以抽象函數(shù)為背景的不等式問題的破解策略

☉福建省廈門雙十中學 梁瑩瑩

一、知識的重要性

抽象函數(shù)是指沒有給出具體的解析式，只給出一些體現(xiàn)函數(shù)性質特征的條件的一類函數(shù)，它是高中函數(shù)知識模塊中非常重要的一種函數(shù)類型.在近幾年高考和模擬考中，以抽象函數(shù)為背景的不等式問題頻頻亮相，題目以能力立意，短小精干，除考查導數(shù)四則運算法則及函數(shù)的圖像和性質外，重點考查學生分析和解決問題的能力以及創(chuàng)新思維，難度較大，區(qū)分度較高，既是熱點也是難點.

實際上，根據條件和目標不等式的結構特征，聯(lián)系導數(shù)的四則運算法則和基本初等函數(shù)的求導公式，構造新函數(shù)，是解決此類問題的關鍵，這是一種創(chuàng)造性思維過程，具有較大的靈活性和技巧性，如果能掌握相應的構造策略，必能突破問題屏障，提升學生的聯(lián)系轉化的思維能力，鍛煉學生的創(chuàng)新思維.

二、學生的困惑

以抽象函數(shù)為背景的求解不等式或者比較大小問題，對大部分學生來說既是難點也是薄弱點，主要原因有三：

1.對題目條件中含有導數(shù)符號的不等式的結構特征認識不清，對基本初等函數(shù)的求導公式和導數(shù)的四則運算法則的正向與逆向運算不熟練、不敏感，從而無法構造出新函數(shù).

2.對所求的目標不等式的結構特征分析不到位，或者等價轉化的能力不夠，無法變形出含有新函數(shù)結構特征的式子，導致無法在條件和目標之間產生關聯(lián)，使得解題受阻.

3.即使能夠構造出新函數(shù)，但是對新函數(shù)的單調性、奇偶性、對稱性、特殊的函數(shù)值等性質以及圖像的綜合分析不夠全面透徹，導致無法求解不等式.

三、解題策略

1.結構化策略——由局部聯(lián)想整體，化生為熟

例題1（2015·新課標全國卷Ⅱ·12）設函數(shù)f ′（x）是奇函數(shù)f（x）（x∈R）的導函數(shù)，f（-1）=0，當x＞0時，xf′（x）-f（x）＜0，則使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（ ）.

A.（-∞，-1）∪（0，1） B.（-1，0）∪（1，＋∞）

C.（-∞，-1）∪（-1，0） D.（0，1）∪（1，＋∞）

分析：條件不等式同時出現(xiàn)f（x）和f ′（x），兩者之間是減號，再聯(lián)想到（x）′=1，則把條件變形為f ′（x）xf（x）（x）′＜0，這恰好符合商的求導法則中的分子結構，逆向應用法則，配湊出分母，等價轉化為，因此構造的新函數(shù)為

圖1

解答：構造函數(shù)（x ≠0），則 當x ＞0 時，在（0，+∞）上單調遞減.又因為f（x）為奇函數(shù)且y=x也為奇函數(shù)，所以F（x）為偶函數(shù)，則F（x）在（-∞，0）上單調遞增（如圖1所示），f（-1）=0?F（-1）=F（1）=0.當x＞0時，f（x）＞0?F（x）＞0?0＜x＜1，當x＜0時，f（x）＞0?F（x）＜0?x＜-1，故使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是（-∞，-1）∪（0，1），故選A.

【變式1】條件不等式變?yōu)閤f′（x）+f（x）＜0，我們應該構造什么函數(shù)？

分析：同時出現(xiàn)f（x）和f′（x），兩者之間是加號，再聯(lián)想到（x）′=1，變形為f′（x）x+f（x）（x）′＜0，符合積的求導法則［f（x）g（x）］′=f′（x）g（x）+f（x）g′（x），則f′（x）x+f（x）（x）′=［xf（x）］′＜0，因此構造函數(shù)F（x）=xf（x）.

【變式2】條件不等式變?yōu)閒′（x）+f（x）＜0，我們應該構造什么函數(shù)？

分析：同時出現(xiàn)f（x）和f′（x），兩者之間是加號，聯(lián)系積的求導法則，我們需要尋找一個函數(shù)g（x），使得它的導函數(shù)就是它本身，聯(lián)想到（ex）′=ex，在f′（x）+f（x）＜0的兩邊同時乘以ex，轉化為f′（x）ex+f（x）ex＜0?［exf（x）］′＜0，所以構造函數(shù)F（x）=exf（x）.

【變式3】條件不等式變?yōu)閏osxf′（x）-sinxf（x）＜0，我們應該構造什么函數(shù)？

分析：同時出現(xiàn)f（x）和f′（x），聯(lián)想到（cosx）′=-sinx，再聯(lián)系積的求導法則，得cosxf′（x）-sinxf（x）=cosxf′（x）+（cosx）′f（x）=［cosxf（x）］′，所以構造函數(shù)F（x）=cosxf（x）.

【變式4】條件不等式變?yōu)閤f′（x）+2f（x）＜0，我們應該構造什么函數(shù)？

分析：同時出現(xiàn)f（x）和f′（x），兩者之間是加號，根據前面的想法，應聯(lián)系積的求導法則［f（x）g（x）］′=f′（x）g（x）+f（x）g′（x），但是（x）′≠2，法則結構對不上？怎么辦？能否對條件不等式進行適當變形，比如說，在不等式的兩邊同時乘上某個式子，使得結構特征滿足積的求導法則？我們需要尋找一個函數(shù)g（x），使得，再聯(lián)系到（x2）′=2x，所以兩邊同時乘以x（假設x＞0），變形出x2f ′（x）+2xf（x）＜0?［x2f（x）］′＜0，所以構造函數(shù)F（x）=x2f（x）.

【課后思考】條件不等式變?yōu)閒′（x）-f（x）＜0，cosxf′（x）+sinxf（x）＜0，xf′（x）-2f（x）＜0，應分別構造什么函數(shù)？答案：分別構造函數(shù)

【總結反思】在題目條件中，總會有一個含有f′（x）符號的式子，其中f（x）是抽象函數(shù)，可能還會夾雜一些具體函數(shù)形式（比如x，tanx等），聯(lián)系兩個函數(shù)四則運算求導法則和基本初等函數(shù)求導公式的結構特征，通過移項、同乘或者同除某個具體函數(shù)等變形手段，使得局部分散的多個函數(shù)的導數(shù)關系式，向整體集中的單個函數(shù)的導數(shù)關系式轉化，這個整體函數(shù)就是我們所要構造的新函數(shù)F（x）.

再把待求的目標不等式的兩邊，等價轉化成前面所構造出的新函數(shù)結構，根據單調性去掉“F”符號，轉化為求解具體不等式，或者根據新函數(shù)的單調性比較大小，從而得到答案.

這種策略在填選題和解答題中都適用，是解決此類問題的通法.

2.同構化策略——由結論逆推條件，化異為同

例題2定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f′（x）＞f（x），則當a＞0時，f（a）與eaf（0）之間的大小關系為（ ）.

A.f（a）＜eaf（0） B.f（a）＞eaf（0）

C.f（a）=eaf（0） D.不能確定

解法1：結構化策略（讓學生做練習）

先移項變形為f′（x）-f（x）＞0，聯(lián)想到（ex）′=ex和商的求導法則，構造函數(shù)，則F（x）在R上單調遞增.又因為a＞0，所以故選B.

解法2：同構化策略

分析：觀察四個選項，除了D選項，A，B，C三個選項結構一致，都是關于f（a）與eaf（0）大小關系的式子，我們嘗試移項變形，把具有相同自變量的式子變形到不等式同側，不同自變量的式子變形到不等式兩側，再聯(lián)想到e0=1，構造出具有同構性的結構形式，我們把相同的東西保持不動，不同自變量的地方引入變量x，猜想要構造的新函數(shù)應為，下同解法1.這就叫“異形同構”，雖然自變量不同，但是不等式兩邊的結構具有高度一致性，就可以構造這個同構性的函數(shù)，再利用新函數(shù)單調性來比較大小.

3.特殊化策略——由特殊代替一般，化抽象為具體

例題3已知定義域為R的奇函數(shù)y=f（x）的導函數(shù)為y=f ′（x），當x≠0時，，則a，b，c的大小關系正確的是（ ）.

A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.a＜c＜b D.c＜a＜b

分析：不妨設最簡單的奇函數(shù)f（x）=x對任意的x≠0恒成立，如此a，b，c都可以具體算出來，很容易比較大小.