解數(shù)學(xué)題過程中學(xué)生是怎樣思考的

☉貴州省貴陽市教育科學(xué)研究所 邱云峰

解數(shù)學(xué)題過程中學(xué)生是怎樣思考的？這一問題，針對(duì)不同的題目學(xué)生有不同的思維過程，針對(duì)同一題目不同層次的學(xué)生也會(huì)有不同的思維過程，甚至同一題目同一學(xué)生在不同的時(shí)間也會(huì)有不同的思維過程，也可能在前后兩次的思維中完全不同.所以就造成大部分教師在備課備習(xí)題的過程中避而不談、含混其詞，在課堂教學(xué)中“且問且行，且導(dǎo)且行”.本文嘗試從一道函數(shù)背景的試題出發(fā)，模擬展示學(xué)生的思維過程，模擬展示也許只在思維中停留瞬間的過程，從而探尋一些對(duì)學(xué)生解題有幫助的教學(xué)策略.

一、原題再現(xiàn)

（2018年貴州省模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)第21題）

如圖1，在矩形ABCD中，A（1，0），B（1+x，0），且x>0，D在曲線上，BC與曲線交于E，四邊形ABEF為矩形.

圖1

（1）用x分別表示矩形ABCD，曲邊梯形ABED及矩形ABEF的面積，并用不等式表示它們的大小關(guān)系；

考試過后本題得到一線教師的普遍認(rèn)可，試題的模擬和檢測(cè)功能較高.命制本題起源于張景中院士的科普書籍《不用極限的微積分》，試題每一問都緊扣考試大綱要求：第（1）問的要求是了解定積分的實(shí)際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念，了解微積分基本定理的含義；第（2）問的要求是了解函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值，會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值；第（3）問的要求是了解合情推理的含義，能進(jìn)行簡(jiǎn)單的類比推理，體會(huì)并認(rèn)識(shí)合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用，了解直接證明的兩種基本方法：綜合法和分析法，了解綜合法和分析法的思考過程和特點(diǎn).學(xué)科能力方面，本題重點(diǎn)考查抽象概括能力、推理論證能力和應(yīng)用意識(shí).

二、探尋思維

下面就從學(xué)生讀題開始來模擬其思維的過程.（有的地方語言上可能有重復(fù)，但必要的重復(fù)卻真實(shí)地反映了思維的過程.）

如圖1，矩形ABCD，什么叫矩形？矩形有哪些性質(zhì)？有用嗎？

A（1，0），B（1+x，0），點(diǎn)A確定，在x軸上，點(diǎn)B也在x軸上，但不確定，又因?yàn)閤＞0，則點(diǎn)B在點(diǎn)A的右邊；那么x可能取無限大的數(shù)，也可以是無限小的一個(gè)正數(shù)嗎？為什么題目要設(shè)計(jì)點(diǎn)B可變？（暫時(shí)還不知道.）

四邊形ABEF為矩形，點(diǎn)F是被點(diǎn)E確定的；

題目的已知條件中還有什么是沒有被關(guān)注到的？圖形？圖形中還有什么？已知條件中還可以提出一些什么問題？圖形中的坐標(biāo)系沒有被關(guān)注到？這能有什么幫助嗎？好像可以表示出各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，也許有用.第（1）問，用x分別表示三個(gè)面積，兩個(gè)矩形面積容易求，但曲邊梯形面積如何求呢？定積分？定積分的定義是什么？它的幾何意義是什么？微積分基本定理中要注意哪些細(xì)節(jié)？（參閱教材），“用x表示”就是把x當(dāng)成一個(gè)定值，有x的存在，要表示三個(gè)面積的大小關(guān)系，確定嗎？會(huì)涉及分類討論嗎？從圖形上看，三個(gè)面積有很好的包含關(guān)系，大小關(guān)系一目了然，難道還有什么特殊情況嗎？

解答：矩形ABCD面積為x，曲邊梯形ABED面積為，矩形ABEF的面積為，觀察圖形可得它們的大小關(guān)系為.（這個(gè)式子有點(diǎn)似曾相識(shí)的感覺，和教材上的題目結(jié)論有點(diǎn)相似，不知道后面是否還要用）

上面的式子還有什么更細(xì)微的細(xì)節(jié)？（x+1，x-1，1，lnx，2a，＜，聯(lián)想到平方差公式、特殊值，對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，參數(shù)，不等式的性質(zhì)，特別是乘除時(shí)要關(guān)注符號(hào)）準(zhǔn)備對(duì)不等式變形時(shí)發(fā)現(xiàn)，0＜x＜1，可以得出x-1＜0，lnx＜0，x+1＞0，則a＞0，這樣對(duì)a的范圍又縮小了.

【思路】先試一下分離參數(shù)的方法，對(duì)

（過程中準(zhǔn)備放棄?。┓帜傅姆?hào)確定，分子呢？試一下.

令h（x）=-2xlnx+x2-1，則h′（x）=-2lnx-2+2x（如果再求導(dǎo)，就要瘋了，但好像能判斷正負(fù)呢?。?/p>

（最后發(fā)現(xiàn)）h′（x）=2（x-1）-2lnx，由y=x-1，y=lnx的圖像可知在（0，1）上h′（x）＞0，

所以h（x）在（0，1）上是增函數(shù)，h（x）＜h（1）=0.

所以g′（x）＜0.所以g（x）在（0，1）上是減函數(shù).

所以g（x）＞g（1）=…（結(jié)束，g（1）無意義，崩潰.當(dāng)然，作為教師知道

反思：在構(gòu)造函數(shù)時(shí)就沒有考慮區(qū)間端點(diǎn)是否有意義，說明分離參數(shù)法不行.（在考試過程中，如果學(xué)生求解到這一步，就很可能沒有時(shí)間重新回頭審視和思考更好的方法了，但高考評(píng)卷中可以得到過程分）

三、反思總結(jié)

上面描述的是一種思維過程，學(xué)生的真實(shí)思維過程可能更多或更少，可能更慎密或更懸妙，可能更有頓悟的感覺，但都可以從中探尋到一些解題過程中重要的思維要素和品質(zhì).一是觀察，既要從整體上觀察題目的結(jié)構(gòu)，又要從細(xì)節(jié)上觀察題目描述；既要從文本上觀察，又要從圖形上觀察；既要從條件上觀察，又要從問題上觀察；既要重視觀察的目標(biāo)方向，又要突出觀察的重點(diǎn).二是提問，用批判性的語言和語氣對(duì)題目?jī)?nèi)容提出問題，并由自己不斷地回答自己提出的問題.如為什么要給出這個(gè)條件？為什么要用“x＞0”？為什么要用“僅有一個(gè)交點(diǎn)”？“提問”這一方式是人的思維發(fā)展最好的導(dǎo)航，它將人的想法不斷拓展到定式范圍以外.引導(dǎo)學(xué)生在解題過程中不斷提出“小問題”，實(shí)質(zhì)上是很好地落實(shí)了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017版）》中要求的“提高從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力.”三是聯(lián)想，每個(gè)人在思考問題時(shí)都是站在已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)上，意識(shí)或潛意識(shí)中都希望已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)?zāi)軌虺蔀榻鉀Q新問題的“腳手架”，在審題的過程中大腦不斷在搜尋和比較，“這個(gè)題目是否就是以前做過的題目？”“這個(gè)題目是否與以前做的題目類似？”“這個(gè)題目與以前做的題目的哪些部分是相同的？哪些部分是不相同的？相同的部分是否可以朝著相同的路徑思考？不同的部分又會(huì)帶來怎樣不一樣的結(jié)論？”這些問題都不斷地促進(jìn)大腦的聯(lián)想功能，同時(shí)，原問題中一個(gè)關(guān)鍵詞就可以激起大腦聯(lián)想到“一片知識(shí)”或一套“思維系統(tǒng)”，如原題中的一個(gè)“矩形”、“面積”就可以促使大腦迅速聯(lián)想到整個(gè)初中階段學(xué)習(xí)的平面幾何的內(nèi)容，題目中的一個(gè)點(diǎn)的空間坐標(biāo)就促使大腦聯(lián)想到整個(gè)空間直角坐標(biāo)系解決空間線面的數(shù)量關(guān)系問題的方法系統(tǒng)等.四是養(yǎng)成習(xí)慣，我們的學(xué)生不應(yīng)該局限于掌握一些具體的知識(shí)點(diǎn)或“死方法”，不應(yīng)該局限于掌握一些具體的板塊題型或解題“套路”，而應(yīng)該養(yǎng)成一些科學(xué)的思維習(xí)慣，如細(xì)致的觀察，耐心的運(yùn)算，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评?，?yán)密的分析，批判的提問，規(guī)范的表達(dá)等習(xí)慣，逐步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，循序漸進(jìn)地引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.