☉甘肅省山丹縣山丹育才中學(xué) 脫文林
圖1
近日,在張掖市初中數(shù)學(xué)教師的一個(gè)微信交流平臺有過下面一段討論:
例1(人教版初一數(shù)學(xué))在如圖1所示的方位角中,射線OA表示的方向是( ).
A.東偏南30° B.南偏東60°
C.西偏南30° D.南偏西60°
TeacherZhang:大家?guī)兔聪逻@道題的A、B選項(xiàng).
TeacherYu:南偏東60度.
TeacherHua:南偏東60度,地理位置以正北、正南為基準(zhǔn)!小學(xué)六年級時(shí)選A、B都對!
TeacherChao:標(biāo)有30度角,顯然A最合適,六年級時(shí)學(xué)的,當(dāng)然在多選題中B也正確.
TeacherFen:@TeacherZhang這個(gè)問題的表述首先不嚴(yán)謹(jǐn),方向角與方位角是兩個(gè)概念,這應(yīng)該是針對方向角的.現(xiàn)行教材中小學(xué)與中學(xué)脫節(jié),小學(xué)要求低,A的說法也對,只要學(xué)生能清楚描述一個(gè)方向就行,但A的描述不規(guī)范,我支持TeacherHua的意見.
TeacherLin:方向角一般是指以觀測者的位置為中心,將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角(一般指銳角),通常表達(dá)成北(南)偏東(西)×××度.方位角指從標(biāo)準(zhǔn)方向的北端起,順時(shí)針方向到直線的水平角稱為該直線的方位角,方位角的取值范圍為0°~360°.
在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,多數(shù)教師認(rèn)為“方向角”和“方位角”是一回事,即平面內(nèi)用方向來表示目標(biāo)相對于參照點(diǎn)的位置.隨著討論深入,大家的思路從問題解析走向概念辨析,解釋了方向角、方位角的不同,討論還在繼續(xù).方向角與方位角之間的關(guān)系到底是什么?為什么小學(xué)與中學(xué)對“表示方向”的表述不同?為什么中學(xué)教材在方向角與方位角問題上閃爍其詞?這些問題都有必要思考和考證.
《中學(xué)幾何辭典》中的解釋:
方向角:指北或南方向與目標(biāo)方向線所構(gòu)成的小于90°的水平角.
方位角:從某點(diǎn)的指北方向按順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向的水平角.
《簡明數(shù)學(xué)辭典》中的解釋,引自笛卡兒《更好地指導(dǎo)推理和尋求科學(xué)真理的方法論》:
方向角:平面直線的方向角是指該直線與x軸正方向所構(gòu)成的最小正角或零.空間直線的方向角是指該直線與三個(gè)坐標(biāo)軸正方向所構(gòu)成的正角.如果沒有指定空間直線的方向,則有兩組方向角,分別對應(yīng)直線的兩個(gè)不同指向.
方位角:一條直線或一個(gè)天體所在的垂直平面與子午面之間的夾角.
“科普中國”科學(xué)百科詞條,引自《數(shù)學(xué)辭?!返?卷(南京:東南大學(xué)出版社,2002):
方向角【directionangle】,指的是采用某坐標(biāo)軸方向作為標(biāo)準(zhǔn)方向所確定的方位角.方向角是從正北或正南方向到目標(biāo)方向所形成的小于90°的角.通常表達(dá)成北(南)偏東(西)××度,若正好為45度,則表示為東南(北)方向或西南(北)方向.
方位角又稱地平經(jīng)度【Azimuth(angle),縮寫是Az】,是在平面上量度物體之間的角度差的方法之一.是從某點(diǎn)的指北方向線起,依順時(shí)針方向到目標(biāo)方向線之間的水平夾角.由于每點(diǎn)都有真北、磁北和坐標(biāo)縱線北三種不同的指北方向線,因此,從某點(diǎn)到某一目標(biāo),就有三種不同方位角,真方位角,磁方位角,坐標(biāo)方位角.
通過考證,“方向角”和“方位角”都是在參照點(diǎn)的基礎(chǔ)上,用基準(zhǔn)線與目標(biāo)線的夾角描述平面位置的方法,但它們描述的方法不同,是兩個(gè)不同的數(shù)學(xué)概念.方向角乃一平面角,系一直線與南或北方向線所夾的銳角,是用來標(biāo)出兩點(diǎn)方位的方法之一.與方位角不同者,方向角系分由南、北起算,角度值在0°至90°之間,方向角之表示方式乃是在角度值之前冠以南、北字樣,其后則書出東、西字樣.方位角指從標(biāo)準(zhǔn)方向的北端起,順時(shí)針方向轉(zhuǎn)到直線的水平角,它的取值范圍為0°~360°.
學(xué)生對圖形與位置的認(rèn)知,起始于三年級下冊第一單元位置與方向(一),要求學(xué)生結(jié)合具體情境,給定四個(gè)方向中的一個(gè)方向,能辨認(rèn)其余三個(gè)方向,知道東北、西北、東南、西南四個(gè)方向,能看懂簡單的平面圖,初步形成辨認(rèn)方向、表達(dá)與交流物體所在方向的能力.六年級上冊第二單元位置與方向(二),提高了要求,能根據(jù)物體相對于參照點(diǎn)的方向和距離確定其位置,會描述簡單的路線圖,學(xué)會通過方向和距離表示平面位置的方法,初步感受坐標(biāo)法的思想.
三年級下冊位置與方向(一)
圖2
六年級上冊位置與方向(二)
圖3
課標(biāo)的要求、教材的編寫,讓我們感受到了伴隨學(xué)生的成長,“知識呈現(xiàn)螺旋式上升”的顯著特點(diǎn).小學(xué)低段能辨認(rèn)東、西、南、北、東北、西北、東南、西南八個(gè)方向,小學(xué)高段能根據(jù)任意物體相對于參照點(diǎn)的方向和距離確定其位置,在上圖人教版六年級上冊教材給出了“東偏南30°”的表述,同一方向在七年級教材中被規(guī)定描述為“南偏東60°”,并且強(qiáng)調(diào)“以正北、正南為基準(zhǔn),描述物體運(yùn)動方向”,那么小學(xué)教材寫錯了嗎?
我們的教學(xué)活動必須從學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)出發(fā),小學(xué)生的數(shù)學(xué)思維以形象思維為主,到了初中階段開始向抽象思維過渡,小學(xué)與中學(xué)因?qū)W生認(rèn)知水平不同,教學(xué)要求也就不同,小學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)生能直觀、準(zhǔn)確描述一個(gè)方向就行,不必過于計(jì)較“東偏南30°”與“南偏東60°”.但到了中學(xué)階段,對方向角的描述要符合學(xué)科表達(dá)規(guī)范,強(qiáng)調(diào)了“以正北、正南方向?yàn)榛鶞?zhǔn)”,這不是嚴(yán)格意義上的知識矛盾,是隨著學(xué)生認(rèn)知發(fā)展知識逐步完備的過程.
人教版教材七年級上冊第四章“幾何圖形”中4.3.3“余角與補(bǔ)角”一節(jié)內(nèi)容的編排中,涉及方向角的內(nèi)容僅為一個(gè)例題,如下:
例2 如圖4,貨輪O在航行過程中,發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°方向上.同時(shí)在它北偏東40°、南偏西10°、西北(即北偏西45°)方向上分別發(fā)現(xiàn)了客輪B、貨輪C和海島D.依照表示燈塔方位的方法,畫出表示客輪B、貨輪C和海島D方向的射線.
圖4
圖5
本題旨在進(jìn)一步滲透極坐標(biāo)思想.七年級下冊第十一章“平面直角坐標(biāo)系”中7.2.1“用坐標(biāo)表示地理位置”一節(jié)內(nèi)容強(qiáng)調(diào)“一般地,可以建立平面直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)表示地理位置.此外,還可以用方向和距離表示平面內(nèi)物體的位置.”《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》對初中階段圖形與坐標(biāo)的具體要求是:結(jié)合豐富的實(shí)例進(jìn)一步體會用有序數(shù)對可以表示物體的位置,在實(shí)際問題中,能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,描述物體的位置.可見,方向角在淡出初中階段確定位置的學(xué)習(xí),由于平面直角坐標(biāo)系的引入,初中教學(xué)更著重于用坐標(biāo)表示地理位置.
人教版初中數(shù)學(xué)教材中始終沒有“方向角”的說法,但2004年6月第一版七年級上冊教材,提到了“表示方向的角(方位角)”,后來2012年6月第一版又刪除了“方位角”的字樣,教材前后的這種細(xì)微變化,從有“方位角”一說到今天的忽略,是回避方向角與方位角之爭?還是暗示方向角與方位角本質(zhì)上的相容相通?
2004年6月第一版
圖6
2012年6月第一版
圖7
“科普中國”科學(xué)百科對“方向角”的解釋“指的是采用某坐標(biāo)軸方向作為標(biāo)準(zhǔn)方向所確定的方位角”,充分說明了方向角與方位角的從屬關(guān)系.方向角與方位角的爭與不爭,爭在于概念的清晰界定、規(guī)范的數(shù)學(xué)表達(dá),不爭在于概念的發(fā)展演變過程、使用范圍及其本質(zhì)的關(guān)聯(lián).教材不經(jīng)意的回避,意在淡化概念,指向“不必過分追究”,實(shí)則引發(fā)更加激烈的爭論,這一點(diǎn)應(yīng)該是教材編者沒有充分預(yù)料到的.
通過微信平臺的討論,方向角和方位角的是非曲直大家已了然于心,平臺上教師們的討論仍在繼續(xù),更具個(gè)性化的思考展現(xiàn)了教師們從問題探討到教學(xué)研究后獲得的愉悅感.
TeacherHong:方向角以正東、南、西、北方向?yàn)榛鶞?zhǔn),偏的度數(shù)小于45°度,對學(xué)生來說更有方向感.比如,如“東偏北20°”,比“北偏東70°”更恰當(dāng),都70°了還偏,似乎偏太多了.
TeacherKai:如果只說方位,不說方位角,就避免這樣的問題了!
TeacherFen:伴隨學(xué)生認(rèn)知發(fā)展,知識體系逐步完整,我們從學(xué)生知識體系看,也能發(fā)現(xiàn)一些教材前后要求不同的端倪.小學(xué)階段學(xué)生對余角與補(bǔ)角的認(rèn)識停留在感知層次,因此有了“東偏南”等直觀解釋,七年級對這一點(diǎn)進(jìn)行了規(guī)范要求.
TeacherChen:小學(xué)學(xué)習(xí)主要是從認(rèn)知開始,教材的編寫是逐步螺旋上升的,初中后就要逐步規(guī)范數(shù)學(xué)語言,形成更強(qiáng)的數(shù)學(xué)邏輯思維!
TeacherLong:受知識基礎(chǔ)的制約,初中階段學(xué)生認(rèn)識的角主要是小于平角的,這達(dá)不到方位角的要求,因此才產(chǎn)生方向角的補(bǔ)充概念,真相是這樣嗎?
TeacherFen:我們使用的教材也在逐步完善,現(xiàn)在的忽略是為了降低學(xué)生的認(rèn)知負(fù)荷,但教師還是應(yīng)該弄清楚真相.
…………
裴光亞老師在《數(shù)學(xué)教師的特有語言與個(gè)性特征》一文中指出,在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們常對一些概念“不做嚴(yán)格的定義”,或者“避免抽象地對它們下定義”.為了有效實(shí)現(xiàn)課程目標(biāo),我們必須正視教學(xué)中的課程內(nèi)容與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的矛盾,當(dāng)學(xué)生的理解力不適應(yīng)數(shù)學(xué)的抽象性時(shí),我們應(yīng)該怎么辦?如果我們無視矛盾的存在,學(xué)生失去的將不僅僅是對相關(guān)內(nèi)容的理解,還有對數(shù)學(xué)的感受、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的愿望,同時(shí)失去了達(dá)成各種目標(biāo)的可能性,這是非??膳碌?,正是在這樣的兩難選擇中,我們站在了人本立場上,維護(hù)學(xué)生的天性,而暫時(shí)犧牲數(shù)學(xué)的抽象性.