基于解析法和有限元法的PMSM電磁力波分析

王 偉，黃開勝，杜曉彬

(廣東工業(yè)大學(xué)，廣州 510006)

0 引 言

隨著環(huán)境的發(fā)展和工藝的改善，現(xiàn)代居住的環(huán)保要求以及電機(jī)系統(tǒng)的控制技術(shù)對電機(jī)的振動噪聲提出了更高的要求，使得振動噪聲逐步成為衡量電機(jī)性能的重要指標(biāo)之一?，F(xiàn)在電機(jī)的主要噪聲源涉及三個(gè)部分，包括電磁力波產(chǎn)生的電磁噪聲、機(jī)械結(jié)構(gòu)原因產(chǎn)生的機(jī)械噪聲以及由于通風(fēng)所造成的空氣噪聲[1]。對于現(xiàn)代紡織用電機(jī)的電磁振動噪聲卻鮮有研究[2-3]。

目前，國內(nèi)外對電磁力波的分析方法取得了諸多成果。文獻(xiàn)[4]提出通過解析法采用磁勢乘磁導(dǎo)的方法計(jì)算氣隙磁場，并且在考慮了定子開槽的影響下推導(dǎo)出電磁力波表達(dá)式，但是該解析分析沒有考慮電樞反應(yīng)磁場以及電機(jī)瞬態(tài)磁場的分布，而且做了很多近似和假設(shè)，解析分析與實(shí)際工程誤差很大。文獻(xiàn)[5-8]最早對表貼式無刷永磁電機(jī)的氣隙磁場進(jìn)行解析分析，通過解析法分別計(jì)算了空載磁場、電樞反應(yīng)磁場、定子齒槽效應(yīng)以及負(fù)載合成磁場4種情況的瞬態(tài)磁場分布及表達(dá)式。但是，解析法由于自身的局限性，鐵磁材料飽和性和電機(jī)復(fù)雜結(jié)構(gòu)等因素對氣隙磁場的影響卻只能被忽略和近似。隨著有限元軟件的版本更新和功能強(qiáng)化，其對于工程應(yīng)用中的電磁分析具有更強(qiáng)的適用性。文獻(xiàn)[9]基于有限元數(shù)值計(jì)算方法，考慮了定子齒槽、磁路飽和對同步電機(jī)氣隙磁場特性的影響。文獻(xiàn)[10]針對永磁伺服電機(jī)詳細(xì)介紹了有限元仿真電磁力波的具體步驟。文獻(xiàn)[11]比較了分?jǐn)?shù)槽永磁無刷電機(jī)徑向電磁力的解析模型和有限元仿真結(jié)果。文獻(xiàn)[12]分析了永磁同步電主軸分?jǐn)?shù)槽電機(jī)的徑向電磁力。

本文利用解析模型與有限元模型的雙模型，通過由解析法過渡到有限元法的層層深入，對現(xiàn)代紡織用永磁同步電動機(jī)(以下簡稱PMSM)的徑向電磁力波進(jìn)行了詳細(xì)分析，為后續(xù)電機(jī)的減振降噪優(yōu)化設(shè)計(jì)提供了參考。

1 PMSM氣隙磁場的諧波解析分析

本文主要采用解析法分析48槽8極整數(shù)槽表貼式PMSM，其氣隙合成磁場主要是由定、轉(zhuǎn)子磁場相互作用產(chǎn)生的，并在此基礎(chǔ)上產(chǎn)生了徑向電磁力波，其大小取決于定、轉(zhuǎn)子磁動勢和氣隙比磁導(dǎo)[13]。在三相繞組通入三相對稱電流時(shí)，通過解析分析PMSM的氣隙合成磁場和定、轉(zhuǎn)子諧波磁場，為與有限元法結(jié)合及對比分析徑向電磁力波次數(shù)作了理論指導(dǎo)。

1.1 PMSM磁場和磁動勢的諧波分析

PMSM的氣隙磁場，當(dāng)不考慮飽和效應(yīng)時(shí)，同時(shí)忽略鐵心磁阻，即鐵心部分無磁壓降，氣隙磁密的解析式：

b(θ,t)=λ(θ,t)·f(θ,t)

(1)

式中：λ(θ,t)為氣隙比磁導(dǎo)；f(θ,t)為氣隙磁動勢。

當(dāng)電機(jī)為表貼式PMSM且定子開齒槽，氣隙比磁導(dǎo)的解析式[14]：

λ(θ,t)=Λ0+∑λl1

(2)

式中：Λ0為單位面積氣隙磁導(dǎo)的不變量；λl1為定子齒槽引起的諧波比磁導(dǎo)的周期量。

在三相繞組通入三相對稱電流時(shí)，PMSM的氣隙磁動勢由定子基波磁動勢、定子諧波磁動勢和轉(zhuǎn)子永磁體諧波磁動勢組成，氣隙磁動勢的解析式：

1.2 定子電樞繞組諧波磁場的解析分析

1.2.1 定子諧波磁動勢

PMSM定子諧波磁動勢的解析式：

(4)

式中：ν為定子磁場諧波極對數(shù)。

當(dāng)非正弦分布電樞繞組通過定子基波電流，會在氣隙中產(chǎn)生ν次諧波磁動勢，其轉(zhuǎn)速為n0p/ν，感應(yīng)電動勢與基波的角頻率一致。

1.2.2 定子磁場諧波極對數(shù)

通過對定子磁場進(jìn)行解析分析，當(dāng)每極每相槽數(shù)為整數(shù)，即q=Z1/(2mp)為整數(shù)時(shí)，定子諧波磁場中只含有奇數(shù)次諧波。此時(shí)諧波極對數(shù)與諧波次數(shù)的關(guān)系：

ν=(±2mk1+1)p

(5)

式中：k1=0，1，2，3，…；m為電機(jī)相數(shù)；p為電機(jī)極對數(shù)。

將k1=0，1，2，3，…分別代入式(5)，可以得到定子磁場諧波極對數(shù)ν=4，-20，28，-44，52，-68，76，…。

1.3 轉(zhuǎn)子永磁體諧波磁場的解析分析

1.3.1 永磁體諧波磁動勢

PMSM永磁體諧波磁動勢的解析式：

(6)

式中：μ為永磁體磁場諧波極對數(shù)。

解析時(shí)采用等效永磁體諧波磁動勢表征電機(jī)實(shí)際非正弦轉(zhuǎn)子永磁體磁場[15]，會在氣隙中產(chǎn)生μ次諧波磁動勢，其轉(zhuǎn)速為n0,感應(yīng)電動勢的角頻率為ω0μ/p。

1.3.2 永磁體磁場諧波極對數(shù)

通過對永磁體磁場進(jìn)行解析分析，永磁體磁場中只含有奇數(shù)次諧波。此時(shí)，諧波極對數(shù)與諧波次數(shù)的關(guān)系：

μ=(2k2+1)p

(7)

式中：k2=0，1，2，3，…；p為電機(jī)極對數(shù)。

將k2=0，1，2，3，…分別代入式(7)，可以得到永磁體磁場諧波極對數(shù)μ=4，12，20，28，…。

對于該款整數(shù)槽表貼式PMSM，通過解析式(4)、式(6)和式(5)、式(7)可以準(zhǔn)確地定性分析諧波極對數(shù)與諧波磁動勢之間的關(guān)系及磁場諧波性質(zhì)，對于理論分析電機(jī)性能起到了參考作用。但上述解析法也存在一定的局限性，除了與實(shí)際工程存在誤差外，主要是不能快速、直觀以及整體性地定量分析定、轉(zhuǎn)子磁場諧波幅值大小及幅值與諧波極對數(shù)之間的關(guān)系，不能明晰地觀察定子電樞磁場和轉(zhuǎn)子永磁體磁場氣隙磁密分布的波動程度，以及與定子槽、極對數(shù)、永磁體等電機(jī)本體參數(shù)之間的關(guān)系；同時(shí)解析法無法有效、快速地剔除作為引起電磁振動噪聲非主要根源的高次數(shù)小幅值諧波數(shù)據(jù)，對于力波次數(shù)表的形成無法節(jié)約時(shí)間成本，其冗余性影響了對電機(jī)的優(yōu)化和設(shè)計(jì)。

2 PMSM電磁力波次數(shù)解析法與有限元法的對比分析

定、轉(zhuǎn)子氣隙磁場的徑向分量相互作用形成徑向電磁力波，是引起電磁振動噪聲的主要因素。對于引起電機(jī)徑向振動發(fā)生形變的電磁力波，次數(shù)越低，則形變就越大。定子鐵心形變量隨著力波幅值的增大而加?。浑S著力波次數(shù)的4次方的增大而弱化，所以電磁振動噪聲主要源于低次數(shù)大幅值的電磁力波。

2.1 徑向電磁力波次數(shù)的解析分析

通過對48槽8極整數(shù)槽表貼式PMSM的定子磁場和轉(zhuǎn)子磁場的諧波分析，可得出徑向電磁力波次數(shù)的解析式為：

γ=ν±μ

(8)

其中，力波次數(shù)不大于4次的徑向電磁力波更容易產(chǎn)生電磁振動噪聲，所以將力波次數(shù)提高至大于4次時(shí)，電機(jī)的電磁振動噪聲將得到明顯抑制[16]。將式(5)和式(7)代入式(8)，忽略數(shù)學(xué)表達(dá)式結(jié)果大于4的解析式，只保留可能產(chǎn)生力波次數(shù)為0或者2p的部分，因此其主要徑向電磁力波次數(shù)的解析式：

(9)

式中：k1=0，1，2，3，…；k2=0，1，2，3，…。

將k1=0，1，2，3，…；k2=0，1，2，3，…分別代入式(9)，可以得到徑向電磁力波次數(shù)γ=0，8，16，24，32，40，48，56，64，72，…，滿足上述力波次數(shù)為0或者2p倍的解析理論。

通過解析式(8)、式(9)可以定性地分析影響該款電機(jī)電磁振動噪聲的主要力波次數(shù)，是否含有4次以下徑向電磁力波，初步判斷電磁振動噪聲的影響程度。但上述解析法還存在一定的局限性，不能快速、直觀以及整體性地定量分析電磁力波的次數(shù)，不能明晰地觀察徑向電磁力波空間與時(shí)間分布的波動程度及波動位置。

2.2 徑向氣隙磁場的有限元仿真分析

采用解析法對PMSM磁場諧波理論和徑向力波進(jìn)行分析，雖然能較好地表達(dá)定、轉(zhuǎn)子諧波，但是其快速性、直觀性、整體性較差，而且對解析過程作了很多近似和假設(shè)，如忽略鐵心磁阻、鐵心飽和等，這些都會影響解析分析的準(zhǔn)確性。所以，在解析法的基礎(chǔ)上融入有限元法，對PMSM諧波磁場和徑向電磁力波的分析是非常有意義的[17]。

本文的PMSM解析模型與有限元模型的結(jié)合過程如下：

a) 直接采用有限元法仿真分析電機(jī)氣隙磁場(額定負(fù)載時(shí)定子電樞磁場和空載永磁體磁場)。

b) 分別對上述的氣隙磁場波形進(jìn)行快速傅里葉變換(FFT)分析，準(zhǔn)確獲得氣隙磁場的基波與諧波幅值。

c) 對快速傅里葉變換柱狀圖進(jìn)行數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換并做預(yù)處理。

d) 設(shè)計(jì)基于Python和Excel結(jié)合的預(yù)處理程序[18]，如圖1所示。

圖1 Python程序流程圖

e) 通過對比解析法分析得到的諧波極對數(shù)數(shù)據(jù)與有限元法仿真及Python預(yù)處理后的數(shù)據(jù)，來驗(yàn)證有限元法的正確性；同時(shí)結(jié)合解析式γ=ν±μ，使用預(yù)處理后的諧波極對數(shù)ν和μ，合成徑向電磁力波次數(shù)表。

2.2.1 額定負(fù)載時(shí)定子電樞磁場諧波仿真

通過ANSYS Maxwell 2D建立有限元模型，對定子繞組加載額定電流，同時(shí)將轉(zhuǎn)子永磁體材料設(shè)為空氣，如圖2所示。

圖2 額定負(fù)載時(shí)電機(jī)有限元模型

對圖2有限元模型進(jìn)行徑向氣隙磁密仿真，可以得到額定負(fù)載時(shí)定子電樞磁場波形，如圖3所示。

圖3 額定負(fù)載時(shí)定子電樞磁場波形圖

對圖3波形進(jìn)行FFT分析，可以得到各次諧波及其幅值，如圖4所示。

圖4 額定負(fù)載時(shí)定子電樞磁場FFT柱狀圖

利用基于Python的設(shè)計(jì)程序?qū)D4進(jìn)行預(yù)處理，得到篩選后的磁場諧波數(shù)據(jù)及磁場諧波分析圖，如表1及圖5所示。

表1 預(yù)處理后的定子電樞磁場諧波數(shù)據(jù)

圖5 預(yù)處理后的定子電樞磁場諧波分析圖

由圖3可知，電樞磁場基本呈正弦性，具有4個(gè)周期和48個(gè)小范圍波動，與電機(jī)極對數(shù)和定子槽數(shù)一一對應(yīng)；同時(shí)，在定子齒冠與永磁體接近時(shí)存在明顯波動，即波峰和波谷處。由圖4、表1可知，電樞磁場基波幅值最大，為0.56 T，且僅含有1，5，7，…奇數(shù)次諧波。由圖5可知，有限元法有效地剔除了定子磁場中高次數(shù)小幅值諧波，并將橫坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成諧波極對數(shù)，為快速形成力波次數(shù)表節(jié)約了時(shí)間成本，避免了解析法的冗余性。

2.2.2 空載永磁體磁場諧波仿真

通過ANSYS Maxwell 2D建立有限元模型，將定子繞組及激勵刪除，如圖6所示。

圖6 空載電機(jī)有限元模型

對圖6有限元模型進(jìn)行徑向氣隙磁密仿真，可以得到空載永磁體磁場波形，如圖7所示。

圖7 空載永磁體磁場波形圖

對圖7波形進(jìn)行FFT分析，可以得到各次諧波及其幅值，如圖8所示。

圖8 空載永磁體磁場FFT柱狀圖

利用基于Python的設(shè)計(jì)程序?qū)D8進(jìn)行預(yù)處理，得到篩選后的磁場諧波數(shù)據(jù)及磁場諧波分析圖，如表2及圖9所示。

表2 預(yù)處理后的永磁體磁場諧波數(shù)據(jù)

圖9 預(yù)處理后的永磁體磁場諧波分析圖

由圖7可知，永磁體磁場趨近于正弦波，具有4個(gè)周期與電機(jī)極對數(shù)是對應(yīng)的；同時(shí)，可以觀察到磁場波動平穩(wěn)，主要與磁極厚度有關(guān)。由圖8、表2可知，永磁體磁場基波幅值最大，為0.88 T，且也僅含有1，3，5，…奇數(shù)次諧波。由圖9可知，有限元法有效地剔除了永磁體磁場中高次數(shù)小幅值諧波，并將橫坐標(biāo)轉(zhuǎn)換成諧波極對數(shù)，為快速形成力波次數(shù)表節(jié)約了時(shí)間成本，避免了解析法的冗余性。

2.3 解析模型與有限元模型的對比分析

通過式(5)、式(7)得到的諧波極對數(shù)與有限元法仿真及Python預(yù)處理后的數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，如表3、表4所示。

表3 48槽8極定子電樞磁場諧波極對數(shù)ν

由表3可知，標(biāo)注“□”的36次諧波極對數(shù)只有有限元法算出，是因?yàn)榻馕龇ê雎粤硕ㄗ育X槽、鐵心磁阻和飽和等非線性因素的影響，造成解析法的丟解。標(biāo)注“＿”的124次諧波極對數(shù)只有解析法算出，其余數(shù)據(jù)完全一致。

表4 48槽8極轉(zhuǎn)子永磁體磁場諧波極對數(shù)μ

由表4可知，標(biāo)注“＿”的52，108，124，132次諧波極對數(shù)只有解析法算出，是因?yàn)樵谟邢拊ǚ治龅臄?shù)據(jù)預(yù)處理過程中，剔除了幅值較小的諧波次數(shù)。其余數(shù)據(jù)完全一致。

通過表3和表4關(guān)于諧波極對數(shù)ν和μ的對比可知，有限元法的結(jié)果與解析法趨近于一致，驗(yàn)證了有限元法的正確性，為下文形成力波次數(shù)表以及在工程中去解析化地快速分析作了鋪墊。

基于上述分析并結(jié)合解析式γ=ν±μ，使用預(yù)處理后的諧波極對數(shù)ν和μ，合成徑向電磁力波次數(shù)表，如表5所示。

表5 48槽8極PMSM力波次數(shù)表

注：由于篇幅限制，節(jié)選部分低階定、轉(zhuǎn)子諧波極對數(shù)

由表5可知，48槽8極PMSM徑向電磁力波次數(shù)γ為0，8，16，24，32，40，48，56，64，72，…，與解析式(9)的結(jié)果完全一致，滿足上述力波次數(shù)為0或者2p倍的解析理論；還可以明確地知道該款電機(jī)的低次力波只有0次。在解析法的基礎(chǔ)上，融入了有限元法，可以快速且直觀地辨別定、轉(zhuǎn)子磁場下不同諧波極對數(shù)相互作用所產(chǎn)生的徑向電磁力波，對通過極槽配合、斜槽等傳統(tǒng)方法消除低次力波提供了參考，更加驗(yàn)證了有限元法的準(zhǔn)確性和高效性，也為完全去解析化夯實(shí)了基礎(chǔ)。

3 PMSM電磁力波幅值與頻率有限元分析

針對48槽8極整數(shù)槽表貼式PMSM，采用解析法和有限元法的結(jié)合模型分析了徑向電磁力波次數(shù)，突顯了有限元法的快速性、直觀性以及整體性。因此，為了可以在工程應(yīng)用中完全去解析化地快速分析電磁力波，本文通過對PMSM的力波進(jìn)行空間分布和時(shí)間分布的有限元仿真來進(jìn)一步分析電磁力波的幅值與頻率。

3.1 徑向電磁力波幅值

由麥克斯應(yīng)力張量(Maxwell stress tensor)，推導(dǎo)出定子鐵心內(nèi)表面的徑向電磁力波pr(θ,t)：

(10)

式中:μ0為真空磁導(dǎo)率。

雖然式(10)的展開式可以物理概念清晰地表示產(chǎn)生徑向電磁力波的磁場，但是求解過程復(fù)雜，計(jì)算量極大，所以只選擇有限元法計(jì)算。

采用有限元法對額定運(yùn)行時(shí)徑向電磁力波空間分布進(jìn)行諧波分析，并做FFT分析，同時(shí)利用Python程序剔除冗余值，繪制徑向電磁力波空間分布諧波分析圖，分別如圖10、圖11和圖12所示。

圖10 額定運(yùn)行時(shí)徑向電磁力波空間分布圖

圖11 額定運(yùn)行時(shí)徑向電磁力波空間分布FFT柱狀圖

圖12 額定運(yùn)行時(shí)徑向電磁力波空間分布諧波分析圖

根據(jù)式(9)所闡述的解析理論，對于PMSM的徑向電磁力波次數(shù)應(yīng)滿足γ為0或者8的倍數(shù)。由圖12所示，徑向電磁力波空間分布諧波次數(shù)主要是8，16，24，32，40，…等8的整數(shù)倍次數(shù)與式(9)和表5的結(jié)果完全一致。同時(shí)，又給出了具體的幅值，除了直流分量外，即γ=0所對應(yīng)的分量為175.988 kN/m2，其余幅值較大的諧波次數(shù)為8次，16次，24次，48次，96次，所對應(yīng)的幅值依次為192.461kN/m2，21.626 kN/m2，38.423 kN/m2，37.573 kN/m2，25.545 kN/m2。

通過額定運(yùn)行時(shí)對徑向電磁力波進(jìn)行空間分布諧波分析，可以準(zhǔn)確地得到電磁力波次數(shù)及所對應(yīng)的幅值，省去了冗長復(fù)雜的解析過程，為后續(xù)振動噪聲的分析和去解析化提供了直接而且有效的依據(jù)。

3.2 徑向電磁力波頻率

由定子諧波磁場頻率f0與轉(zhuǎn)子永磁體諧波磁場頻率 (2k1-1)f0，推導(dǎo)出該款PMSM的電磁力波頻率f：

f=f0±(2k1-1)f0=2k1f0

(11)

式中：k1=1，2，3，…；f0為基波頻率。

將k1=1，2，3，…分別代入式(11)，其中f0=100 Hz，可以得到電磁力波頻率f=200 Hz，400 Hz，600 Hz，800 Hz，1 000 Hz,…。

雖然式(11)的計(jì)算過程簡便,但是對于后續(xù)PMSM機(jī)械結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析只有單一變量，沒有參考性；同時(shí)，解析法求解的模態(tài)參數(shù)可能存在誤差。

采用有限元法對額定運(yùn)行時(shí)徑向電磁力波時(shí)間分布進(jìn)行諧波分析，并做FFT分析；同時(shí)利用Python程序剔除冗余值，繪制徑向電磁力波時(shí)間分布諧波分析圖，分別如圖13、圖14和圖15所示。

圖13 額定運(yùn)行時(shí)徑向電磁力波時(shí)間分布圖

圖14 額定運(yùn)行時(shí)徑向電磁力波時(shí)間分布FFT柱狀圖

圖15 額定運(yùn)行時(shí)徑向電磁力波時(shí)間分布諧波分析圖

為了研究徑向電磁力波時(shí)間分布的主要諧波頻率，通過在某一個(gè)定子齒冠內(nèi)表面取一點(diǎn)，仿真該點(diǎn)在額定運(yùn)行時(shí)徑向電磁力波隨著時(shí)間變化的波形，如圖13所示?？芍瑥较螂姶帕Σ〞r(shí)間分布呈周期性變化，以5 ms為周期。90 ms以后的波形趨于穩(wěn)定。取圖13波形穩(wěn)定后的2個(gè)周期進(jìn)行FFT分析，即90～100 ms穩(wěn)定區(qū)；同時(shí)做預(yù)處理，結(jié)果如圖15所示。徑向電磁力波時(shí)間分布諧波頻率主要是200 Hz，400 Hz，600 Hz，800 Hz，1 000 Hz,…等電源基頻的偶數(shù)倍頻率,與式(11)的結(jié)果完全一致，符合解析理論；同時(shí)，也給出了具體的幅值，除了直流分量外，即f=0所對應(yīng)的分量為178.745 kN/m2，其余幅值較大的諧波頻率為200 Hz，400 Hz，600 Hz，800 Hz，1 000 Hz，所對應(yīng)的幅值依次為192.637 kN/m2，24.962 kN/m2，40.553 kN/m2，12.847 kN/m2，13.424 kN/m2。還可以看出，隨著頻率的遞增，諧波幅值呈下降趨勢。

通過額定運(yùn)行時(shí)對徑向電磁力波進(jìn)行時(shí)間分布諧波分析，可以準(zhǔn)確地得到電磁力波頻率及所對應(yīng)的幅值，為后續(xù)完全去解析化分析PMSM的固有頻率、振型、共振頻率以及防止高頻率小幅值徑向電磁力波產(chǎn)生共振現(xiàn)象，提供了有效的對比和參考。

4 結(jié) 語

本文首先采用解析法對氣隙諧波磁場進(jìn)行解析分析，推導(dǎo)出定子和轉(zhuǎn)子諧波解析式，然后通過解析模型與有限元模型的結(jié)合形成力波表，最后過渡到完全去解析化只通過有限元法仿真分析PMSM隨空間和時(shí)間變化的徑向電磁力波幅值和頻率。

通過遞進(jìn)式的分析表明，解析法在合適的情況下能獲得物理概念較清晰的解析解，但對于工程應(yīng)用中非線性等問題卻有局限性。而有限元法適應(yīng)了當(dāng)今工程分析的需要，對于各種電磁計(jì)算問題具有較強(qiáng)的適應(yīng)性，計(jì)算精度高，已獲得廣泛的應(yīng)用。本文也通過解析法校驗(yàn)了有限元計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性。對于完全去解析化分析現(xiàn)代紡織用PMSM的電磁力波，以及后續(xù)模態(tài)分析和電磁噪聲的優(yōu)化奠定了基礎(chǔ)，具有實(shí)際的參考意義。