一道高考題的解法說明及解題反思

☉黑龍江省大慶市大慶實(shí)驗(yàn)中學(xué) 陳永志

向量作為8個C級要求之一向來是區(qū)分考生能力的中堅(jiān)擔(dān)當(dāng)，不出意外的是，在2019年的江蘇高考中，向量問題出現(xiàn)在了第12題的位置，這是一個典型中檔偏難題的位置.出現(xiàn)在這個位置的問題不僅需要學(xué)生掌握局部章節(jié)的知識，還需要學(xué)生能夠?qū)⑶昂蟮闹R點(diǎn)聯(lián)系起來進(jìn)行綜合性解決.如下，我們將從幾個不同的方向來剖析本題，并對其背后的知識點(diǎn)與考查意圖作一個簡要的說明.

（2019年江蘇卷第12題）如圖1，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在邊AB上，BE=2EA，AD與CE交于O點(diǎn)則的值是______.

圖1

破題：縱觀題設(shè)不難發(fā)現(xiàn)圖中共存在六個點(diǎn)，其中A、B、C、D、E五點(diǎn)的相對位置，因題中的比例關(guān)系而顯得相對確定，所以本題的關(guān)鍵在于確定O點(diǎn)與其他幾點(diǎn)的相對位置.

解析（1）：以等分點(diǎn)為基礎(chǔ)，構(gòu)造平行線，利用平行線分線段成比例

圖2

解題反思：平行線分線段成比例是初中幾何課程中的重要知識點(diǎn)，同時在高中數(shù)學(xué)解題的日常中也有較多的應(yīng)用.這種方法的核心在于能夠作出相關(guān)輔助線（亦可過D作EC的平行線）.這是用初中知識解決高中問題的典型代表，雖然這可能不是命題人出題的原意，但作為數(shù)學(xué)課程中的基礎(chǔ)性知識，學(xué)生應(yīng)當(dāng)能夠在不同的情境中將其靈活運(yùn)用.

解析（2）：借助向量共線定理及推論，確定AO與AD的比例關(guān)系

引例如圖3，A、B、C三點(diǎn)共線，O為線外一點(diǎn)，則

圖3

引例解析：不妨設(shè)AB=x，BC=y，則由向量共線定理可知，則λ+μ=1.

解題反思：向量共線定理及其推論是高中向量章節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容，它和向量的基本定理、向量數(shù)量積的表示是各種類型考試中重點(diǎn)關(guān)注的對象.今年高考試卷對共線定理進(jìn)行考查也在情理之中，翻開前幾年的高考江蘇卷，不難發(fā)現(xiàn)，作為中檔題出現(xiàn)的向量問題幾乎清一色的是關(guān)于向量數(shù)量積的內(nèi)容.因此，從向量共線的角度考慮本題或許正是命題人的根本意圖.

解析（3）：借助平面直角坐標(biāo)系，將點(diǎn)坐標(biāo)化

圖4

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，BC為x軸，建立如圖4所示的坐標(biāo)系，不妨設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（m，n），E為AB三等分點(diǎn)，則E點(diǎn)坐標(biāo)為設(shè)BC=2，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），C點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），則直線AD的方程可表示為，直線EC的方程可表示為，將兩者聯(lián)立解得O點(diǎn)坐標(biāo)為.故填答案：.

解題反思：要求兩條線段的長度之比，一個直接的想法是將其表示出來，那么將三角形置于直角坐標(biāo)系中是必然的方向，設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)，固定BC長度，將E、O兩點(diǎn)及AB、AC兩線段用A點(diǎn)坐標(biāo)表示，根據(jù)題設(shè)等量關(guān)系尋找A點(diǎn)坐標(biāo)兩未知量的關(guān)系，利用代入消元法，將待求比例轉(zhuǎn)化成關(guān)于m的表達(dá)式整體約分得解.當(dāng)然解析中所用建系是比較一般的建系，我們還可在不改變題意的前提下，將問題特殊化，進(jìn)行特殊化建系，例如，不妨設(shè)AB⊥EC，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EC、AB分別為x軸，y軸建立直角坐標(biāo)系，計(jì)算將會更加簡練.當(dāng)然將問題特殊化有一個重要前提即特殊化后的問題情境必須符合原問題，有一個簡單的檢驗(yàn)方法是特殊化后的計(jì)算過程不能與原問題情境相沖突或與特殊化的條件相沖突.

解析（4）：以熱點(diǎn)解法極化恒等式為橋梁，并結(jié)合解三角形知識進(jìn)行破題

圖5

過E作EF平行于AD，過D作DG平行于EC，由解法（1）易知點(diǎn)O為AD的中點(diǎn)，為EC四等分點(diǎn).取DC中點(diǎn)M并連接OM，由極化恒等式可知，由比例關(guān)系知再用一次極化恒等式得，兩者相等得AD為三角形ABC中BC邊的中線，由必修5第16頁例6的中線定理可知代入上式可得AB2=3AC2，即故填答案：.

解題反思：在平時的教學(xué)中我們不斷給學(xué)生建立這樣一種意識，在向量數(shù)量積問題中凡是涉及中點(diǎn)問題的問題不妨考慮用極化恒等式.雖然本題不是典型的向量數(shù)量積問題，但題設(shè)中有數(shù)量積，又有中點(diǎn)，還有線段之間的比例關(guān)系（這點(diǎn)與2016年13題相似），可以考慮從極化恒等式角度對已知等量關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化.與2016年13題利用極化恒等式與線段比例關(guān)系可直接求解不同，本題在此基礎(chǔ)上還需要借助解三角形中的中線定理實(shí)現(xiàn)三個量關(guān)系到兩個量關(guān)系的轉(zhuǎn)變.當(dāng)然中線定理在高考說明中現(xiàn)已不做要求，在平時的授課中也僅以例題的形式出現(xiàn)，不屬于必需掌握的范圍，顯然，這對于基礎(chǔ)好的學(xué)生可以挑戰(zhàn)，而針對一般學(xué)生而言建系或利用基底進(jìn)行解決才是正途.