☉江蘇省贛榆高級中學 郭新祝
求解空間幾何體的體積是高中數(shù)學較為常見的題型,受限于幾何體的結(jié)構(gòu)和所給條件,在求幾何體的體積時需要選用合理的方法策略,下面簡要講解其中的三種方法以及使用思路.
直接求解,即利用幾何體對應的體積公式,將相應的幾何量代入公式來求解.適用于公式法的幾何體一般較為常見,且形狀規(guī)則,因此不需要對其進行轉(zhuǎn)化與變形,只需要結(jié)合體積公式探尋條件即可.利用公式法可以求解柱體、錐體、球體等幾何體的體積.
例1如圖1所示,已知三棱錐P-ABC的棱長PA=1,AB=AC=2,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°,試求該三棱錐的體積.
圖1
分析:題干給出了三棱錐的棱長PA、AB和AC的長以及相關(guān)的角度,求該幾何體的體積則可以考慮直接使用體積公式,將其視為以△ABC為底,以點P為頂點的三棱錐,則需要作出底面上的高,并求出底面積和高的值即可.
解:作底面△ABC上的高PO,即PO⊥底面ABC,然后連接AO,如圖1所示,分析可知AO為PA在底面上的射影,且AO為∠BAC的角平分線,過O點作OE⊥AB于點E,連接PE,則PE⊥AB.故.而底面△ABC的面積為,所以三棱錐的體積,即三棱錐P-ABC的體積為.
評注:幾何體的公式法是需要學生掌握的基本方法,也是幾何體體積求解中最為基礎(chǔ)的思路.利用該方法求解時需要熟悉幾何體對應的體積公式,以及公式中具體字母所對應的含義.例如上述三棱錐的體積公式為,其中的S為三棱錐的底面積,而h為對應底面上的高,兩者之間有著緊密的對應關(guān)系,需要配合使用.因此在利用公式法求解時需要對幾何體進行合理的定型,結(jié)合條件來確定其底面積.
我們知道從不同的角度來分析問題會得出不同的結(jié)論,同樣的,對于同一個幾何體,從不同的角度觀察可以獲得不同的條件.例如可以通過改變幾何體的底面和頂點或轉(zhuǎn)換高,利用等體積原理來求體積,即幾何體的體積恒等轉(zhuǎn)化法.一般體積恒等法有兩種應用思路:一是將幾何體視為是不同的底面和高,二是通過恒等變換求解恒等幾何體的體積.
例2如圖2所示,已知四邊形PCBM為直角梯形,M-ACN為三棱錐,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2.若AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,直線AM與直線PC所成的角度為60°,N為線段BC的中點,試求三棱錐N-ACM的體積.
圖2
分析:題干表明PCBM為直角梯形,且給出了相應的線段長和角度等條件.求解三棱錐N-ACM的體積時,若將其視為是以點N為頂點、ACM為底面的三棱錐,則求解較為困難,可以采用體積恒等法,對三棱錐的頂點和底面進行轉(zhuǎn)化,然后利用三棱錐的體積公式代入求解即可.
解:易知MN=PC,且MN∥PC,進一步分析可知MN⊥平面ABC.已知直線AM與直線PC所成的角度為60°,則∠AMN=60°,在△CAN中使用余弦定理可得AN=,在△AMN中可得MN=AN·cot ∠AMN=1,因此四邊形PCNM為正方形.
可將三棱錐N-ACM視為以點M為頂點,△ACN為底面的三棱錐,則MN就為底面到頂點的高,即,即三棱錐M-ACN的體積為.
評注:等體積轉(zhuǎn)化是數(shù)學幾何“等量法”的應用體現(xiàn),也是幾何體體積求解較為有效的方法.其基本思路就是通過轉(zhuǎn)化幾何體的觀察視角,建立不同的求解模型.上述求解三棱錐的體積采用了底面和頂點的等體轉(zhuǎn)化思路,從而將其視為是較為特殊的三棱錐,直接獲得了底面上的高.而在等體轉(zhuǎn)化應用時需要注意兩點:一是視角轉(zhuǎn)化必須基于同一幾何體;二是盡量將其轉(zhuǎn)化為較為特殊的幾何體,便于后續(xù)的公式套用,尤其是關(guān)注底面上高的獲得.
體積割補法是對初中數(shù)學面積割補法的應用延伸,即通過幾何割補的方式將不規(guī)則的幾何體轉(zhuǎn)化為較為規(guī)則或特殊的基本幾何體,通過求簡單規(guī)則幾何體的體積來間接求解的一種思路方法,因此該方法適用于抽象、不規(guī)則幾何體的體積求解.另外割補法的使用有三種思路:一是只割不補,二是只補不割,三是割補混用,解題時需要靈活選用.
圖3
例3如圖3所示,已知六邊形ABCDEF為一不規(guī)則的多面體,其中四邊形ABCD為邊長為3的正方形,若EF∥AB,EF⊥AE,且,線段EF到線段AC的距離為2,試求該幾何體的體積.
分析:上述圖形為不規(guī)則的多面體,不屬于基本的幾何體,故沒有直接適用的體積公式,因此需要采用合適的方法對其進行轉(zhuǎn)化
變形,求多面體體積最為常用的方法為體積割補法.題干中指明EF到線段AC的距離為2,分析可得EF平行于平面ABCD,因此可以視為EF到平面ABCD的距離.另外對于該多面體可以從兩個角度使用割補法:一是對幾何體進行只割不補,二是對幾何體進行只補不割.
在幾何體上取線段AB和CD的中點,分別設(shè)為點G和H,然后連接EG,GH和EH,如圖4所示,從而平面EHG將多面體分割為三棱柱BCF-GHE和四棱錐E-ADHG,則該多面體的體積就為上述四棱錐和三棱柱體積之和.其中四棱錐可以視為以點E為頂點,以矩形ADHG為底面的四棱錐,其中底面的面積為正方形ABCD的一半,即,而三棱柱的體積為,所以整個多面體的體積為
圖4
圖5
采用補全的方式來求多面體的體積,將其補全為規(guī)則的幾何體,分別過點B和點C作線段AE和DE的平行線,設(shè)其交點為點G,然后連接FG,BG,CG,如圖5所示,則幾何體轉(zhuǎn)變?yōu)檩^為規(guī)則的幾何體,而添加的幾何體為三棱錐F-BCG,最終原幾何體的體積為補全幾何體的體積減去三棱錐的體積,即V原多面體=V補全幾何體-VF-BCG.根據(jù)已知條件可確定點F到平面ABCD的距離為2,而正方形ABCD的面積為9,則V補全幾何體=9,利用公式可確定三棱錐F-BCG的體積為,所以,即多面體的體積為
評注:實際上體積割補法是體積加減的一種恒等轉(zhuǎn)化方式,也是幾何由抽象向規(guī)則轉(zhuǎn)化的思維方法.上述是對同一多面體采用不同割補思路的求解分析,其轉(zhuǎn)化核心是相一致的:將幾何體轉(zhuǎn)變?yōu)橐?guī)則幾何體的組合.而在實際解題時需要注意:幾何體割補時應聯(lián)系題干條件,將幾何體轉(zhuǎn)化為與已知條件聯(lián)系緊密的幾何體,以便于體積求解.
綜上可知,利用幾何體的體積求解策略均是為了降低思維難度,將問題簡單化.無論是利用體積公式,還是對體積進行等量、割補轉(zhuǎn)化,均需要充分挖掘幾何體的結(jié)構(gòu)特點,厘清體積與已知條件的關(guān)系,建立合理的幾何模型.另外,在學習體積求解的方法策略時需要深入滲透數(shù)學思想,以提升解題思維為重點.