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      四種思維真如鐵,平面向量從頭越
      ——一道江蘇模擬題的破解

      2019-09-06 14:23:38江蘇省太倉高級中學
      中學數(shù)學雜志 2019年17期
      關(guān)鍵詞:建系直角三角形運算

      ☉江蘇省太倉高級中學 陳 健

      平面向量的考查一直是每年高考、自主招生考試、數(shù)學競賽等試卷的熱點問題之一,有時單獨考查,有時與其他相關(guān)知識交匯與融合考查,是高考中能力齊全、方法多樣、思維各異的重要場所.

      一、問題呈現(xiàn)

      【問題】(江蘇省南京市2019屆高三二模數(shù)學試卷·12)已知AD是直角三角形ABC的斜邊BC上的高,點P在DA的延長線上,且滿足,若AD=,則的值為______.

      二、多解思維

      思維角度1

      基底法是平面向量的本質(zhì)所在,是平面向量“幾何”化的表現(xiàn).選用合適的基底,借助平面向量的線性運算,通過極化恒等式或直角三角形的性質(zhì)加以巧妙轉(zhuǎn)化來求解相應的數(shù)量積問題.

      解法1:取BC的中點O,結(jié)合平面向量的線性運算與數(shù)量積公式加以轉(zhuǎn)化得到的長度,結(jié)合極化恒等式以及勾股定理加以巧妙轉(zhuǎn)化來求解即可.

      設OD=x,OB=y,則有AD2=OA2-OD2=OB2-OD2=y2-x2=2,所以結(jié)合極化恒等式可得

      故填答案:2.

      解法2:通過平面向量的線性運算分別表示出與,借助平面向量的線性運算與數(shù)量積公式加以轉(zhuǎn)化得到的長度,結(jié)合直角三角形的性質(zhì)AD2=DB×DC加以轉(zhuǎn)化來求解即可.

      故填答案:2.

      思維角度2

      建系法是平面向量“代數(shù)”化的體現(xiàn),是在可以建系的前提下進行的.建系時往往要借助平面向量中有關(guān)垂直向量的關(guān)系來處理,以此對應的向量為坐標軸所在的直線.不同的建系會導致不同的效果,經(jīng)常可以采用不同的方式來處理.

      解法1:通過以A點為坐標原點,AB、AC所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系,進而確定三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,利用題目條件確定對應參數(shù)之間的關(guān)系,利用直線BC與直線AD的方程來求解點D的坐標,利用平面向量的坐標運算以及數(shù)量積公式加以轉(zhuǎn)化得到,再進一步求解即可.

      以A點為坐標原點,AB、AC所在的直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系xAy,

      設△ABC的三個內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,

      則有a2=b2+c2,A(0,0),B(c,0),C(0,b).

      圖1

      由于AD是直角三角形ABC的斜邊BC上的高,則直線AD的方程為

      故填答案:2.

      思維角度3

      三角函數(shù)法是平面向量問題在三角形中的具體展示,是平面向量問題向直角三角形回歸的充分體現(xiàn).借助三角函數(shù)的定義、三角恒等變換公式等,結(jié)合平面向量的數(shù)量積公式等加以有效轉(zhuǎn)化與求解.

      解法1:引入∠DPC=α,∠DPB=β,結(jié)合條件,利用平面向量的數(shù)量積公式、直角三角形中三角函數(shù)的定義等加以轉(zhuǎn)化得到PD=2,再次利用平面向量的數(shù)量積公式,結(jié)合三角恒等變換公式,以及直角三角形中三角函數(shù)的定義等,通過直角三角形的性質(zhì)AD2=DB×DC的轉(zhuǎn)化來求解即可.

      設∠DPC=α,∠DPB=β,

      故填答案:2.

      思維角度4

      特殊圖形法是解決具有定值結(jié)論的平面向量問題的一種技巧方法.結(jié)合題目條件,通過構(gòu)造特殊的平面幾何圖形(特別是三角形、平行四邊形等),利用特殊的平面幾何圖形的特點,結(jié)合向量運算的幾何意義(三角形法則或平行四邊形法則等)來分析與求解,往往可以使解題更直觀,更簡捷,便于判斷與操作.

      解法1:構(gòu)造等腰直角三角形ABC,利用等腰直角三角形的性質(zhì)得到斜邊BC的中點也是D,根據(jù)條件AD=,利用數(shù)量積的轉(zhuǎn)化得到,通過勾股定理與余弦定理的轉(zhuǎn)化,利用平面向量的數(shù)量積公式來求解即可.

      圖2

      構(gòu)造等腰直角三角形ABC,此時斜邊BC的中點也是D,

      故填答案:2.

      三、規(guī)律總結(jié)

      平面向量既有“數(shù)”的因素,又有“形”的思維,既是幾何的,可以畫圖;又是代數(shù)的,可以運算.因此平面向量的破解往往可以從“數(shù)”與“形”的“兩面性”思維來考慮,通過建系法或三角函數(shù)法以“數(shù)”的形式來破解,通過基底法或特殊圖形法以“形”的形式來破解,各有各的好,各有各的妙.所以,在平面向量中,充分提高平面向量的識“圖”、用“圖”能力,拓展平面向量的用“數(shù)”、解“數(shù)”思維,可以非常有效地從“數(shù)”的方面或從“形”的方面加以平面向量的“兩面性”思維,達到多角度思維、多方法處理的效果.

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