向量妙解三角形“四心”

周明墩

摘 要 三角形“四心”（如垂心、重心、外心、內(nèi)心）與平面向量結(jié)合在一起的幾何問題是近年來高考命題的熱點(diǎn)，考生解決此類問題時(shí)錯(cuò)誤率較高，甚至束手無策。而掌握好三角形“四心”的定義，利用向量的基本性質(zhì)能夠更直接快捷地解決此類問題。

關(guān)鍵詞 向量解法;三角形;四心

中圖分類號(hào)：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1002-7661（2019）03-0203-02

三角形“四心”（如垂心、重心、外心、內(nèi)心）與平面向量結(jié)合在一起的幾何問題是近年來高考命題的熱點(diǎn)，考生解決此類問題時(shí)錯(cuò)誤率較高，甚至束手無策。而掌握好三角形“四心”的定義，利用向量的基本性質(zhì)能夠更直接快捷地解決此類問題。因此筆者搜集了部分資料，結(jié)合多年積累的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，就三角形“四心”與平面向量的聯(lián)系作一個(gè)歸納，并利用平面向量的相關(guān)知識(shí)求解三角形“四心”的問題。

一、垂心（orthocenter）——各邊高線的交點(diǎn)：高線與對(duì)應(yīng)邊垂直

【典例】已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，求證：的軌跡過的垂心。

分析：由題意得：

，即點(diǎn)在過點(diǎn)且垂直于的直線上，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡過的垂心，如圖1所示。

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的有關(guān)運(yùn)算，兩向量數(shù)量積為零它們所在的直線垂直，三角形垂心定義等相關(guān)知識(shí)的巧妙結(jié)合。

二、重心（barycenter）——各邊中線的交點(diǎn)：重心將中線長(zhǎng)度分成

【典例】已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，求證：的軌跡過的重心。

分析：由題意得：，當(dāng)時(shí)，表示邊上的中線所在直線的向量，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡過的重心，如圖2所示。

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量加法的平行四邊形法則，平行四邊形的對(duì)角線互相平分，三角形重心定義等相關(guān)知識(shí)的融合。

三、外心（circumcenter）——各邊中垂線的交點(diǎn)（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等

【典例】已知平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，求證：的軌跡過的外心。

分析：過中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)表示垂直于的向量，所以在垂直平分線上，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡過的外心，如圖3所示。

點(diǎn)評(píng)：本題以向量為載體對(duì)三角形的外心進(jìn)行考查，利用了共線向量定理等相關(guān)知識(shí)。

四、內(nèi)心（incenter）——各角平分線的交點(diǎn)（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點(diǎn)到角兩邊的距離相等

【典例】已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，求證：的軌跡過的內(nèi)心。

分析：由題意得：，∴當(dāng)時(shí)，表示的平分線所在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡過的內(nèi)心，如圖4所示。

點(diǎn)評(píng)：本題考查的單位方向向量，向量的加減法，菱形的基本性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)心定義等相關(guān)知識(shí)的深度融合。

以上利用向量妙解三角形“四心”問題的典例，將“形”和“數(shù)”緊密的結(jié)合在一起，使學(xué)生對(duì)三角形的“四心”在向量中的表現(xiàn)形式有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，看到了其內(nèi)在的統(tǒng)一，以及新形式、新特點(diǎn)。平時(shí)教學(xué)中有意識(shí)的對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行較為系統(tǒng)的整合，充分考查數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)主要方面，即數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、運(yùn)算能力、直觀想象和數(shù)據(jù)分析。并滲透七大數(shù)學(xué)基本思想方法：函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想、有限與無限的思想、或然與必然的思想。無論在提高學(xué)生解題能力方面，還是在開拓學(xué)生視野方面都大有神益，更能提高我們教師教學(xué)的有效性。