一類擬周期線性哈密頓系統(tǒng)的有效約化性

李 佳， 朱春鵬

(徐州工程學院數(shù)學與物理科學學院，江蘇徐州221111)

假設(shè)A(t)是一個n×n矩陣，由Floquet定理知，如果A(t)是一個T周期矩陣，則x=A(t)x可以通過一個T周期變換，使其約化為常系數(shù)線性方程．Johnson等［1］進一步考慮了假設(shè)系數(shù)矩陣A(t)滿足全譜條件，則擬周期系統(tǒng)x=A(t)x是可約化的．所謂的約化是指存在一個擬周期非奇異變換x=φ(t)y，其中φ(t)和φ(t)－1是擬周期且有界的，使得x=A(t)x變?yōu)閥=By，其中B是常數(shù)矩陣．Jorba等［2］考慮了線性擬周期方程x=(A+εQ(t))x，其中x∈Rn，常數(shù)矩陣A是有不同的特征值．他們得到在非共振條件和非退化條件下，存在一個非空Cantor集E，使得當 ε∈E 時，方程是可約化的．Xu［3］把上面的結(jié)論推廣到了有相同特征值的情況．Jorba等［4］考慮了非線性擬周期系統(tǒng)x=(A+εQ(t))x+εg(t)+h(x，t)，x∈Rn，其中 A有 n個不同的非零特征值．在非共振條件和非退化條件下，他們得到了ε∈E時，非線性系統(tǒng)是可約化的．Li等［5］進一步推廣到了有重特征值的情況．但是，上面的文獻只考慮了解析系統(tǒng)的約化性．近來，Li等［6］考慮了矩陣A不同特征值情況下，有限光滑擬周期系統(tǒng)x=(A+εQ(t))x的可約化性．雖然這樣，上述文獻的約化性都是約化到常系數(shù)矩陣的．不同于約化到常系數(shù)矩陣的情況，Jorba等［7］考慮了擬周期方程x=(A+εQ(t))x的有效約化性，其中常數(shù)矩陣A是有不同的特征值．他們得到在只有非共振條件，沒有非退化條件的情況下，對于所有的參數(shù)ε，通過一個擬周期變換，系統(tǒng)可以約化為y=(A*(ε)+εR*(t，ε))y，其中R*關(guān)于ε是指數(shù)小的．最近，Li等［8］進一步推廣到了有不同特征值的擬周期線性哈密頓系統(tǒng)的有效約化性．通過構(gòu)造一個辛映射，使得這個有效約化保持了哈密頓結(jié)構(gòu)．

受文獻［7－8］的啟發(fā)，本文把文獻［8］的結(jié)果推廣到有重特征值的情況．

定義 1 如果 f(t)=F(ω1t，ω2t，…，ωrt)，其中F(θ1，θ2，…，θr)對于所有變量都是 2π 周期的，且θi=ωit，i=1，2，…，r，則稱函數(shù) f是頻率為 ω=(ω1，ω2，…，ωr)的擬周期函數(shù)．

如果 F(θ)，θ=(θ1，θ2，…，θr)在 Dρ={θ∈Cr‖Im θi|≤ρ，i=1，2，…，r}上解析，則稱 f(t)在 Dρ上是解析擬周期的．記f(t)在Dρ上的最大值范數(shù)為‖f‖ρ=sup |F(θ)|．

θ∈Dρ

定義 2 如果所有的 qij(t)(i，j=1，2，…，n)在Dρ上是解析擬周期的，則稱矩陣函數(shù) Q(t)=(qij(t))1≤i，j≤n在 Dρ上是解析擬周期的．

1 主要結(jié)論

定理1 考慮哈密頓系統(tǒng)

假設(shè) A=diag(λ1Ir1，λ2Ir2，……，λlIrl)，其中 Id是 d階單位矩陣，r1+r2+…+rl=n，i≠j時，λi≠λj．假設(shè) Q(t，ε)在 Dρ上是頻率為 ω=(ω1，ω2，…，ωr)的解析擬周期矩陣，并且關(guān)于ε連續(xù)．假設(shè)下面的條件成立．

假設(shè) 1(非共振條件) λ=(λ1，λ2，…，λn)和ω=(ω1，ω2，…，ωr)滿足

其中，k∈Zr{0}，τ＞r－1，α＞0 是一個小常數(shù)．

假設(shè) 2 記 Q(θ)=(Dij)1≤i，j≤l，其中 Dkk是 rk階矩陣，1≤k≤l．定義 D=diag(D11，D22，…，Dll)．令［D］是D關(guān)于 t的平均．假設(shè)［Dii］的特征值為 δ1i，…，δrii，它們滿足

其中，j≠j'，i=1，2，…，l，|ε|≤ε0，ζ是常數(shù)．

則對于所有的|ε|≤ε*≤ε0，存在一個擬周期辛變換 x=φ(t，ε)y，其中 φ(t，ε)在 Dρ上是頻率為ω的解析擬周期矩陣，使得(1)式變?yōu)楣茴D系統(tǒng)

此外，有以下結(jié)論成立:

1)A*(ε)是常數(shù)矩陣，滿足‖A*－A‖≤c1ε，其中c1＞0是常數(shù);

2)R*(t，ε)在 Dρ上是頻率為 ω=(ω1，ω2，…，ωr)的 解 析 擬 周 期 矩 陣，并 且 ‖R*‖ρ－δ≤是常數(shù)．

注 1 一般來說，Q(t，ε)依賴于 ε．下面為了簡單起見，有時省略Q(t，ε)中的參數(shù)ε．

2 定理1的證明

事實上，本文重特征值的情況主要影響文獻［8］的第一步 KAM迭代．因此，首先給出第一步KAM迭代，而以后的KAM迭代變?yōu)椴煌卣髦档那闆r，完全類似于文獻［8］．

其中，A=A+ε［D］，Q=(Q－［D］)M，R=

000

(Q－［D］)≥M．類似于文獻［8］，做辛變換 x=eεP0y，其中哈密頓矩陣P0將在下面定義，則方程(5)變?yōu)?/p>

其中此時，希望系統(tǒng)(6)中Q0－P0+A0P0－P0A0=0，等價于解方程

由假設(shè)2，即A0的特征值互不相同，于是，存在可逆矩陣 S，使得 珔A0=S－1A0S=diag(λ01，λ02，…，λ0n)，其中 A0的特征值為{λi+εδji}，i=1，2，…，l，j=1，2，…，ri．令S－1P0S=P珔0，S－1Q0S=Q珚0．于是，解方程(7)實際上變?yōu)榻夥匠贪裀珔0和Q珚0展開為傅里葉級數(shù) 珚Q0=其中．如果并且當λ0i'和λ0j'分別是A0中不同的小分塊矩陣的特征值時，|λ+i'－λ+j'|≥δ0，其中，M(ε)=?是常數(shù)，則通過比較

(8)式的傅里葉系數(shù)，有P珔0ij=0，(i，j)為矩陣 D 中小分塊矩陣Dmm中的元素的坐標，1≤m≤l;其他，P珔kij=于是，方程(7)可解．另外，由于A0和Q0是哈密頓矩陣，于是P0也是哈密頓矩陣．具體證明見文獻［8］中的引理2．2．此時，哈密頓系統(tǒng)(6)變?yōu)榱頠0*=(D*ij)1≤i，j≤l，其中，D*kk是 rk階矩陣，1≤k≤l．定義 D*0=diag(D*11，D*22，…，D*ll)．由于Q0*是哈密頓矩陣，于是D*0也是哈密頓矩陣．哈密頓系統(tǒng)(10)變?yōu)?/p>

其中，A1=A0+ε［D0*］，Q珟0=Q*0－［D*0］，Q1=Q珟M0(ε)，

R1=Q珟≥0

M(ε)+e－εP0R0eεP0．A1、Q1、R1都為哈密頓矩陣．下面證明非共振條件(9)成立．當k∈Zr，0＜|k|時，由定理的假設(shè)1，有

是常數(shù)．

對于哈密頓系統(tǒng)(11)，A1的特征值互不相同．這是因為，由文獻［8］的(3．14)式，得到 Q*0=O(ε1－2a)，a∈(0，)．再由假設(shè) 2及(11)式，得到A1的特征值互不相同．事實上，對于下面每一步KAM迭代中的Ad，d∈Ν，它們分別都有不同的特征值．下面的證明完全類似于文獻［8］，為了簡單起見，此略．

致謝徐州工程學院科研項目(XKY2016214、XKY2016215和XKY2017113)對本文給予了資助，謹致謝意．