型——建立函數(shù)圖象，完全由學生自主分析和選擇建立直角坐標系，有利于學生體驗自發(fā)應用數(shù)學解決實際問題的經歷和過程;根據學生現(xiàn)場呈現(xiàn)，學生分析、澄清和糾正自己產生的各類錯誤過程中，辨析函數(shù)圖象與問題信息表征關系，體驗不同的圖形反映了不同的故事情節(jié).學生能體會：看似簡單的圖形的一點變化，反映的情節(jié)完全不同，通過畫圖可以迅速、精確、簡潔地表達文字情境——讓圖象會說話.這個學習過程，也為課堂內后期學生進一步創(chuàng)造性地改編和拓展問題奠定基礎.

（二）學生提出問題、探索問題

選擇學生所編的故事中大家都熟悉的“龜兔賽跑”的故事情境的圖形（圖2），由學生提出數(shù)學問題.

學生首先想到：求出函數(shù)解析式.由學生商定具體的數(shù)值，學生合作交流寫出相應的函數(shù)解析式，反饋如下：

[龜：s=[607][t]（0≤t≤35）][兔：s=[40t? ? ? ? ? ? ? ? （0≤t≤5）200? ? ? ? ? ? ? ?（5≤t≤35）20t-500? ? （35≤t≤40）]]

學生在此基礎上提出很多問題，課堂中按順序選擇了其中幾個問題進行研究和討論.

1.問題一：速度表現(xiàn)為函數(shù)的什么特征？主要問題內容如下：

兔子前后兩段速度一樣嗎？

按照兔子到達的速度和時間，如果不睡覺，相當于它什么時間或什么地點出發(fā)？

經過多長時間，烏龜與兔子相遇？這時距起點有多遠的路程？

哪些時間兔子在烏龜前面？

這是相遇問題中的追擊問題.

根據圖象判斷兩條線段是否平行得到結論.

從解析式的角度，就看一次項系數(shù)“k”是否一樣.

歸納：情境中兔子前后兩段速度反映在數(shù)學圖象上是什么呢？解析式怎么表現(xiàn)呢？

2.問題二：線段與x軸和y軸的交點表示什么意思？

從圖象上可以向左下方延長兔子最后的線段，與x軸和y軸的交點就相當于它比烏龜晚出發(fā)的時間和多走的路程，解析式上就反映在橫截距和縱截距的數(shù)值.

3.問題三：兩條線的交點在解析式和圖象上分別表示什么？

從圖象上可以找到兩條線的交點位置，找出交點的橫坐標和縱坐標，即為烏龜與兔子相遇的時間和距起點的路程，解析式上表現(xiàn)為兩個解析式組成的方程組的公共解.

4.問題四：哪個時間段兔子在烏龜?shù)那懊妫?/p>

在圖象上找到表示兔子的線段在表示烏龜?shù)木€段上方部分，即兔子在烏龜前面，所對應的橫坐標差表示兔子在烏龜前面的時間段，解析式上表現(xiàn)為兩個解析式組成的不等式的解.

在這個過程里，形成板書，體現(xiàn)整節(jié)課復習的內容和框架（見表1）.

表1

[一次函數(shù) 問題一 問題二 問題三 問題四 問題情境 速度 截距 相遇? 前后

位置 圖象 傾斜程度、增減性 與縱軸

的交點 交點 圖象上

下位置 解析式 k的值? b的值 方程組

的解 不等式

組的解 ]

【設計意圖】所有問題的情境和數(shù)學問題的設計都由學生自己給出，并逐步完善，其實是復習、提煉、系統(tǒng)化整個一次函數(shù)知識結構體系和學習方法整理的過程：但學生發(fā)現(xiàn)別的同學提出不同問題的時候，促使他追索所設計問題產生的來源，從而追索一次函數(shù)相關內容，促進有序地思考、提出問題.同時體驗問題情境所反映的文字信息與圖象表征和符號（解析式）表征的統(tǒng)一.

（三）學生自主創(chuàng)造

要求學生在此基礎上，進一步提出更有創(chuàng)造性的問題.給學生時間思考和交流，反饋如下.

1.如果以速度為縱坐標，前面所描述的情境圖形將發(fā)生什么變化？（由圖2變到圖3）

追問：怎么想到以速度為縱坐標的？

學生追索思維產生的過程：在本課引入坐標系的時候其實對選什么作橫、縱坐標和原點就有不同的想法，所以要求自主開放性設計時，就按自己的意思改變了縱坐標.

【設計意圖】教師追問，幫助學生反省問題的產生和形成過程，從而促進思維方法內化和有序化，也有利于向其他同學展示自己的思維路徑.教師大力表揚和鼓勵這樣的創(chuàng)造，促進課堂中學生掀起創(chuàng)造氛圍.

2.前面都是相遇問題中的追擊問題，如果是相向而行呢，前面所描述的情境圖形將發(fā)生什么變化？兔子不睡覺，龜兔相向而行的草圖見圖4.

3.兔子不睡覺，龜兔相向而行時，如果以時間為橫坐標，以它們之間的相對距離為縱坐標呢？

設：t表示兔子離始點的時間，s表示兔子與烏龜之間的距離，如圖5，建立直角坐標系，可以設計什么問題？

4.求出C點坐標.

這是非常好的問題，如何求C點坐標，學生獨立思考——小組之間討論反饋.

小組1：B點在x軸上表示它倆相遇了，CD表示速度慢了，為什么C點后速度慢了？說明兔子到了（因為烏龜速度慢），CD是烏龜單獨行走的速度.

小組2：烏龜從終點回到始點共需60分鐘，20分鐘時與兔子相遇.那么，20分鐘烏龜走三分之一的路——100米，20分鐘兔子走三分之二的路——200米，所以兔子速度10米/分.全程300米，兔子從始點去終點共用時30分鐘，30分鐘烏龜走一半的路，所以C點坐標（30，150）.

小組3：B點表示相遇，20分鐘走完全程300米，所以總速度15;到C點表示兔子到達終點，拐點表示只有烏龜單獨走，速度小于原先兩個總速度，D點表示烏龜?shù)竭_終點，共用時間60分鐘走完全程，所以烏龜速度5;所以兔子速度10，從而得兔子到達終點時間30，即C點橫坐標30;C點縱坐標表示30分鐘時烏龜走的路程，即總路程的一半150.

學生進行方法歸納：要先厘清整個圖象所反映的信息——明確整個過程中的來龍去脈.理解C點是兔子到達終點的時候，C點坐標即是求C點橫坐標時間和縱坐標距離.

【設計意圖】課堂形式的開放性、情境的開放性，決定學生思維的開放性.大開門的問題，給了學生創(chuàng)造的空間，同時教師刺激學生完成創(chuàng)造性的任務，使學生處于有序和創(chuàng)造性思考中.課堂濃厚的創(chuàng)造氛圍中，學生顯示出非凡的創(chuàng)造力和發(fā)散性思維.

以學生編題為主，通過交流、設計、建模解決問題，并通過評價提煉實現(xiàn)數(shù)學方法的內化，經歷問題探究的一般方法.通過學生自己創(chuàng)設問題從而達到檢驗知識和應用知識解決問題的復習方式，相比于教師整理知識點、然后大量PPT題目訓練，學生經歷了復雜的思維過程，學生思維的參與從識記、理解、應用等思維層次提升到分析、比較、創(chuàng)造等高階思維;也有利于學生對所學數(shù)學內容的親切感和課堂學習的自主性，進一步增加對數(shù)學課堂和數(shù)學創(chuàng)造的興趣.

三、教學反思

（一）通過實際情境，引起學生聯(lián)想關于一次函數(shù)的知識

在實際情境到數(shù)學知識的過程中，啟動學生潛入矛盾解決的思維過程——困難的是如何用數(shù)學的思維解決問題、用函數(shù)的原理分析實際問題所表達的信息，學生處于膠著狀態(tài)，如何突破，通過聯(lián)想的方式聯(lián)通實際問題與一次函數(shù)特征的關聯(lián).

由學生自己設計問題，提煉、復習一次函數(shù)知識結構體系，并體驗問題信息與圖象和符號（解析式）的統(tǒng)一關系.在這個過程中復習了：問題信息所表示的“速度、截距、相遇、前后位置”與圖象所表示的“傾斜程度增減性、與縱軸的交點、兩直線的交點、圖象上下方的位置”和解析式所對應的“k的值、b的值、方程組的解、不等式組的解”這些特征，并建立了三者對應的表征關系.落實知識內容的結構化，通過綜合、比較，實現(xiàn)內部知識之間的聯(lián)系，形成單元結構，實現(xiàn)知識與其他知識的聯(lián)系，實現(xiàn)知識系統(tǒng)化;落實知識與問題解決的聯(lián)系，做到知識靈活應用;提煉學習方法，實現(xiàn)學習方法的遷移，特別是對后續(xù)學習具有方法論的意義.

這樣的復習，使一次函數(shù)知識的復習由散點串成了線，織成了網，連成了故事;課堂上得出的內容來自于學生，使學生對內容有親切感和成就感，促使他主動、自主參與探究.

（二）開放性問題，有利于課堂以學生為中心，實現(xiàn)學生真正的創(chuàng)造

課堂中，所有的題目由學生根據數(shù)學知識和情境推理自己生長出來，并進一步變式和拓展到更大的問題空間和思維空間：“以速度為縱坐標”使課堂思維作了質的拓展，屬于創(chuàng)造性思維，其創(chuàng)造緣起以情境引入的時候學生自己的默會經驗，給了學生空間，促使他去嘗試挖掘相關的默會知識.

學生“以速度為縱坐標”起頭，促使學生審視問題的本質：“前面都是相遇問題中的追擊問題，如果是相向而行呢？”“以他們之間的相對距離為縱坐標呢？”問題層層推進.

（三）改變思維的層級需要有“大開門的問題和任務”

讓學生積極思考，在這里“你能提出哪些問題？”這樣的問題，指向學生把實際情境應用數(shù)學模型來解決問題;你能進一步提出更有創(chuàng)造性的問題嗎？指向學生在數(shù)學知識應用的基礎上，進行拓展和變化;你是怎樣想到以速度為縱坐標的？旨在引導學生搜索思考路徑及提煉方法，進一步促進方法的遷移.

學生在問題的展示過程中，會拿自己的思維與別人的思維方式、思維層次進行比較，改進思維路徑，從而進一步優(yōu)化自己的思維，促進思維發(fā)展.

（四）學生是整個學習的主體，是課堂知識和方法的創(chuàng)造者

所有數(shù)學題的出現(xiàn)都由學生自己根據獲得的知識編織出來.基于學生默會知識生長數(shù)學內容和學習策略.特別鼓勵對于不同側面的思考、有序地思考方式和變式、鼓勵學生創(chuàng)造性地提出問題.對于創(chuàng)造性問題有個別學生撞到是有可能的，關鍵是能讓更多學生都有意識地去想，再進一步，能從各個側面去思考，形成學生良好的思維品質：如何想得到——想得妙——想得透.

教師著力給學生創(chuàng)造機會，營造創(chuàng)造的空間和氛圍，及時發(fā)現(xiàn)并抓取學生創(chuàng)造的情境，并鼓勵學生用自己的語言表達自己發(fā)現(xiàn)的結論和創(chuàng)造的思維過程，給學生創(chuàng)造表達的平臺，促進學生出聲思考，思維外顯，并引起思維的爭辯，促進思維層級提升和優(yōu)化，促進高階思維發(fā)展.