非互易旋電材料硅基矩形波導(dǎo)的色散特性研究*

王慧瑩 王智2)? 崔粲 李航天 李強(qiáng) 詹翔空 王健 吳重慶

1)(北京交通大學(xué)理學(xué)院光信息科學(xué)與技術(shù)研究所,發(fā)光與光信息技術(shù)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100044)

2)(集成光電子學(xué)國(guó)家重點(diǎn)聯(lián)合實(shí)驗(yàn)室,北京 100083)

1 引 言

光子單向邊緣態(tài)是2008年由普林斯頓大學(xué)的Haldane(2016年諾貝爾物理獎(jiǎng)得主)提出的[1],他預(yù)言了磁光光子晶體的邊界可以存在單向電磁邊界模式(one-way electromagnetic edge mode,OWEM)[1?3],即被約束在磁光光子晶體邊界的表面波,其主要特征是它的群速度僅指向一個(gè)方向.由于外磁場(chǎng)的作用,磁光晶體介電張量中的非對(duì)角元發(fā)生改變,產(chǎn)生旋電各向異性,時(shí)間反演對(duì)稱性被破壞,使得被局域在介質(zhì)與等離子材料交界面的表面等離子體(surfaceplasmons,SPs)表現(xiàn)出非互易傳播的特性[4,5],這種非互易SPs被稱為表面磁等離子激元(surface magnetoplasmons,SMPs)[6,7].當(dāng)?shù)入x子材料的電子回旋頻率與其等離子頻率的量級(jí)大小可以比較時(shí),SMPs的漸近頻率在前后兩個(gè)方向上會(huì)有明顯不同,使得SMPs在兩個(gè)不同漸近頻率間隔之間的區(qū)域單向傳播,而完全不存在反向傳播模式,反向的散射被完全抑制.2009年,麻省理工大學(xué)的Wang等[3]首先在微波系統(tǒng)中使用磁光材料光子晶體,用實(shí)驗(yàn)證明了OWEM的存在.此后,不斷有科研工作者對(duì)單向光子晶體波導(dǎo)進(jìn)行研究,實(shí)現(xiàn)了光隔離器[8?12]、光環(huán)形器[13?16]、光開(kāi)關(guān)[17,18]等非互易光學(xué)器件.近期的研究主要集中在磁光材料混合的太赫茲平面波導(dǎo)結(jié)構(gòu)[19,20].例如2017年,Tsakmakidis等[20]設(shè)計(jì)的波包進(jìn)出時(shí)間非對(duì)稱的磁光材料混合平面波導(dǎo)系統(tǒng),其中的平面波導(dǎo)支持光子單向邊緣態(tài),因此系統(tǒng)的洛侖茲互易性被打破,在太赫茲波段將傳統(tǒng)的時(shí)間-帶寬限制提高了兩個(gè)數(shù)量級(jí).

本文對(duì)光通信C波段旋電材料的非互易矩形波導(dǎo)進(jìn)行討論,研究在外磁場(chǎng)作用下表面磁等離子體激元在旋電材料矩形波導(dǎo)中非互易傳播的特性.利用有效折射率法[21]推導(dǎo)矩形波導(dǎo)中導(dǎo)模的色散方程,通過(guò)數(shù)值計(jì)算分析矩形波導(dǎo)結(jié)構(gòu)及材料參數(shù)的改變對(duì)其非互易色散關(guān)系、時(shí)延特性的影響.

2 非互易矩形波導(dǎo)結(jié)構(gòu)及色散方程

2.1 波導(dǎo)結(jié)構(gòu)與旋電材料介電張量

光通信C波段旋電材料的矩形波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的截面如圖1所示,該波導(dǎo)由電介質(zhì)層(Si)、光通信C波段旋電半導(dǎo)體層(gyroelectric semiconductor,GS)以及四面有界的外包層(Ag)組成.其中波導(dǎo)芯區(qū)的y方向和Si層x方向的寬度分別為2a和d,選取Si和GS交界面的中心為原點(diǎn)建立二維直角坐標(biāo)系,z軸垂直于紙面向里.在–y方向上對(duì)旋電半導(dǎo)體層施加靜磁場(chǎng)B0,由于磁場(chǎng)對(duì)介電張量的影響[2]使得SMPs在旋電材料矩形波導(dǎo)中沿z軸正方向非互易傳輸,打破了該波導(dǎo)系統(tǒng)的洛倫茲互易性[20].

外加磁場(chǎng)與光傳輸方向垂直并與波導(dǎo)分界面平行,根據(jù)法拉第效應(yīng),介質(zhì)在電磁場(chǎng)作用下,介電常數(shù)為二階張量[6,19]表示為

2.2 有效折射率法推導(dǎo)矩形波導(dǎo)色散方程

利用有效折射率法,把一個(gè)二維矩形波導(dǎo)近似看成兩個(gè)一維平面波導(dǎo)(planar waveguide,PW)的組合,即x方向受約束的平面波導(dǎo)PW1和y方向受約束的平面波導(dǎo)PW2,分別見(jiàn)圖2(a)和圖2(b).

圖2 有效折射率法的兩個(gè)等效平面波導(dǎo)截面圖(a)x方向受約束的平面波導(dǎo)PW1;(b)y方向受約束的平面波導(dǎo)PW2Fig.2.Sectional views of two equivalent planar waveguides by effective refractive index method:(a)Planar waveguide PW1 with x direction constraint;(b)planar waveguide PW2 with y direction constraint.

波導(dǎo)外包層(xd)

對(duì)電各向異性介質(zhì),在主軸坐標(biāo)系中D=εE,利用(1)式可得

由(7)式得到電場(chǎng)分量Ez,

分別利用x=0 和x=d處的邊界條件,即Hy,Ez連續(xù),可得到關(guān)于待定系數(shù)A1,A2,B,C的方程組:

方程中參數(shù)及其含義如下:ka為的傳播常數(shù);在電介質(zhì) Si層其中k0=ω/c為真空中傳輸波的波矢,Si的相對(duì)介電常數(shù)為該層厚度為d=0.14λp,其中λp=2πc/ωp,ωp=5.1613π×1014rad/s;在旋電半導(dǎo)體層αs=為旋電半導(dǎo)體 Voigt介電常數(shù);在波導(dǎo)外包層外層材料的介電常數(shù).

由(10)式可計(jì)算得到ka-w關(guān)系,從而得到有效折射率即y方向約束的平面波導(dǎo)PW2的芯區(qū)折射率.

在PW2中y軸方向的y=±a處,即波導(dǎo)左右外包層與波導(dǎo)芯區(qū)的兩個(gè)交界面,利用Ex,連續(xù)的邊界條件,分別可以得到Ex和連續(xù).

在y=a處,

在y=–a處,

消去方程組(12),(13)中的待定系數(shù),可以得到

3 波導(dǎo)寬度對(duì)非互易色散特性的影響

利用色散方程(16)計(jì)算出不同芯區(qū)寬度的矩形波導(dǎo)色散曲線,如圖3(a)所示,波導(dǎo)結(jié)構(gòu)為Ag材料四面包裹電介質(zhì)層和旋電半導(dǎo)體層,參數(shù)見(jiàn)2.2節(jié).由于對(duì)洛倫茲互易性的破壞,其色散曲線關(guān)于波矢k不對(duì)稱,在不對(duì)稱的頻率(圖中兩紅色水平虛線之間)區(qū)域內(nèi)可以實(shí)現(xiàn)完全的單向傳輸,波導(dǎo)表現(xiàn)出非互易性.從圖3(a)可以看出,隨著矩形波導(dǎo)半寬度a由 0.02lp,0.04lp,0.06lp,0.08lp,0.12lp增大至 0.16lp,其色散曲線自然趨向平面波導(dǎo)的色散曲線(圖3(a)藍(lán)色實(shí)線),但是非互易的頻率區(qū)間基本不變.

為了討論非互易波導(dǎo)的緩存性能,圖3(b)給出了不同半寬度a的矩形波導(dǎo),其SMPs波歸一化群速度vg/c=dω/(c·dk)與歸一化角頻率w/wp和歸一化傳播常數(shù)k/kp的關(guān)系.從圖3(b)可以看出,不管是隨著w(虛線)增大還是隨著k(實(shí)線)增大,均出現(xiàn)SMPs波群速度減慢現(xiàn)象.為了研究波導(dǎo)寬度對(duì)群速度減慢效應(yīng)的影響,圖3(c)給出了工作波長(zhǎng)l在1530,1550和1565 nm處的歸一化群速度隨波導(dǎo)寬度的變化.波導(dǎo)半寬度a在0.06lp(波導(dǎo)寬度 2a=140 nm)與 0.10lp(2a=233.5 nm)之間的vg相對(duì)較低,在約0.08lp處達(dá)最小值.而且隨l減小,vg減小,圖中最小群速度達(dá)到 5.43×10–2c.這一結(jié)論表明,寬度適當(dāng)?shù)木匦尾▽?dǎo)的非互易慢光效應(yīng)比平面波導(dǎo)的非互易慢光效應(yīng)更明顯,而且在C波段工藝容差較大(約為93.5 nm).

圖3 (a)不同芯區(qū)寬度的矩形波導(dǎo)色散曲線;(b)不同芯區(qū)寬度的矩形波導(dǎo)中SMPs波單向傳輸區(qū)域的群速度;(c)不同波長(zhǎng)的SMPs波群速度隨芯區(qū)寬度的變化Fig.3.(a)Dispersion curves of rectangular waveguide with different core widths;(b)group velocity of one-way SMPs transmission region in rectangular waveguide with different widths;(c)variation of group velocity of SMPs with different wavelengths with different core widths.

4 折射率對(duì)非互易色散特性的影響

本文計(jì)算了矩形波導(dǎo)左右外包層分別為半導(dǎo)體 SiO2、空氣 Air、金 Au、銀 Ag 時(shí)的色散曲線,如圖4(a),材料折射率從 0.14,0.52,1.00 到 1.45,其色散曲線逐漸趨向平面波導(dǎo)色散曲線.圖4(b)是單向傳輸區(qū)域中SMPs波歸一化群速度vg/c與歸一化角頻率w/wp和歸一化傳播常數(shù)k/kp的關(guān)系,該圖顯示出與圖3(b)相似的規(guī)律,即SMPs波vg隨w(虛線)或k(實(shí)線)的增大而減慢.隨著材料折射率遞減,SMPs波群速度逐漸減小,群時(shí)延增大,慢光效應(yīng)越明顯.矩形波導(dǎo)左右外包層材料為 Ag 時(shí) SMPs波群速度最小(vg=2.8×10–3c),慢光效應(yīng)最顯著.

圖4 (a)不同材料的矩形波導(dǎo)色散曲線;(b)不同材料的矩形波導(dǎo)中SMPs波單向傳輸區(qū)域的群速度曲線Fig.4.(a)Dispersion curves of rectangular waveguide with different materials;(b)group velocity of one-way SMPs transmission region in rectangular waveguide with different materials.

5 結(jié) 論

本文理論分析了一種基于光通信C波段旋電材料的矩形波導(dǎo)結(jié)構(gòu),研究了該矩形波導(dǎo)在外磁場(chǎng)作用下表面磁等離子體激元非互易傳播的特性,推導(dǎo)了矩形波導(dǎo)中導(dǎo)模的色散方程,并對(duì)其色散關(guān)系、時(shí)延特性進(jìn)行了分析.由于洛倫茲互易性的破壞,該矩形波導(dǎo)的能帶結(jié)構(gòu)關(guān)于波矢k不對(duì)稱,在不對(duì)稱的頻率區(qū)域內(nèi)可以實(shí)現(xiàn)完全的單向傳輸.矩形波導(dǎo)芯區(qū)寬度和外包層材料折射率對(duì)非互易色散特性有明顯影響,SMPs波群速度隨w,k減小,且矩形波導(dǎo)的慢光效應(yīng)優(yōu)于平面波導(dǎo),在C波段可獲得約93.5 nm工藝容差.Ag包裹波導(dǎo)時(shí),SMPs波的群速度最小可達(dá) 2.8×10–3c.