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    萬(wàn)物有波

    2019-09-09 05:55馬慧元
    書(shū)城 2019年9期
    關(guān)鍵詞:拿破侖數(shù)學(xué)

    馬慧元

    傅立葉是誰(shuí)

    “傅立葉級(jí)數(shù)”,遠(yuǎn)比傅立葉有名,不過(guò)法國(guó)多事之秋中的數(shù)學(xué)家傅立葉其人,也有不少故事。

    傅立葉(Jean-Baptiste Joseph Fourier,1768-1830),出生于離巴黎不遠(yuǎn)的小城歐塞爾(Auxerre)的一個(gè)裁縫之家。九歲成了孤兒之后,進(jìn)入本篤會(huì)(Benedictines)修道院,又在本地的一所軍事學(xué)校繼續(xù)讀書(shū),開(kāi)始愛(ài)上了數(shù)學(xué)。他在教室里到處撿人家丟棄的蠟燭頭,晚上好接著鉆研數(shù)學(xué)。十三四歲的時(shí)候,他已經(jīng)自學(xué)完了貝祖定理,成了校中的學(xué)霸,不要說(shuō)數(shù)學(xué),連歌唱都拿了獎(jiǎng),他的理想是憑成績(jī)進(jìn)入軍事學(xué)校學(xué)工程。不過(guò),這個(gè)快樂(lè)、敏捷的孩子十六歲之后患上了哮喘病,不得不花整整一年的時(shí)間休養(yǎng)。此外,軍事學(xué)校要求必須出身貴族才能繼續(xù)學(xué)習(xí)軍事工程,這樣,他被軍事學(xué)校狠狠地拒絕了,“哪怕他是第二個(gè)牛頓”,官員這樣說(shuō)。

    軍事學(xué)校的路子被堵死了,但二十出頭的傅立葉找到機(jī)會(huì)在歐塞爾的一所修道院里教數(shù)學(xué)。當(dāng)時(shí)的法國(guó)修道院往往是教育、科研的場(chǎng)所,有些修道院在后來(lái)的法國(guó)大革命中被關(guān)閉,也有的因?yàn)閾碛行酆竦慕逃龑?shí)力而幸免于難。傅立葉所在的修道院就是這樣,平安度過(guò)了動(dòng)亂期,只是他在這里并不開(kāi)心。當(dāng)時(shí),在家長(zhǎng)們的要求下,拉丁文已經(jīng)漸漸讓位給數(shù)學(xué),雖然是數(shù)學(xué)控,但傅立葉很不滿意學(xué)校放棄拉丁文,他終生都愛(ài)讀人文書(shū)籍。此外,他在寫(xiě)給朋友的信中還不斷抱怨,本來(lái)是要獻(xiàn)身于研究和信仰,不料每天面對(duì)的都是雞毛蒜皮和種種摩擦。他每天的生活很有規(guī)律,但沒(méi)什么自己的生活。日日無(wú)書(shū)可讀,他曾經(jīng)就用一本殘缺的蒙田來(lái)消磨時(shí)日。他在日記中寫(xiě)道:“昨天是我二十一歲生日,牛頓和帕斯卡已經(jīng)成就斐然的年紀(jì)。”

    一七九二年,法國(guó)大革命處在高潮,人心惶惶,不過(guò)安靜的小城歐塞爾并沒(méi)有受到很大的影響。后來(lái)形勢(shì)突變,歐塞爾不再寧?kù)o,傅立葉突然決定投身本地的政治,而此時(shí)過(guò)了九月,革命又進(jìn)入恐怖時(shí)期。他萌生了退意,但為時(shí)已晚,很難抽身了。他被派到奧爾良執(zhí)行任務(wù),中間卷入了一些沖突,細(xì)節(jié)并沒(méi)有太多記錄,但他在日記中說(shuō):“絕對(duì)沒(méi)有違背大革命的原則?!?到底什么是大革命的原則呢?這即使在雅各賓派的核心之內(nèi)也有異議。在王后和一些吉倫特派成員被送上斷頭臺(tái)之后的高壓環(huán)境里,傅立葉處境危險(xiǎn),幸好有人力保才沒(méi)有被當(dāng)作敵人。此時(shí)人人自危,命如草芥,斷頭臺(tái)下前仆后繼。

    而后傅立葉回到了歐塞爾,當(dāng)上了歐塞爾革命委員會(huì)的頭領(lǐng),擁有了那么一點(diǎn)點(diǎn)自保的特權(quán)。大革命爆發(fā)的這兩年里,近二十萬(wàn)法國(guó)公民在《嫌疑犯法令》(Law Of Suspects)之下被捕,一萬(wàn)七千多人被處死。一七九四年十月,傅立葉也被逮捕了,有人說(shuō)他“不適合公職”。他被釋放后又被重新逮捕,罪名起源是在奧爾良的一次運(yùn)動(dòng)中,他站隊(duì)到無(wú)褲黨(Sans-culottes,又稱“無(wú)套褲漢”,原意指法國(guó)下層階級(jí)老百姓,也指大革命早期的激進(jìn)主義者)那邊,被羅伯斯庇爾的人視為威脅。此時(shí)恐怖氣氛愈演愈烈,殺人如割韭菜,二十六歲的他,在死亡恐懼中度日如年。萬(wàn)幸的是,幾天以后羅伯斯庇爾自己被送上了斷頭臺(tái)。消息抵達(dá)歐塞爾之后,包括傅立葉在內(nèi)的許許多多身處危險(xiǎn)的人都松了口氣。又煎熬了一個(gè)月,他才被釋放。

    此時(shí)傅立葉雖然仍然有政治職務(wù)在身,但終于當(dāng)上了歐塞爾學(xué)院的數(shù)學(xué)教授。不過(guò),后來(lái)他被法國(guó)師范學(xué)院(那時(shí)還不叫高等師范學(xué)院)錄取,就來(lái)到了恐怖氣氛未除的巴黎。進(jìn)了學(xué)校,傅立葉如魚(yú)得水,他遇到了拉普拉斯、拉格朗日、蒙日這些一流數(shù)學(xué)家。

    在這里,他總算是遠(yuǎn)離政治,并且恨不得把“革命”的過(guò)往從自己身上洗清了??伤吘故歉锩瘑T會(huì)的前主席,人家可沒(méi)忘記舊賬。有消息傳來(lái),說(shuō)因?yàn)榭植罆r(shí)期跟權(quán)力相聯(lián)系的過(guò)往,他可能會(huì)被學(xué)校開(kāi)除。不久,他果然再次被捕。他要求公審,并申明自己在歐塞爾任職期間,從未加害于人,從未允許和參與恐怖的屠殺;相反,他自己倒險(xiǎn)些被極端的革命者送上斷頭臺(tái)。他救過(guò)不少無(wú)辜者,當(dāng)然,不可避免地,也簽署過(guò)很多人的逮捕證。他申辯說(shuō),他們以為以我的位置,可以拯救所有人。諷刺的是,現(xiàn)在指控他的人,有一些屬于他支持的無(wú)褲黨,不久前傅立葉還因?yàn)樗麄兌氇z。最終,他又被糊里糊涂地給放了出來(lái)?;貙W(xué)校教書(shū)的時(shí)候,中央公共工程學(xué)院(?cole centrale des travaux publics)已更名為巴黎綜合理工學(xué)院(?cole Polytechnique)。他自然繼續(xù)夾起尾巴做人,這位前雅各賓派熱血青年閉口不再提革命。

    一七九八年,拿破侖將軍要出征埃及(并且有著“科學(xué)考察”的目的),征召了一批科學(xué)家、學(xué)者甚至藝術(shù)家,僅僅巴黎綜合理工學(xué)院就有不少人,傅立葉也作為數(shù)學(xué)家應(yīng)征。士兵去了三萬(wàn)人,一共出動(dòng)十八艘船。順便說(shuō)一下,混血的騎兵軍官托馬·亞歷山大·仲馬也在其中,他是貴族和黑奴的孩子,一生跌宕傳奇,而他的兒子,就是寫(xiě)了《基度山伯爵》的大仲馬。

    話說(shuō)這開(kāi)往埃及的海路極為漫長(zhǎng),拿破侖每每不暈船的時(shí)候,都會(huì)召人來(lái)談?wù)効茖W(xué)問(wèn)題,后來(lái)演變成一個(gè)“開(kāi)羅學(xué)會(huì)”,傅立葉任秘書(shū)。旅途極為艱苦危險(xiǎn),一度與大陸斷了聯(lián)系。種種坎坷之中,拿破侖仍然定期跟學(xué)會(huì)的人見(jiàn)面。這個(gè)學(xué)會(huì)不僅是為推進(jìn)關(guān)于埃及的研究,某種程度上也是拿破侖的智囊團(tuán),討論的問(wèn)題從在當(dāng)?shù)蒯勂【频皆祜L(fēng)車,無(wú)所不包??茖W(xué)家和學(xué)者對(duì)這種生活深感興奮,比如傅立葉聽(tīng)到傳聞?wù)f要撤離開(kāi)羅的時(shí)候,直追著蒙日等人到大街上理論;同行者中卻也有人追著拿破侖苦苦央求帶他回法國(guó)。

    最終,他們還是狼狽兮兮地返回了法國(guó)。這次探險(xiǎn)在歷史上留下了許多話柄,比如給當(dāng)?shù)厝藥?lái)了巨大災(zāi)難,再比如拿破侖也損失慘重,還拋棄了官兵自己秘密逃回法國(guó),留下個(gè)爛攤子。他曾經(jīng)許諾讓每位士兵帶回六畝地的財(cái)產(chǎn),其實(shí)最終能幸運(yùn)回去的人,能帶回一些“傳說(shuō)”和一點(diǎn)戰(zhàn)利品就不錯(cuò)了。而拿破侖此行,對(duì)埃及古文化、象形文字的研究、“埃及學(xué)”的創(chuàng)立所作的貢獻(xiàn),倒是彪炳后世。傅立葉在這里的時(shí)光,從表面看只是履行使命,認(rèn)真整理開(kāi)羅當(dāng)?shù)氐牡乩砗臀奈镔Y料,日后出版了一冊(cè)詳細(xì)的《埃及記敘》(Description de l'?gypte)。今天的科學(xué)學(xué)生們,誰(shuí)能想到數(shù)學(xué)家傅立葉竟然是“埃及學(xué)”的創(chuàng)始人之一。

    三年后,三十三歲的傅立葉被拿破侖任命為伊澤爾?。↖sère)的省長(zhǎng)(Prefect,當(dāng)時(shí)的法國(guó)共有八十三個(gè)省),可他本來(lái)是打算回師范學(xué)院繼續(xù)當(dāng)數(shù)學(xué)教師的。沒(méi)有辦法,他只得硬著頭皮上任,工作很多很雜,從城市的排水到修路,還在省會(huì)格諾伯勒成立了“藝術(shù)與科學(xué)學(xué)會(huì)”,政績(jī)極出色。正是從這段時(shí)間開(kāi)始,他對(duì)熱傳導(dǎo)產(chǎn)生了興趣。他身體不好,總要待在溫暖的房間里,而從炎熱的埃及回到寒冷的伊澤爾省之后,健康更加糟糕,他得盡力維持房間的溫度。大約是出于這樣的原因,熱在固體中的傳導(dǎo)、擴(kuò)散一直是他喜歡思考的問(wèn)題。一八○七年,這位年輕省長(zhǎng)的政績(jī)中,居然增添了一篇記載于史冊(cè)的熱學(xué)論文—《熱在固體中的傳播》。這是他一生看重的熱傳導(dǎo)研究的開(kāi)始。

    在成功的仕途中,傅立葉并不快樂(lè)。他的數(shù)學(xué)家?guī)熡褌兇蠖嘣诎屠瑁麄兌贾栏盗⑷~渴望回歸數(shù)學(xué)圈子,也都盡力建議拿破侖放傅立葉回學(xué)校教書(shū),但拿破侖充耳不聞。很多人悄悄猜測(cè),大約傅立葉曾經(jīng)力挺過(guò)拿破侖的一個(gè)政敵。看上去,傅立葉得在伊澤爾省做到退休了。

    命運(yùn)卻出現(xiàn)了轉(zhuǎn)折。一八一四年,普魯士、俄國(guó)等國(guó)的盟軍攻入巴黎,拿破侖打了敗仗(此時(shí)距上次外國(guó)軍隊(duì)攻入巴黎已經(jīng)有二十年了),伊澤爾省被奧地利軍隊(duì)圍困。而此時(shí),拿破侖在被流放到厄爾巴島的路上,正好要途經(jīng)這里。這可尷尬了,作為省長(zhǎng)不能不迎接,但怎么面對(duì)失勢(shì)的舊主呢?躲起來(lái)不站隊(duì)也不可能。傅立葉沒(méi)有好辦法,懊喪地等待那一刻。不過(guò)到了那一天,消息突然傳來(lái),拿破侖繞道而行,不經(jīng)過(guò)這里了。傅立葉終于松了口氣。不過(guò)有人發(fā)現(xiàn),其實(shí)這是傅立葉自己“爭(zhēng)取”到的福利,他試著放風(fēng)給拿破侖,說(shuō)歡迎人群可能太多,有些危險(xiǎn)云云。

    這段時(shí)間里,被砍頭的路易十六的弟弟,從大革命時(shí)期就流亡在外的路易十八已經(jīng)回到法國(guó),波旁王朝復(fù)辟。風(fēng)頭突變,誰(shuí)都摸不準(zhǔn)形勢(shì)。一八一五年二月,傅立葉突然收到鄰省省長(zhǎng)來(lái)信,拿破侖又帶著一千多人來(lái)格勒諾布爾了。怎么辦呢?傅立葉這次不能再躲了,趕緊跟市民申明“必須跟國(guó)王一條心”,違者必究。最后,拿破侖還是讓人強(qiáng)行打開(kāi)大門,此時(shí)傅立葉已經(jīng)從另一個(gè)門消失掉了,給拿破侖留下一封信,說(shuō)實(shí)在無(wú)奈,必須對(duì)國(guó)王盡忠,希望舊主海涵。后來(lái),拿破侖從厄爾巴島逃回,建立了“百日王朝”。拿破侖對(duì)傅立葉記恨不淺,把他伊澤爾省長(zhǎng)的職務(wù)停掉,并派他到里昂。不久,傅立葉就在官員們的人際斗爭(zhēng)中落敗、辭職。拿破侖給了傅立葉一筆退休金,讓他告老還鄉(xiāng)了事。

    傅立葉終于擺脫了案牘勞形的生活,回到巴黎,跟數(shù)學(xué)家拉普拉斯、蒙日等人再次聚首。此時(shí)風(fēng)云再變,拿破侖戰(zhàn)敗,法國(guó)又復(fù)辟成了波旁王朝,傅立葉的退休金被廢止。恐怖時(shí)期又開(kāi)始了,只是換了個(gè)方向:前雅各賓派、拿破侖黨都受到?;庶h的迫害。最后,在一個(gè)熟人,也是埃及之行的同僚之一的幫助下,傅立葉爭(zhēng)取到小筆收入,就是在塞納的統(tǒng)計(jì)局獲得一份監(jiān)管之職。而忠誠(chéng)地跟隨拿破侖出征埃及,后來(lái)又兢兢業(yè)業(yè)為法國(guó)高等教育盡力的蒙日,則沒(méi)那么幸運(yùn)。他被驅(qū)逐出科學(xué)院,死于潦倒。

    傅立葉此時(shí)希望自己能逐漸恢復(fù)在科學(xué)界的地位,比如進(jìn)入法蘭西科學(xué)院,另外申請(qǐng)一份比較舒服的待遇,起碼恢復(fù)拿破侖批準(zhǔn)的退休金,這些都被國(guó)王無(wú)情地否決了。雖然,他當(dāng)年卷入雅各賓派的污點(diǎn)沒(méi)有遭到“再度曝光”,但他在拿破侖百日王朝這段時(shí)間對(duì)舊主有所支持,雖然最終與拿破侖反目,但新國(guó)王顯然更反感他,傅立葉就這樣被兩方唾棄。為了爭(zhēng)取一份體面的待遇,他經(jīng)歷了一場(chǎng)痛苦的拉鋸戰(zhàn)。傅立葉在寫(xiě)給法國(guó)內(nèi)政部的信中指出,自己當(dāng)年主持《埃及記敘》的編訂,耗盡心力也沒(méi)拿到報(bào)酬;在伊澤爾省為了排水工程自掏腰包也沒(méi)有報(bào)銷。拖到一八一六年,傅立葉似乎有機(jī)會(huì)進(jìn)入法蘭西科學(xué)院,卻被國(guó)王無(wú)情地否決了,之后傅立葉不斷地申訴,他的朋友也不斷地向國(guó)王請(qǐng)求、解釋。又過(guò)了一年,科學(xué)院的物理分支有了個(gè)空缺,傅立葉在五十票中獲得四十七票,再加上朋友大力活動(dòng)、推薦,終于進(jìn)來(lái)了。至此,他終于拿到了一筆穩(wěn)定的收入,也算正式進(jìn)入了科學(xué)圈子,這才可以全心全意地工作了。

    一八二二年,法蘭西科學(xué)院的永久秘書(shū)長(zhǎng)去世,傅立葉眾望所歸,當(dāng)選為新秘書(shū)長(zhǎng)。不久,拉普拉斯去世。此時(shí)法國(guó)數(shù)學(xué)界依然活躍,除了身居高位的泊松,還有江湖之外的高人柯西、伽羅華和阿貝爾??茖W(xué)界雖然有不少名位之爭(zhēng),大師有時(shí)也會(huì)打壓異己,但法國(guó)在如此亂世之中取得的科學(xué)成就十分驚人,如今一個(gè)普通的工程、科學(xué)類高中生、大學(xué)生在教科書(shū)中都會(huì)屢屢遭遇那個(gè)時(shí)代的法國(guó)科學(xué)家的名字,從微積分到概率論,從電流單位到復(fù)數(shù)概念。

    傅立葉終身未婚,似乎也無(wú)心屬之人,后人只在他的信件中讀到他多次提及自學(xué)成才的數(shù)學(xué)家索菲亞·熱爾曼(Marie-Sophie Germain,1776-1831)。在一封寫(xiě)給法蘭西學(xué)院推薦索菲亞的信中,他說(shuō):“這位罕見(jiàn)的優(yōu)秀又美麗的女士配得上您對(duì)她的關(guān)注。我溫柔地愛(ài)著她,并且深深感激您為她所做的一切?!边@些蛛絲馬跡,就是傅立葉存世的全部浪漫史。

    一八三○年,他當(dāng)選為瑞典皇家科學(xué)院外籍院士,也陸續(xù)獲得了很多榮譽(yù),但身體愈加糟糕,類風(fēng)濕愈加嚴(yán)重,幾乎不能出門,只能裹著厚厚的毛衣待在家里,后來(lái)連呼吸都愈加困難。在最后的日子里,他得把自己包裹得像個(gè)大匣子,只有頭和胳膊伸出來(lái),才能工作。只要有可能,他還是瘋狂地工作。當(dāng)年這個(gè)有野心的年輕人在日記里寫(xiě)道:“昨天是我二十一歲生日,是牛頓和帕斯卡已經(jīng)成就斐然的年紀(jì)?!?現(xiàn)在一切都不同了,他的時(shí)光已經(jīng)耗盡。

    當(dāng)年三月,他突然在樓梯上跌倒,兩星期后去世。

    什么是傅立葉級(jí)數(shù)

    以上是數(shù)學(xué)家傅立葉的故事。不過(guò)在生命的大部分時(shí)段,傅立葉不是專業(yè)數(shù)學(xué)家,而是一個(gè)仕途平靜的地方官員,愛(ài)數(shù)學(xué),愛(ài)生活,兢兢業(yè)業(yè)完成各種任務(wù),同時(shí)一生受疾病所擾,最終天不假年。他因?yàn)闀r(shí)代之故卷入了政治,一生沉浮非己身所能左右,但很幸運(yùn)地茍全于亂世,最終在數(shù)學(xué)圈子里獲得了教職,跟很多一流數(shù)學(xué)家都有交流。數(shù)學(xué)家傅立葉的精神世界,其實(shí)遠(yuǎn)比那個(gè)作為軍官、政治家的傅立葉要精彩得多。

    我們今天生活的方方面面,都沒(méi)有逃脫傅立葉級(jí)數(shù)的影響。

    讓我們以聲波為例,介紹傅立葉最重要的數(shù)學(xué)成就“傅立葉級(jí)數(shù)”(包括傅立葉變換、傅立葉分析)。大家都知道聲音是由物體在媒介(常常是空氣)中的振動(dòng)產(chǎn)生的,聲波的幾個(gè)彼此獨(dú)立的要素有振動(dòng)周期(波峰到下一個(gè)波峰的時(shí)間長(zhǎng)度)、頻率(每秒振動(dòng)次數(shù))和振幅(跟響度成正比)。因?yàn)楝F(xiàn)成的正弦和余弦公式完美簡(jiǎn)潔地表達(dá)了周期性,所以人們借用這個(gè)工具來(lái)描述波形。真正的振動(dòng)過(guò)程是復(fù)雜的,比如音樂(lè)中的撥弦樂(lè)器:

    但是,正弦/余弦函數(shù)表達(dá)的波形,并不能直接畫(huà)出這個(gè)手指撥出的“尖角”,它一定是各種波形復(fù)合的產(chǎn)物。所以上圖的撥弦,產(chǎn)生的聲波如下圖(橫軸為時(shí)間,縱軸為振幅)。

    但也有些時(shí)候(比如需要取出或者過(guò)濾某個(gè)頻率的聲音),頻率成為縱坐標(biāo)。而某個(gè)“凌亂”的頻率波形終將分解成若干“純凈”的三角函數(shù)之和:

    f (t) = a0 + a1cosωt + b1sinωt + a2cos2ωt + b2sin2ωt + a3cos3ωt + b3sin3ωt+…

    也就是f (t) = a0+∑∞(n=1) (ancosnωt + bnsinnωt)(這里ω是角速度)而a0、a1、b1、a2這些系數(shù)都必須求出來(lái)。傅立葉提供了十分巧妙優(yōu)雅的解法(所以這些系數(shù)也被稱為傅立葉系數(shù)),有興趣的讀者可以輕易搜索到它。

    關(guān)于聲波的疊加,這里只舉個(gè)實(shí)際的例子,幾種樂(lè)器的聲波(想象一下,縱軸為頻率,橫軸為時(shí)間):

    它們分別是長(zhǎng)笛、雙簧管和小提琴的聲波。為什么三種樂(lè)器在演奏同一個(gè)音的時(shí)候會(huì)呈現(xiàn)非常不同的音色?而上述求和公式就告訴我們,每個(gè)分量前面那個(gè)系數(shù)不同,也就是有多少個(gè)四百赫茲、多少個(gè)六百赫茲、多少個(gè)八百赫茲……組合不同,聲波的形狀就不同,音色也就不同,而占據(jù)主導(dǎo)的那個(gè)頻率,正是我們所說(shuō)的基音頻率,也就是樂(lè)器上你正在彈(撥、拉)出的那個(gè)音,至于它的泛音,應(yīng)該是另一篇文章的話題了。

    那么,在上述的求和公式f (t)中,正弦和余弦明明是兩個(gè)相關(guān)的函數(shù),為什么不合二為一?感謝天才的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉(Leonhard Euler,1707-1783),不僅發(fā)明了e這個(gè)神奇的自然常數(shù),還發(fā)現(xiàn)了e、復(fù)數(shù)和三角函數(shù)之間的關(guān)系,這就是歐拉公式:

    cosθ + isinθ = eiθ

    話說(shuō)復(fù)數(shù)這個(gè)如今高中生也要費(fèi)點(diǎn)思量去理解的概念,十六世紀(jì)的意大利人卡爾達(dá)諾(Gerolamo Cardano,1501-1576)就已經(jīng)提出來(lái)了,而它真正完善成我們所知的樣子,經(jīng)歷了兩百余年。

    這樣,含有正弦、余弦的求和公式在無(wú)限時(shí)間域內(nèi)統(tǒng)一為含有e的表達(dá)—

    原本是頻率的f (x),變成另一個(gè)變量ξ的函數(shù),時(shí)間變量不復(fù)存在,因?yàn)樗线M(jìn)了ξ的函數(shù)。當(dāng)然,這個(gè)積分并不容易求,所以漸漸有了各種算法去逼近它。但關(guān)鍵在于,不管你有一個(gè)什么樣彎彎曲曲的周期連續(xù)函數(shù)f (x)(哪怕它不是周期函數(shù),也可以在一定條件下用求極限的方式轉(zhuǎn)換為周期函數(shù)),都能表達(dá)成一個(gè)積分(在離散條件下,就是求和)公式,f (x)就這樣被“化解”了。在實(shí)際應(yīng)用中,時(shí)間域有限,你能用一系列正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的和來(lái)逼近這個(gè)彎彎曲曲的f (x),而所謂“濾波”、去噪音的過(guò)程,都是應(yīng)用它的結(jié)果。而那個(gè)謎底f (x),產(chǎn)生傅立葉系列的“原初”連續(xù)函數(shù),也可以在合適的條件下用積分還原,所謂逆變換。比較一下上面的公式,兩者顯示出驚人的對(duì)稱:

    上面說(shuō)到坐標(biāo)系,橫坐標(biāo)為時(shí)間,縱坐標(biāo)為頻率,但也可以有別的表達(dá)方式,比如極坐標(biāo)系,任何一點(diǎn)都可以通過(guò)用它從原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的角度和距原點(diǎn)的距離來(lái)表示。如果用它來(lái)描述波形運(yùn)動(dòng)和傅立葉變換的話,任何一個(gè)形狀的圖案,都可以疊加若干直徑的小圓圈(疊加即為向量求和)畫(huà)出來(lái)。下圖是一個(gè)視頻的截圖,人臉就是這樣畫(huà)出來(lái)的。左上部一團(tuán)小圓圈,正是運(yùn)動(dòng)著勾畫(huà)出人臉細(xì)部的步驟,是傅立葉級(jí)數(shù)疊加的過(guò)程。萬(wàn)物皆圓,多么迷人的過(guò)程:

    這樣一來(lái),許許多多的數(shù)據(jù)變化形態(tài),都可以被模擬。聲音、電流不用說(shuō),地震、心跳、血流、股票、氣象也都不在話下;任何看上去高低不平的噪音式波形,都可以乖乖地分解成若干個(gè)整整齊齊的,帶有系數(shù)的周期性三角函數(shù)波形的疊加,它們也可以組裝成原來(lái)的樣子。這中間會(huì)有一些“約等于”造成的信息損耗,不過(guò)一般可以達(dá)到我們需要的精度。

    盡管這些公式初看十分復(fù)雜抽象,但其實(shí)相對(duì)于真實(shí)而言,公式都是描摹世界的極簡(jiǎn)版。你我隨便撥一下琴弦、敲一下鼓,在這個(gè)世界上造成的變化遠(yuǎn)比這些公式復(fù)雜得多。公式們要么大刀闊斧,對(duì)細(xì)節(jié)視而不見(jiàn),要么高屋建瓴,對(duì)混亂表象只取平均值,才有了我們對(duì)世界牙牙學(xué)語(yǔ)般的初級(jí)認(rèn)識(shí),也才有了種種粗糙模仿。無(wú)數(shù)電子設(shè)備、電聲樂(lè)器,都源于此。傅立葉級(jí)數(shù)幫人分析、模擬音響,也可以創(chuàng)造出自然中不存在的音響,整個(gè)電子音樂(lè)產(chǎn)業(yè),沒(méi)有傅立葉級(jí)數(shù)就不會(huì)存在。

    最為有趣的是,雖然傅立葉變換這個(gè)數(shù)學(xué)工具不過(guò)存在了兩百多年,但自古以來(lái),人耳卻一直依靠自己的生理結(jié)構(gòu)頑強(qiáng)地做著“傅立葉變換”,這才有了人類以及多數(shù)哺乳動(dòng)物對(duì)音樂(lè)、聲音的接收。這個(gè)結(jié)構(gòu)大概來(lái)說(shuō)就是耳蝸(cochlea)中錐形的基底膜(basilar membrane),不同的“地段”有不同的寬度、厚度和硬度(也就是從硬的一端漸漸變軟變細(xì)),這些物理性的區(qū)別會(huì)形成不同的振動(dòng),硬的一端頻率較高,沿著基底膜遞減。膜上有很多毛細(xì)胞,它們對(duì)不同的振頻有不同的反應(yīng),把電勢(shì)能通過(guò)神經(jīng)細(xì)胞輸送給大腦。膜外也有毛細(xì)胞,可以把大腦的取舍、調(diào)整反饋回來(lái)。注意,基底膜的物理形態(tài)就是把聲波做出“傅立葉變換”的關(guān)鍵。而大腦那一端對(duì)聲音的處理就復(fù)雜多了,習(xí)慣、訓(xùn)練、文化環(huán)境都會(huì)影響它。

    萬(wàn)物有波

    傅立葉的名字,最終刻上了埃菲爾鐵塔。塔上的七十二個(gè)名字中,還有柯西、蒙日、泊松、拉普拉斯、拉格朗日等數(shù)學(xué)家,他們都經(jīng)歷了法國(guó)大革命及拿破侖時(shí)代,多少都受到政治的影響。而那時(shí)的軍事熱情也推動(dòng)了應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展,從這個(gè)角度來(lái)說(shuō),傅立葉的發(fā)現(xiàn)也離不開(kāi)那個(gè)時(shí)代。

    不過(guò),他最早感興趣的題目是熱傳導(dǎo)。他對(duì)溫度、熱傳導(dǎo)的話題真是從不疲倦,如今的“溫室效應(yīng)”也是他提出的。他早年最有影響的、獲得法蘭西科學(xué)院大獎(jiǎng)的論文就是關(guān)于熱的解析。所謂傅立葉級(jí)數(shù),正是在熱傳導(dǎo)方程的求解過(guò)程中提出來(lái)的。傅立葉研究熱學(xué)的路漫長(zhǎng)而曲折,最早因?yàn)椤坝^點(diǎn)不夠原創(chuàng),前人已經(jīng)提出來(lái)了”,遭到泊松、拉普拉斯等人的質(zhì)疑,傅立葉在壓力之下不斷尋求改進(jìn),寫(xiě)出了好幾篇重要論文,最后被逼出來(lái)最有意義的用三角函數(shù)拆解一般函數(shù)的結(jié)果,為后來(lái)的數(shù)學(xué)發(fā)展打開(kāi)了一扇大門。

    當(dāng)然,如今的傅立葉變換理論,并不完全出自傅立葉之手,許多前人、后人都對(duì)它有所貢獻(xiàn),傅立葉本人的論證,甚至有一些錯(cuò)誤,但他提出了本質(zhì)的思想,尤其是解決了波形的一般性表達(dá),故居功至偉。而聲波的分解和疊加,是傅立葉變換的典型應(yīng)用之一,它的精彩之處在于它體現(xiàn)了許許多多事物的核心,以及那種萬(wàn)物歸一的力量。常常,在一個(gè)用求和來(lái)“模擬”波形的過(guò)程中,當(dāng)n=1,2,3的時(shí)候,被轉(zhuǎn)換的函數(shù)的形狀離原函數(shù)似乎全不搭界,當(dāng)n逐漸增加之后,卻漸漸如同精細(xì)的手工描繪一樣逼近。又因?yàn)榭梢噪p向轉(zhuǎn)化,我們可以把一段音頻分解之后,去掉一個(gè)高音頻再重組。這樣看來(lái),聲音甚至音樂(lè),反倒一點(diǎn)也不特殊了,至于音樂(lè)的電子化、數(shù)字化,只是水到渠成而已。傅立葉系列,確實(shí)揭示了一部分音樂(lè)的秘密,它將聲音的傳播方式工業(yè)化,也改變了音樂(lè)工業(yè)化的進(jìn)程。在歐洲文明里,音樂(lè)曾經(jīng)有著那么神圣和根本的地位,而如今對(duì)它的模擬和再現(xiàn)都成為可能。音樂(lè)和數(shù)學(xué),有著天然本質(zhì)的聯(lián)系,或許僅僅是因?yàn)?,?shù)學(xué)形式在世上無(wú)所不在。

    從歐洲的啟蒙時(shí)代開(kāi)始,人愈加自信甚至狂妄,因?yàn)榭茖W(xué)似乎無(wú)所不能;可同時(shí)人也變謙卑了,因?yàn)闀?huì)更客觀地看自身,知道自然并非為取悅?cè)硕嬖?。物理學(xué)研究聲音,就應(yīng)該面對(duì)各種聲音(包括人聽(tīng)不見(jiàn)的振動(dòng)),而非“好聽(tīng)的聲音”,所以科學(xué)家的研究,從對(duì)和聲、和諧的認(rèn)知變成聲學(xué),數(shù)學(xué)和音樂(lè)的分裂已經(jīng)不可避免。到了二十世紀(jì),學(xué)科越來(lái)越細(xì),卻也越來(lái)越多,有一部分就來(lái)自傳統(tǒng)學(xué)科的交叉,所以有了“計(jì)算音樂(lè)”這么個(gè)分支。數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn),一些音樂(lè)現(xiàn)象和作品,是可以用數(shù)學(xué)來(lái)解釋的,比如音階的七個(gè)音,天然可以用離散傅立葉級(jí)數(shù)來(lái)表達(dá);許多計(jì)算音樂(lè)領(lǐng)域內(nèi)的論文,直接涉及音樂(lè)分析,比如一些音樂(lè)中能量和情感爆發(fā)的狀態(tài),在數(shù)學(xué)上也能夠觀察和預(yù)測(cè),并體現(xiàn)數(shù)學(xué)意義。尤其是二十一世紀(jì),用傅立葉分析來(lái)研究音樂(lè)的方向相當(dāng)紅火,并非危言聳聽(tīng),作曲家真的可以從空間、幾何等方面認(rèn)知吸收一些靈感了。

    幸好,科學(xué)能解構(gòu)、能建構(gòu)、能分解、能模擬,人世卻是動(dòng)態(tài)的,算法之網(wǎng)恢恢,人尚有逃逸的空間。傅立葉變換并未將聲音尤其是音樂(lè)的秘密一網(wǎng)打盡。人腦仍然會(huì)給聲音施加生理和文化的影響,比如對(duì)音樂(lè)會(huì)“腦補(bǔ)”出一些并不存在的頻率,有時(shí)人耳感覺(jué)最舒服的未必是數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)最完美的,等等,更不要提傾聽(tīng)習(xí)慣軟化困難的力量。尤其是,數(shù)學(xué)細(xì)節(jié)之美,尚未普遍內(nèi)化為大腦的快樂(lè),“遠(yuǎn)古大腦”們?nèi)匀桓吒吲d興地?fù)肀Ч适?、圖像、旋律等感性的幸福,科學(xué)苦口婆心也未必能說(shuō)服它??茖W(xué)在進(jìn)步,AI在擴(kuò)張,我們不斷發(fā)現(xiàn)自己可以控制和模擬的事物,同時(shí)也不斷發(fā)現(xiàn)新死角,兩者競(jìng)賽,即便前者勝券在握,后者只剩被圍剿的命運(yùn),人類的“龜爬”尚有時(shí)日殘喘吧。

    參考文獻(xiàn):

    Joseph Fourier: The Man and the Physicist, by John Herivel, Oxford University Press, 1975;

    Measured Tones: The Interplay of Physics and Music, by Ian Johnston, CRC Press, 2009;

    Music Through Fourier Space: Discrete Fourier Transform in Music Theory, by Emmanuel Amiot, Springer, 2016;

    Music: A Mathematical Offering, by David Benson, Cambridge University Press, 2013;

    Physics and Music: The Science of Musical Sound, by Harvey E. White, Dover Publications, 2014;

    Who Is Fourier? A Mathematical Adventure, by Transitional College of LEX, Language Research Foundation, 2012.

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