指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“圓的面積”教學(xué)策略探析

夏嬋嬋

[摘 要]數(shù)學(xué)教學(xué)是以數(shù)學(xué)課程為載體，引導(dǎo)學(xué)生形成正確的數(shù)學(xué)價(jià)值觀念、思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力等學(xué)科核心素養(yǎng)。“圓的面積”作為“圖形與幾何”領(lǐng)域的重要課程內(nèi)容之一，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀、推理能力和空間觀念等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)具有重要意義。結(jié)合“圓的面積”的具體教學(xué)案例，探尋指向核心素養(yǎng)的“圓的面積”教學(xué)策略：借助“數(shù)格子”法發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力，在“化曲為直”中發(fā)展學(xué)生的空間觀念，從長(zhǎng)方形的面積推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式，發(fā)展學(xué)生的推理能力。

[關(guān)鍵詞]核心素養(yǎng);教學(xué)策略;圓的面積;圖形與幾何

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2019）23-0012-03

一、問(wèn)題的提出

我國(guó)新一輪基礎(chǔ)教育課程改革十分關(guān)注核心素養(yǎng)和學(xué)科核心素養(yǎng)。新修訂的《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“學(xué)科核心素養(yǎng)是育人價(jià)值的集中體現(xiàn)，是學(xué)生通過(guò)學(xué)科學(xué)習(xí)而逐步形成的正確價(jià)值觀念、必備品格和關(guān)鍵能力?！睌?shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)素養(yǎng)中最重要的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力，是人們通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)建立起來(lái)的認(rèn)識(shí)、理解和處理周?chē)挛飼r(shí)所具備的品質(zhì)與能力，通常是在人們與周?chē)h(huán)境產(chǎn)生相互作用時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的思考方式和解決問(wèn)題的策略。課程專(zhuān)家進(jìn)一步指出，把《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡(jiǎn)稱(chēng)《課標(biāo)》）中提到的數(shù)感、符號(hào)意識(shí)、空間觀念、幾何直觀、數(shù)據(jù)分析觀念、運(yùn)算能力、推理能力、模型思想、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，理解為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是恰當(dāng)?shù)?。在很大程度上，課程是教學(xué)的基礎(chǔ)，教學(xué)是課程的實(shí)施和體現(xiàn)。在以核心素養(yǎng)為指導(dǎo)的課程設(shè)置大框架下，學(xué)科教學(xué)必須緊跟課程設(shè)計(jì)的思想和步伐，課堂教學(xué)需要深入落實(shí)學(xué)科核心素養(yǎng)。那么，課堂教學(xué)究竟如何體現(xiàn)核心素養(yǎng)？到底什么樣的課堂才是素養(yǎng)課堂？是對(duì)以往非素養(yǎng)課堂的推倒和重建嗎？本文將以小學(xué)數(shù)學(xué)中“圖形與幾何”領(lǐng)域中的“圓的面積”一節(jié)內(nèi)容為例，嘗試探析幾點(diǎn)指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“圓的面積”教學(xué)策略。

二、關(guān)于“圓的面積”的學(xué)科理解與課程內(nèi)容簡(jiǎn)析

圓形作為最基本的平面圖形之一，在各個(gè)國(guó)家基礎(chǔ)教育數(shù)學(xué)課程中都是重要的內(nèi)容?！墩n標(biāo)》在“課程目標(biāo)”中要求“探索并掌握?qǐng)A的面積公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題” 。根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，學(xué)生既要理解圓的面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，掌握?qǐng)A的面積計(jì)算公式，又要能夠靈活運(yùn)用其解決實(shí)際生產(chǎn)生活中的具體問(wèn)題。

“圓的面積”作為小學(xué)數(shù)學(xué)幾何課程內(nèi)容的重要組成部分，是平面圖形的認(rèn)識(shí)和測(cè)量中由直線(xiàn)圖形變?yōu)榍€(xiàn)圖形的關(guān)鍵點(diǎn)。從研究直線(xiàn)圖形到研究曲線(xiàn)圖形，無(wú)論是思維層面還是行動(dòng)實(shí)踐層面，對(duì)學(xué)生而言都是一個(gè)很大的跨越。因此，“圓的面積”一般安排在六年級(jí)上學(xué)期的課程學(xué)習(xí)中，是學(xué)生學(xué)習(xí)的第一種曲線(xiàn)圖形的面積計(jì)算，具體的教學(xué)內(nèi)容包括對(duì)圓的面積概念的理解、公式的推導(dǎo)以及運(yùn)用公式求圓的面積、環(huán)形的面積等。

我國(guó)2013年修訂的人教版教材首先通過(guò)計(jì)算圓形草坪占地面積的實(shí)際情境提出圓的面積的概念，一方面使學(xué)生在以前所學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上理解“圓的面積就是它所占平面的大小”，另一方面使學(xué)生體會(huì)在實(shí)際生活中計(jì)算圓的面積的必要性。接著，直接給出了明確的提示——把圓分成若干等份，學(xué)生自主拼一拼，然后通過(guò)觀察看到拼出的是近似的長(zhǎng)方形（或平行四邊形），而且隨著均分的份數(shù)越來(lái)越多，拼出的圖形越來(lái)越接近長(zhǎng)方形，這時(shí)再引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用圓與長(zhǎng)方形之間的關(guān)系推導(dǎo)出圓的面積計(jì)算公式，在隨后的練習(xí)題中讓學(xué)生通過(guò)實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練來(lái)進(jìn)一步體會(huì)圓的面積與半徑的平方之間的關(guān)系。

學(xué)生主要借助數(shù)學(xué)活動(dòng)和動(dòng)手操作，經(jīng)歷人類(lèi)發(fā)展中圓的面積公式的推導(dǎo)過(guò)程，借助已有經(jīng)驗(yàn)“數(shù)”出圓的面積的近似值，感受數(shù)學(xué)化的過(guò)程。面積是對(duì)二維平面物體大小的度量，學(xué)生學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形的面積時(shí)首先采用了“數(shù)格子”的方法，得出“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”這一公式，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)：一方面可以繼續(xù)使用數(shù)格子的方法求平行四邊形、三角形、梯形等的面積;另一方面，可以將未知圖形轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形，進(jìn)而推導(dǎo)其面積公式。對(duì)于圓這一“非直邊”圖形，學(xué)生在數(shù)格子的動(dòng)手操作過(guò)程中，深刻體會(huì)到該方法的不適用性，進(jìn)而產(chǎn)生探索更科學(xué)合理的計(jì)算方法的需求。這樣的教學(xué)已經(jīng)體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)學(xué)科的本質(zhì)內(nèi)涵，它與數(shù)學(xué)家常用的“印度圓”、“定積分”、極限、轉(zhuǎn)化等思想方法基本一致，雖然沒(méi)有從字面上強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，但已經(jīng)培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)。

三、指向數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的“圓的面積”教學(xué)策略

“圓的面積”這一教學(xué)內(nèi)容中不僅蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法，更是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要素材，具體地說(shuō)，至少可以培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力、空間觀念和推理能力?；谝陨蠈?duì)課程內(nèi)容與學(xué)科理解的分析，探討指向核心素養(yǎng)的“圓的面積”的幾點(diǎn)教學(xué)策略。下面就結(jié)合某教師關(guān)于該內(nèi)容的常規(guī)教學(xué)案例展開(kāi)具體分析。

1.借助“數(shù)格子”法發(fā)展學(xué)生的幾何直觀能力

【教學(xué)片段1】

學(xué)習(xí)任務(wù)：想辦法得到圓的面積。

師：如果想得到圓的面積，有什么方法？畫(huà)一畫(huà)、寫(xiě)一寫(xiě)，把你的思路表達(dá)出來(lái)。想一想：你的辦法有什么優(yōu)點(diǎn)？有什么不足？你還有哪些困惑？

師：請(qǐng)大家討論匯報(bào)交流，不僅要匯報(bào)方法，也要評(píng)價(jià)自己的方法。

生1：數(shù)格子的方法。

生2：我認(rèn)為數(shù)格子的方法有局限性，如果圓太大，畫(huà)格子不方便，計(jì)算也不精確。誤差來(lái)自于不完整的格子，曲線(xiàn)圖形拼湊不完整的格子的時(shí)候誤差大。

生3：可以把格子變小，完整的格子就會(huì)變多，雖然不完整的格子也會(huì)變多，但是它們所占的面積會(huì)變小，這樣可以提高計(jì)算的精確性。

師（演示格子圖逐漸細(xì)分的過(guò)程，如圖1）：如果無(wú)限細(xì)分下去，會(huì)得到什么樣的結(jié)果呢？

生4：小格子會(huì)完全占據(jù)圓。

生5：小格子的面積會(huì)無(wú)線(xiàn)接近于圓，但也沒(méi)辦法等同于圓的面積。

生6：我覺(jué)得不會(huì)有誤差了。

師：如果一直分下去，得到的小格子面積就接近于甚至等同于圓的面積了。

此教學(xué)片段體現(xiàn)了“幾何直觀”這一數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

“幾何直觀”是解決“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域問(wèn)題的常用方法和思維方式，似乎是數(shù)與代數(shù)的“專(zhuān)利”。例如，分?jǐn)?shù)的乘法中“計(jì)算[45]×[23”]時(shí)，往往借助幾何直觀進(jìn)行教學(xué)，如圖2所示：

事實(shí)上，不僅是“數(shù)”需要以幾何圖形的形式加以直觀呈現(xiàn)，幾何本身也要依靠直觀、重視直觀。不妨重新審視《課標(biāo)》中的闡述：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問(wèn)題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題變得簡(jiǎn)明、形象，有助于探索解決問(wèn)題的思路，預(yù)測(cè)結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中都發(fā)揮著重要作用?！?/p>

《課標(biāo)》規(guī)定，幾何直觀指的是利用圖形描述和分析問(wèn)題。教學(xué)片段1中，教師通過(guò)讓學(xué)生動(dòng)手在圓上畫(huà)一樣大小的小方格，1個(gè)小方格的面積為1個(gè)面積單位，用多個(gè)小方格來(lái)填充或排滿(mǎn)整個(gè)圓，進(jìn)而用小方格的個(gè)數(shù)來(lái)表示圓的面積大小。在這個(gè)運(yùn)用圖形來(lái)描述和分析問(wèn)題的過(guò)程中，小方格和圓的面積分別與圖形和問(wèn)題一一對(duì)應(yīng)。因此，上述“數(shù)格子”法有利于培養(yǎng)學(xué)生的幾何直觀能力，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

2.在“化曲為直”中發(fā)展學(xué)生的空間觀念

【教學(xué)片段2】

生1：看到這個(gè)圓，我就想到了吃比薩，每次都會(huì)把比薩切成好幾塊，我因此受到了啟發(fā)。首先，我把圓平均分成四份，拼得的圖形像平行四邊形，如果分得再小塊一點(diǎn)是不是會(huì)更像呢？我把圓分成了8等份，拼得的圖形更像平行四邊形了;我把圓分成了16等份，如圖3，看上去有點(diǎn)像個(gè)長(zhǎng)方形了。我猜測(cè)，如果分得更細(xì)的話(huà)，可能會(huì)得到一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：把圓的面積轉(zhuǎn)化為已學(xué)過(guò)的長(zhǎng)方形的面積，即把未知變成已知。剛才說(shuō)拼成的這個(gè)圖形像長(zhǎng)方形但不是長(zhǎng)方形，怎么才能讓它變成長(zhǎng)方形呢？

生2：像數(shù)格子一樣，一直一直分下去，可能會(huì)變成一個(gè)長(zhǎng)方形。

師：到底能不能達(dá)到分割的理想狀態(tài)呢？ 請(qǐng)小組合作學(xué)習(xí)。信封中有三個(gè)圓片，剪一剪、拼一拼，拼完后仔細(xì)觀察得到的圖形。

師（多媒體演示）：我們發(fā)現(xiàn)，分的份數(shù)越多，拼出來(lái)的圖形就越像平行四邊形。如果無(wú)限分下去，就會(huì)變成長(zhǎng)方形。

生3：我覺(jué)得拼成的圖形的邊（兩條長(zhǎng)邊）是彎曲的。

……

《課標(biāo)》指出：“空間觀念主要是指根據(jù)物體特征抽象出幾何圖形，根據(jù)幾何圖形想象出所描述的實(shí)際物體;想象出物體的方位和相互之間的位置關(guān)系;描述圖形的運(yùn)動(dòng)和變化;依據(jù)語(yǔ)言的描述畫(huà)出圖形等?！笔穼幹薪淌趧t明確強(qiáng)調(diào)：空間觀念的本質(zhì)是空間想象力。空間觀念并非是一個(gè)特別抽象的術(shù)語(yǔ)，它在日常的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常有體現(xiàn)。

在教學(xué)片段2中，學(xué)生通過(guò)將圓等分成相同的若干個(gè)全等扇形，然后把它們從中心沿半徑剪開(kāi)（此時(shí)，扇形的圓弧仍然連著），展開(kāi)以后，得到兩個(gè)相同的鋸齒條形，再把兩個(gè)鋸齒條形相互嵌入，即構(gòu)成一個(gè)近似平行四邊形，如圖3。細(xì)心的學(xué)生能夠發(fā)現(xiàn)，由于圓弧的存在，近似平行四邊形的兩個(gè)長(zhǎng)邊略微彎曲，所以教師需要利用信息技術(shù)等進(jìn)一步細(xì)分小扇形的弧長(zhǎng)，呈現(xiàn)多個(gè)不同等分（由少到多）的拼組轉(zhuǎn)化圖，動(dòng)態(tài)演示等分圓拼組的逼近過(guò)程，即份數(shù)分得越多，其形狀越接近長(zhǎng)方形。這一過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷觀察、抽象、想象和轉(zhuǎn)化的思維活動(dòng)，學(xué)生體會(huì)到“化曲為直”的思想，在圓形和平行四邊形（長(zhǎng)方形）的轉(zhuǎn)化中發(fā)展了空間想象力，逐漸養(yǎng)成了空間觀念。

3.從長(zhǎng)方形的面積推導(dǎo)圓的面積計(jì)算公式，發(fā)展學(xué)生的推理能力

【教學(xué)片段3】

生1：我發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的寬是圓的半徑，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是圓的周長(zhǎng)的一半。（如圖4）

師：因此圓的面積是πr2。實(shí)際上，科學(xué)家在研究圓的面積的時(shí)候也是經(jīng)歷了這樣的過(guò)程，所以數(shù)學(xué)探索實(shí)在是太重要了。圓的周長(zhǎng)與圓周率有關(guān)系，今天學(xué)習(xí)的圓的面積也與圓周率有關(guān)系。那么，圓的周長(zhǎng)與面積有什么關(guān)系呢？我們采用的是轉(zhuǎn)化為長(zhǎng)方形的方法求得圓的面積，也有人用分解為三角形的方式求得面積，下課感興趣的同學(xué)可以進(jìn)一步研究。

《課標(biāo)》指出：“推理一般包括合情推理和演繹推理，合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā)，憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)，通過(guò)歸納和類(lèi)比等推斷某些結(jié)果;演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定律、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算?！苯虒W(xué)片段3中，學(xué)生通過(guò)空間想象和動(dòng)手操作，將圓先分成若干份全等扇形，繼而又轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，進(jìn)一步求得圓的面積。學(xué)生在觀察、比較、分析中，探尋圓的周長(zhǎng)和半徑與轉(zhuǎn)化而成的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬之間的關(guān)系，結(jié)果發(fā)現(xiàn)“新得的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)相當(dāng)于圓的周長(zhǎng)的一半，寬相當(dāng)于圓的半徑”，然后根據(jù)已有知識(shí)，即“長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬”“長(zhǎng)方形的面積=圓的周長(zhǎng)的一半×圓的半徑=[12]π×2r×r=πr2” ，得出“圓的面積=πr2”?；仡櫿麄€(gè)圓的面積計(jì)算公式推導(dǎo)的過(guò)程，學(xué)生在長(zhǎng)方形與圓形的轉(zhuǎn)化關(guān)系基礎(chǔ)上，將已有事實(shí)和確定的規(guī)則即已經(jīng)掌握的長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式，遷移應(yīng)用于圓的面積求解中，按照數(shù)理邏輯進(jìn)行具體數(shù)值的計(jì)算，進(jìn)而發(fā)展了數(shù)學(xué)推理能力。

四、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)看似一個(gè)新名詞或新概念，但實(shí)際上并非是一個(gè)新事物，它的本質(zhì)內(nèi)涵及其教育價(jià)值一直都客觀存在。以往的課堂教學(xué)雖然未提“學(xué)科核心素養(yǎng)”，但在很多具體的教學(xué)方式方法上也體現(xiàn)出了學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)向：旨在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力，促進(jìn)學(xué)生的終身發(fā)展。這與課程專(zhuān)家所提出的“數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是數(shù)學(xué)素養(yǎng)中最重要的思維品質(zhì)和關(guān)鍵能力，是人們通過(guò)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)建立起來(lái)的認(rèn)識(shí)、理解和處理周?chē)挛飼r(shí)所具備的品質(zhì)與能力，通常是在人們與周?chē)h(huán)境產(chǎn)生相互作用時(shí)表現(xiàn)出來(lái)的思考方式和解決問(wèn)題的策略”是準(zhǔn)確對(duì)接的。因此，在這個(gè)關(guān)注學(xué)科核心素養(yǎng)的“新時(shí)代”，指向核心素養(yǎng)的課堂教學(xué)方法并不是對(duì)以往教學(xué)的推翻與重建，而是一個(gè)對(duì)已有學(xué)科理解和經(jīng)驗(yàn)做法的批判、繼承與去粗取精的過(guò)程。在接下來(lái)的數(shù)學(xué)課程與教學(xué)研究中，不管我們?nèi)绾伍_(kāi)展多樣化的探索，還是應(yīng)當(dāng)回歸到一個(gè)基本方向上來(lái)，即用數(shù)學(xué)的眼光看待問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的思維思考問(wèn)題、用數(shù)學(xué)的方法解決問(wèn)題，這是我們需要秉持的基本思想。當(dāng)然，在實(shí)踐層面，指向數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的教學(xué)策略探尋，既需要學(xué)界進(jìn)行充分的理論推演和學(xué)理思考，還需要一線(xiàn)教師扎實(shí)的經(jīng)驗(yàn)摸索和實(shí)踐總結(jié)?？傊诖覀円约w智慧去發(fā)現(xiàn)、歸納和凝練。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

[1] 中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：人民教育出版社， 2018.

[2] 馬云鵬.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中核心素養(yǎng)的培養(yǎng)：以吳正憲老師“小數(shù)除法”教學(xué)為例[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2016（21）：3-5.

[3] 中華人民共和國(guó)教育部.全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）[S].北京：北京師范大學(xué)出版社， 2001.

[4] 史寧中.基本概念與運(yùn)算法則：小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的核心問(wèn)題[M].北京：高等教育出版社， 2013.

（責(zé)編 金 鈴）