空間問題多面化，多解思維顯身手
——2019年全國卷Ⅰ理科第12題評析

☉福建省福州第十一中學 楊秀麗

一、真題再現(xiàn)

【高考真題】（2019·全國卷Ⅰ理·12）已知三棱錐PABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的體積為（ ）.

本題以三棱錐與球的位置關(guān)系為問題背景，利用相應(yīng)線段的長度與角度的關(guān)系，確定三棱錐的準確信息，為進一步求解與應(yīng)用提供條件.而結(jié)合兩空間幾何體的位置關(guān)系，可以從多個角度進行切入，從解三角形思維、空間幾何思維、空間向量思維、空間坐標思維等入手，都可以得到有效破解，達到解決問題的目的.

二、一題多解

1.思維角度1：解三角形思維

結(jié)合空間幾何體中對應(yīng)的三角形問題，通過解三角形思維，利用余弦定理來轉(zhuǎn)化相應(yīng)三角形中對應(yīng)的線段長度與角度的關(guān)系，進而得以求解相應(yīng)的線段長度，進一步轉(zhuǎn)化與確定球的半徑，從而達到求解的目的.

方法1：（余弦定理法1）設(shè)PA=PB=PC=2x，而E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，則有EF∥PB，且

圖1

作PD⊥AC交AC于點D，則知點D為AC的中點，

把三棱錐P-ABC補成對應(yīng)的正方體，則正方體的外接球即為三棱錐的外接球，

方法2：（余弦定理法2）設(shè)PA=PB=PC=2x，而E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，則有EF∥PB，且.

在△EPC中，由余弦定理，可得CE2=x2+4x2-2×x×2x×cos∠EPC=x2+2，

又∠CEF=90°，則有CE2+EF2=CF2，即x2+2+x2=3，解得，

以下步驟同方法1部分，故選擇答案：D.

方法3：（余弦定理法3）設(shè)PA=PB=PC=2x，而E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，則有EF∥PB，且.

以下步驟同方法1部分，故選擇答案：D.

2.思維角度2：空間幾何思維

結(jié)合空間幾何體的性質(zhì)，通過幾何法思維，利用空間點、線、面的平行與垂直關(guān)系的判定與性質(zhì)加以推理與證明，結(jié)合相關(guān)的定義進而得以求解相應(yīng)的線段長度，進一步轉(zhuǎn)化與確定球的半徑，從而達到求解的目的.

方法4：（垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化法）由于PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，

所以三棱錐P-ABC為正三棱錐，可得PB⊥AC，

又E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，則有EF∥PB，可得EF⊥AC.

又∠CEF=90°，即EF⊥CE，AC∩CE=C，可得EF⊥平面PAC，則有PB⊥平面PAC，

則有PB⊥PA，即∠APB=90°，可得PA=PB=PC=.

把三棱錐P-ABC補成對應(yīng)的正方體，則正方體的外接球即為三棱錐的外接球.

3.思維角度3：空間向量思維

結(jié)合空間幾何體中相關(guān)的空間向量的線性運算與數(shù)量積運算，通過空間向量思維，結(jié)合空間向量數(shù)量積的轉(zhuǎn)化得以確定側(cè)棱的垂直關(guān)系，進而得以求解相應(yīng)的線段長度，進一步轉(zhuǎn)化與確定球的半徑，從而達到求解的目的.

方法5：（基底法1）由于∠CEF=90°，則有，即，

把三棱錐P-ABC補成對應(yīng)的正方體，則正方體的外接球即為三棱錐的外接球，

方法6：（基底法2）由于∠CEF=90°，則有即

又△ABC是邊長為2的正三角形，PA=PB=PC，則知△PAB≌△PBC，

以下步驟同方法5部分，故選擇答案：D.

三、變式拓展

探究：保持原來題目的條件，通過直接求解球O的半徑或求解球O的表面積等方式加以變式，難度保持不變，考點相差無幾.

【變式1】已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的半徑為______.

【變式2】已知三棱錐P-ABC的四個頂點在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是邊長為2的正三角形，E，F(xiàn)分別是PA，AB的中點，∠CEF=90°，則球O的表面積為______.

解析：結(jié)合以上高考真題的解析方法可知R=，可得球O的表面積S=4πR2=6π，

故填答案：6π.

四、規(guī)律總結(jié)

與球有關(guān)的組合體問題，往往與棱柱、棱錐等加以組合，以選擇題、填空題的形式在高考中頻繁出現(xiàn)，比如球的內(nèi)接多面體問題、球的外切多面體問題等.破解此類問題的關(guān)鍵是抓住球心到多面體的各個面的距離等于球的半徑（內(nèi)切球）或球心到多面體的各個頂點的距離等于球的半徑（外接球），進而合理建立等量關(guān)系來達到處理與求解的目的.