w－算子的蓋包

張曉磊

(成都航空職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)教學(xué)部，四川成都610100)

1 預(yù)備知識(shí)

本文中，R是交換結(jié)合環(huán)，M+表示M的特征模HomZ(M，Q/Z)．一個(gè)模類F稱為預(yù)蓋類，如果對(duì)任意R－模M，存在一個(gè)同態(tài)f:F(M)→M，其中F(M)∈F，使得對(duì)任意F∈F，g:F→M都有如下交換圖．此外，如果使分解f=fοh成立的h只有同構(gòu)，則稱F為蓋類．對(duì)偶的，可以定義預(yù)包類和包類．自從結(jié)合環(huán)上的任意模都有內(nèi)射包被證明后，模類的蓋包問(wèn)題在代數(shù)研究中受到廣泛關(guān)注．在試圖解決內(nèi)射包的對(duì)偶問(wèn)題中，Bass［1］證明了每個(gè)模有投射蓋當(dāng)且僅當(dāng)基環(huán)是完全環(huán)．

1979 年，Salce［2］發(fā)現(xiàn)蓋包問(wèn)題可以用余撓對(duì)來(lái)解決．一對(duì)模類(F，C)稱為余撓對(duì)，如果 F┴=C并且，其中

余撓對(duì)(F，C)稱為完全的，如果F是蓋類并且C是包類;稱為遺傳的，如果F關(guān)于滿態(tài)射的核封閉．Eklof等［3］證明了任意由集合余生成的余撓對(duì)都是完備的．用這種方法，Bican等［4］證明了平坦余撓對(duì)是完全的，從而完全解決了著名的平坦蓋猜想:任意結(jié)合環(huán)上，每個(gè)模都有平坦蓋．

純正合列與余撓對(duì)密切相關(guān)，一個(gè)R－模正合列0→N→M→L→0稱為純正合列，如果對(duì)任意R－模 A，0→AN→AM→AL→0是正合的．此定義當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意有限表現(xiàn)R－模B，0→HomR(B，N)→HomR(B，M)→HomR(B，L)→0 正合;當(dāng)且僅當(dāng)正合列0→L+→M+→N+→0可列．此時(shí)，稱N是M的純子模，L是M的純商模．

Holm等［5］的定理3．4總結(jié)了純性與完全余撓對(duì)的關(guān)系得到了如下結(jié)果．

定理1．1 設(shè)F是R－模類，F(xiàn)包含基環(huán)R，關(guān)于擴(kuò)張、直和、純子模和純商模封閉，則(F，F(xiàn)┴)是完全的余撓對(duì)，因此F是蓋類．

同樣，Enochs 等［6］的引理 5．3．12、推論 6．2．2 和推論5．2．7給出了一種驗(yàn)證給定模類是預(yù)包類與包類的方法．

引理1．2 設(shè) M和 N是 R－模，則存在只與Card(N)和Card(R)有關(guān)的基數(shù)κα，使得對(duì)任意同態(tài)f:N→M，存在一個(gè)M的純子模S使得f(N)∈S和 Card(S)≤κα．

定理1．3 設(shè)模類F在直積下封閉，R－模M滿足Card(M)=κβ，如果存在無(wú)窮基數(shù)κα使得如果F∈F和S∈F，其中，Card(S)≤κβ，則存在 F 的子模G滿足G∈F且Card(G)≤κα，則M必有F－預(yù)包．

定理1．4 設(shè)模類F關(guān)于直和項(xiàng)和反向極限封閉，如果R－模M有F－預(yù)包，則M有F－包．

關(guān)于廣義的平坦模的蓋包問(wèn)題研究，已經(jīng)有許多人做了大量的工作，例如相對(duì)平坦模類、強(qiáng)平坦模類與Gorenstein平坦模類的蓋包問(wèn)題研究，詳細(xì)內(nèi)容可以參考文獻(xiàn)［7－10］．隨著星型算子的快速發(fā)展，1997年，Wang等［11］引進(jìn)了整環(huán)上 w－模的概念．Wang［12］定義了整環(huán)上的 w－平坦模的概念．2011年，Yin等［13］將這些工作推廣到一般交換環(huán)上．2016年，Kim等［14］定義了一般交換環(huán)上的w－平坦模．

在本文中，記由所有w－模構(gòu)成的模類為W，所有w－平坦模構(gòu)成的模類為Fw，并研究了w－模類和w－平坦模類的余撓與蓋包問(wèn)題．本文第二節(jié)解決w－模的蓋包存在性問(wèn)題并給出如下結(jié)果．

定理1．5 若交換環(huán)R所有的GV－理想都是有限表現(xiàn)的，則(W，W┴)是遺傳完全余撓理論，因此W是蓋類．

定理1．6 對(duì)于任意交換環(huán)R，所有w－模構(gòu)成的模類W是包類．

此外，發(fā)現(xiàn)對(duì)于GV－無(wú)撓模，其同調(diào)意義下的w－包與經(jīng)典意義下的w－包絡(luò)(文獻(xiàn)［14］的定義6．2．1)一致．本文第3節(jié)解決w－平坦模的蓋包問(wèn)題，得到如下定理．

定理 1．7 對(duì)任意交換環(huán)R，(Fw，F(xiàn)w┴)是遺傳完全余撓理論，從而Fw是蓋類．

定理1．8 Fw是預(yù)包類當(dāng)且僅當(dāng)Fw關(guān)于直積封閉．

2 w－模的蓋包性質(zhì)

本節(jié)給出了w－模的概念和基本性質(zhì)，并對(duì)這個(gè)模類的余撓理論與蓋包理論進(jìn)行研究．

定義2．1 1)交換環(huán)R的有限生成理想J稱為GV－理想，若自然映射:R→J*=HomR(J，R)是同構(gòu)，R的所有GV－理想構(gòu)成的集合記為GV(R)．

2)設(shè)M是一個(gè)R－模，定義Torgv(M)={x∈M|Jx=0，存在 J∈GV(R)}．

3)如果Torgv(M)=M，則稱M為GV－撓模;如果Torgv(M)=0，則稱M為GV－無(wú)撓模．

定義2．2 1)一個(gè)GV－無(wú)撓模稱為w－模，如果對(duì)任意 J∈GV(R)，Ext1(R/J，M)=0．所有的 w－模構(gòu)成的模類記為W．

2)若理想I是w－模，則稱I為w－理想．如果m是一個(gè)極大的w－理想，則記m∈w－Max(R)．

3)設(shè)M是一個(gè)GV－無(wú)撓模，定義Mw={x∈Ei∈IMi是w－模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意i，Mi是w－模;

3)由文獻(xiàn)［15］，w－模類在直向極限與逆向極限下封閉，由此，平坦模是w－模;

4)所有的極大w－理想是素理想，M是GV－撓模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意m∈w－Max(R)，都有Mm=0．

根據(jù)文獻(xiàn)［6］的引理 5．3．12、推論 6．2．2 和推論5．2．7，純性對(duì)于模類的蓋包研究有著非常重要的意義．對(duì)于w－模，首先有下面2個(gè)引理．

引理2．4 對(duì)于任意交換環(huán)，w－模的純子模還是w－模．

證明 設(shè)0→N→M→L→0是R－模純正合列，M是一個(gè)w－模，則N是一個(gè)GV－無(wú)撓模．考慮長(zhǎng)正合列

0→ Hom(R/J，N) → Hom(R/J，M) →Hom(R/J，L) → Ext1(R/J，N) → Ext1(R/J，M)，由于N是M的純子模，R/J是有限表現(xiàn)模，所以自然態(tài)射 Hom(R/J，M)→Hom(R/J，L)為滿態(tài)射．由于M是w－模，所以 Ext1(R/J，M)=0，因此由上述正合列得Ext1(R/J，N)=0，所以N是w－模．

引理2．5 若交換環(huán)R所有的GV－理想都是有限表現(xiàn)的，則w－模的純商模還是w－模．

證明 設(shè)0→N→M→L→0是R模純正合列，即0→L+→M+→N+→0為可裂正合列，所以M+L+N+．如果 M 是 w－模，則

因此

如果J是有限表現(xiàn)理想，則

所以

從而

即L是w－模．

定理2．6 若交換環(huán)R所有的GV－理想都是(M)|Jx∈M存在J∈GV(R)}，并稱之為M的w－包絡(luò)．

注2．3 本文用到如下事實(shí):

1)一個(gè)模M是w－模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意J∈GV(R)，HomR(R/J，M)=Ext1R(R/J，M)=0;

2)R 是 w － 模，則∏i∈IMi是w－ 模當(dāng)且僅當(dāng)有限表現(xiàn)的，則(W，W┴)是遺傳完全余撓理論，因此W是蓋類．

證明 對(duì)于完全余撓理論，只須驗(yàn)證定理1．1的條件．根據(jù)注 2．3，R 是 w－模，w－模關(guān)于直和和擴(kuò)張封閉．由引理 2．4，w－模的純子模還是 w－模，由引理2．5，由于交換環(huán)R，所有的GV－理想都是有限表現(xiàn)的，所以w－模的純商模還是w－模．對(duì)于遺傳余撓理論，假設(shè)0→N→M→L→0，其中M與L是w－模，則由文獻(xiàn)［14］定理6．17得 N 是 w－模．

定理2．7 對(duì)于任意交換環(huán)R，所有w－模構(gòu)成的模類W是包類．

證明 設(shè)M是R－模，基數(shù)Card(M)=κβ．對(duì)任意F∈W，S∈F，由引理1．2，存在只與 S和 R有關(guān)的基數(shù)κα和F的純子模G滿足S∈G和Card(G)≤κα．由引理 2．4，G∈W．由引理 1．3，M 有 W－預(yù)包．由定理2．3的情況3)，W在反向極限下封閉．因此，由定理1．4，模類W是包類．

設(shè)M是一個(gè)R模，則在同構(gòu)意義下，存在唯一的W－包，下面給出其構(gòu)造．首先考慮GV－無(wú)撓情形．

證明 設(shè)W是一個(gè)w－模，則

考慮正合列

設(shè)模同態(tài) g:Mw→Mw滿足=gο．由于 Mw∈E(M)，=gο是M的本質(zhì)擴(kuò)張，所以g是單射．于是 Im gMw，Im g也是w－模．又因Mw是包含M的最小的w－模，所以Im g=Mw，故而g是滿射．因此g為同構(gòu)．

由引理2．8可得，對(duì)于GV－無(wú)撓模，其同調(diào)意義下W－包與傳統(tǒng)意義下的w－包絡(luò)(文獻(xiàn)［14］的定義6．2．1)是一致的．下面考慮一般情形．

證明 設(shè)T=Torgv(M)考慮正合列0→T→M→M/T→0 和 0→M/T→(M/T)w→L→0．對(duì)任意 w－模W，用函子HomR(－，W)作用到上面2個(gè)正合列，得到長(zhǎng)正合列

與

所以，HomR((M/T)w，W)→HomR(M，W)→0，即是預(yù)包．

設(shè) g:(M/T)w→(M/T)w滿足=gο，即 hοf=gοhοf．由于 f是滿同態(tài)，所以 h=gοh．所以由引理 2．8得g為同構(gòu)．

3 w－平坦模的蓋包性質(zhì)

本節(jié)給出了w－平坦模的概念和基本性質(zhì)，并對(duì)這個(gè)模類的余撓理論與蓋包理論進(jìn)行研究．

定義 3．1 1)一個(gè)R－模同態(tài)f:A→B稱為w－單射(w－滿射，w－同構(gòu))，如果對(duì)任意 m∈w－Max(R)，都有fm:Am→Bm是單射(滿射，同構(gòu));

2)一個(gè)模同態(tài)序列A→B→C稱為w－正合列，如果對(duì)任意m∈w－Max(R)，Am→Bm→Cm是正合列;

3)R－模M稱為w－平坦模，如果對(duì)任意w－單射f:A→B，1f:MA→MB還是 w－單射．記 w－平坦模類為Fw．

引理3．2 設(shè)R是交換環(huán)，則下面各條等價(jià):1)M是w－平坦模;

3)M是w－局部平坦的，即對(duì)任意m∈w－Max(R)，Mm是平坦Rm模;4)對(duì)于任意R－模N，TorR1(M，N)是GV－撓模;5)對(duì)于任意R－模N，TorRn(M，N)是GV－撓模．證明 參見(jiàn)文獻(xiàn)［14］的定理 6．7．3．

定理3．3 1)平坦模是w－平坦模，特別的R是w－平坦模;

2)w－平坦模關(guān)于擴(kuò)張，滿態(tài)射的核封閉;3)w－平坦模關(guān)于直和封閉．

證明 1)由w－平坦模的定義直接可得．

2)設(shè)0→N→M→L→0為R模正合列，則對(duì)任意m∈w－Max(R)，存在長(zhǎng)正合列如果N、M是w－平坦模，則

所以M是w－平坦模．如果M、L是w－平坦模，則

所以N是w－平坦模．

3)設(shè) Fi是 w－平坦模，則對(duì)任意 m∈w－Max(R)和 R－模 A，

定理3．4 w－平坦模的純子模和純商模都是w－平坦模．

證明 設(shè)f:A→B是w－單射，則對(duì)任意極大w－理想m，可設(shè)短正合列0→Am→Bm→Cm→0也是純正合列，故有如下行列均正合的交換圖，由蛇形引理，自然同態(tài)MAm→MBm和LAm→LBm都是單射，所以M、L都是w－平坦模．

定理 3．5 對(duì)任意交換環(huán)R，(Fw，F(xiàn)w┴)是遺傳完全余撓理論，從而Fw是蓋類．

證明 對(duì)于完全余撓理論，只須驗(yàn)證定理1．1的條件．根據(jù)引理3．3，R 是 w－平坦模，w－平坦模關(guān)于直和和擴(kuò)張封閉．由引理3．4，w－平坦模的純子模與純商模是w－平坦模．對(duì)于遺傳余撓理論，假設(shè)0→N→M→L→0，其中M與L是w－平坦模，則由引理3．3的情況2)得，N是w－平坦模．

定理3．6 Fw是預(yù)包類當(dāng)且僅當(dāng)Fw關(guān)于直積封閉．

證明 設(shè)M是一個(gè)R－模，Card(M)≤κβ，由引理1．2，存在無(wú)窮基數(shù) κα使得若 F是 w－平坦模，S是F的子模滿足Card(S)≤κβ，則存在F的純子模G 滿足 Card(G)≤κα，所以根據(jù)引理 3．4，G 是一個(gè)w－平坦模．因此，由定理 1．3，如果 Fw關(guān)于直積封閉，M有一個(gè)w－平坦預(yù)包．