解析幾何初步中的思想方法探究

☉江蘇省宜興市官林中學(xué) 吳燕江

☉江蘇省宜興市官林中學(xué) 李俊峰

解數(shù)學(xué)題時(shí)，若方法得當(dāng)，則事半功倍；若方法不當(dāng)，則前功盡棄，做解析幾何題更是如此.那么在解析幾何中有哪些基本的思想方法，能讓我們順利地將運(yùn)算進(jìn)行到底呢？

一、方程思想

解析幾何主要是研究曲線與方程的關(guān)系，因此求解解析幾何問(wèn)題時(shí)，往往離不開(kāi)方程的思想.

例1已知圓O的方程為x2+y2=1，它與x軸交于P，Q兩點(diǎn)，M是圓O上異于P，Q的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A（3，0）且與x軸垂直的直線為l2，直線PM交直線l2于點(diǎn)P′，直線QM交直線l2于點(diǎn)Q′.求證：以P′Q′為直徑的圓C總經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).

解析：對(duì)于圓O的方程x2+y2=1，令y=0，得x=±1，即P（-1，0），Q（1，0）.

又直線l2過(guò)點(diǎn)A且與x軸垂直，所以直線l2的方程為x=3.

又s2+t2=1，故整理可得

若圓C經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，只需令y=0，從而有x2-6x+1=0，解得

點(diǎn)評(píng)：以P′Q′為直徑的圓C是動(dòng)圓，將動(dòng)圓的方程改寫為曲線系的形式，通過(guò)解方程組進(jìn)而得到定點(diǎn)的坐標(biāo).

二、函數(shù)思想

對(duì)于一類解析幾何中的最值問(wèn)題，往往可以通過(guò)構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題.

例2（1）點(diǎn)P（1，2）和圓C：x2+y2+2kx+2y+k2=0上的點(diǎn)的距離的最小值是______.

解析：（1）將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為（x+k）2+（y+1）2=1.

所以圓心C的坐標(biāo)為（-k，-1），半徑r=1.

又（1+k）2+（2+1）2＞1，所以點(diǎn)P（1，2）在圓外.

所以點(diǎn)P和圓C上的點(diǎn)的最小距離dmin=|PC|min-r=3-1=2.故填答案：2.

（2）設(shè)P（2t，t），則|PA|2+|PB|2=（2t-1）2+（t+1）2+（2t-2）2+（t-2）2=10t2-14t+10，

點(diǎn)評(píng)：利用函數(shù)關(guān)系求解析幾何中的最值問(wèn)題，易錯(cuò)點(diǎn)是容易忽視參數(shù)的取值范圍.在本例中，參數(shù)k與t的取值范圍都是任意實(shí)數(shù).

三、數(shù)形結(jié)合思想

解析幾何的本質(zhì)就是用“數(shù)”去研究“形”，因此在求解解析幾何題時(shí)，數(shù)形結(jié)合是最行之有效的方法之一，尤其對(duì)于某些位置關(guān)系中的最值（取值范圍）問(wèn)題，往往可以“秒殺”.

例3（1）設(shè)圓（x-3）2+（y+5）2=r2（r>0）上有且僅有兩個(gè)點(diǎn)到直線4x-3y=2的距離為1，則圓的半徑r的取值范圍是（ ）.

A.（4，6） B.［4，6） C.（4，6］ D.［4，6］

（2）已知圓C1：x2+y2=4和圓C2：x2+（y-8）2=4，直線y=在兩圓之間穿過(guò)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是_____.

解析：（1）圓心（3，-5）到直線4x-3y=2的距離為d=，而到直線4x-3y=2的距離為1的軌跡為4x-3y=7或4x-3y=-3.

如圖1所示，當(dāng)圓與直線4x-3y=7相交且與4x-3y=-3相離時(shí)，圓上只有兩點(diǎn)到直線4x-3y=2的距離為1.所以4＜r＜6.故答案選A.

圖1

圖2

當(dāng)直線與圓C1相切時(shí)，解得b=±3.

當(dāng)直線與圓C2相切時(shí)，，解得b=5或b=11.

由圖可知3＜b＜5.故填答案：（3，5）.

點(diǎn)評(píng)：化動(dòng)為靜，找到圓或直線的兩個(gè)特殊位置，很容易從圖中看出答案.本例若脫離圖形去分析問(wèn)題，往往理不出頭緒，而利用圖形，答案可“秒殺”，由此可見(jiàn)，數(shù)形結(jié)合具有“神奇功效”.

四、等價(jià)轉(zhuǎn)換

轉(zhuǎn)化是數(shù)學(xué)解題的“主旋律”.挖掘目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將最值問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為解析幾何中的有關(guān)位置關(guān)系問(wèn)題，同時(shí)也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

例4（1）已知點(diǎn)P（x，y）是圓（x+2）2+y2=1上任意一點(diǎn)，則x2+y2的最大值和最小值分別是______.

（2）已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2=1，則的取值范圍是______.

解析：（1）設(shè)t=x2+y2，則t表示圓（x+2）2+y2=1上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方.而此圓的圓心到原點(diǎn)的距離為2，所以tmax=（2+r）2=（2+1）2=9，tmin=（2-r）2=（2-1）2=1.

所以x2+y2的最大值為9，最小值為1.故填答案：9，1.

（2）如圖3所示，設(shè)P（x，y）是圓x2+y2=1上的點(diǎn)，則表示過(guò)P（x，y）和Q（-1，-2）兩點(diǎn)連線的直線的斜率.過(guò)點(diǎn)Q作圓的兩條切線QA、QB，由圖可知QB⊥x軸，故kQB不存在，且kQP≥kQA.

圖3

設(shè)切線QA的斜率為k，則其方程為y+2=k（x+1），

五、設(shè)而不求

我們知道在求解解析幾何問(wèn)題時(shí)，解方程或解方程組是“家常便飯”，而為了優(yōu)化解題過(guò)程，我們往往需要對(duì)方程組的解或相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)“設(shè)而不求.”

例5已知圓x2+y2+x-6y+m=0與直線x+2y-3=0相交于P，Q兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，且OP⊥OQ，求實(shí)數(shù)m的值.

解析：由消去y得5x2+10x+4m-27=0.

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則

又因?yàn)镺P⊥OQ，所以kOP·kOQ=-1，即x1x2+y1y2=0.

整理可得5x1x2-3（x1+x2）+9=0，

解得m=3且滿足Δ>0，所以實(shí)數(shù)m的值為3.

點(diǎn)評(píng)：此題設(shè)出P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，但在求解的過(guò)程中又不刻意地求出來(lái)，只將其作為一個(gè)轉(zhuǎn)化過(guò)程中的橋梁，這種“設(shè)而不求”的解題方法在解析幾何中很常見(jiàn)，要注意認(rèn)真體會(huì)并掌握.

本文最后值得一提的是，所謂解析幾何就是用代數(shù)的方法來(lái)解決幾何的問(wèn)題，所以善于運(yùn)算是解題的關(guān)鍵，而如何優(yōu)化運(yùn)算是一個(gè)值得研究的問(wèn)題，或許本文會(huì)對(duì)大家有所啟發(fā).