一類帶有擴(kuò)散項(xiàng)和階段結(jié)構(gòu)的非自治捕食-食餌系統(tǒng)解的漸近行為

胡華書, 蒲志林, 沈怡心

(四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066)

經(jīng)典的Lotka-Volterra模型都是假設(shè)一個(gè)獨(dú)立物種有相似的能力去捕食或者繁殖,但是大部分的生命循環(huán)并不是這樣的,很多動(dòng)物至少包括2個(gè)階段:幼年和成年.物種在第一個(gè)階段通常是不能捕食和繁殖的,由成年父母喂養(yǎng),而成年物種靠捕食獵物為生.另外,物種也受環(huán)境、遷徙等影響,所以本文考慮帶有擴(kuò)散項(xiàng)和階段結(jié)構(gòu)的非自治捕食-食餌系統(tǒng):

(1)

其中,Ω?RN,N≥1是具有光滑邊界的有界區(qū)域,B表示邊界算子

Georgescu等[1]已經(jīng)研究過系統(tǒng)不帶擴(kuò)散項(xiàng)的自治情況,通過構(gòu)造一個(gè)恰當(dāng)?shù)腖yapunov函數(shù)和使用LaSalle的不變性原則,研究系統(tǒng)的全局動(dòng)力性,得到了系統(tǒng)正穩(wěn)態(tài)的存在性及漸近穩(wěn)定性.Langa等[2-3]也研究了帶有擴(kuò)散項(xiàng)的非自治Lotka-Volterra系統(tǒng)的向前和拉回行為.Langa等[4]利用非自治偏微分方程的吸引子的最新理論得到關(guān)于非自治Lotka-Volterra系統(tǒng)描述競爭,共生和捕食-食餌現(xiàn)象的持久性和全局解的向前和拉回漸近穩(wěn)定性.Langa等[5]利用次超軌線對(duì)的方法研究了帶有擴(kuò)散項(xiàng)的非自治Lotka-Volterra模型的長時(shí)間行為,得到了包括競爭、共生和捕食-食餌3種情形.特別地,在一些參數(shù)條件下,證明了這些模型的一個(gè)唯一非退化全局解的存在性,它吸引其他任意完全的有界軌線.最后得出次超軌線對(duì)作為現(xiàn)在經(jīng)典的上下解方法的一般化方法,得到3種模型的拉回和向前持久性.

具有階段性的捕食-食餌系統(tǒng)在最近十年也受到了廣泛關(guān)注,描述階段結(jié)構(gòu)的生態(tài)反應(yīng)已經(jīng)由文獻(xiàn)[6-7]給出,Liu等[8]也研究了階段結(jié)構(gòu)的種群模型的動(dòng)力性.文獻(xiàn)[9-10]研究了具有階段結(jié)構(gòu)的捕食-食餌系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性和持久性.所以對(duì)于研究帶有擴(kuò)散項(xiàng)和階段結(jié)構(gòu)的捕食-被食系統(tǒng)的漸近行為,是很有意義的.

1 預(yù)備知識(shí)

回顧拉回吸引子的概念.

定義 1.1[4]設(shè)(X,d)是一個(gè)完備距離空間,{S(t,s)}t≥s,t,s∈R是一個(gè)映射集簇,滿足：

(a)S(t,s)S(s,τ)z=S(t,τ)z,對(duì)所有的τ≤s≤t,z∈X成立;

(b)S(t,τ)z在t>τ和z是連續(xù)的;

(c)S(t,t)對(duì)所有的t∈R在X上是恒等映射.

這樣的映射叫做一個(gè)過程.通常,S(t,τ)z作為非自治方程在時(shí)刻τ具有初始條件u在時(shí)間t的解.對(duì)于自治方程的解僅僅依賴t-τ,記

S(t,τ)=S(t-τ,0).

為了描述像(1)式的非自治系統(tǒng)的漸近行為,需要一個(gè)非自治拉回吸引子的概念.

定義 1.2[9]給定t0∈R,B(t0)?X在時(shí)間t0是拉回吸收的,如果對(duì)每一個(gè)有界子集I?X,存在一個(gè)T=T(t,I)∈R,滿足S(t0,τ)I?B(t0), 對(duì)所有的τ≤T.

定義 1.3[4]一個(gè)緊集簇{A(t)}t∈R?X是S(·,·)的一個(gè)拉回吸引子,如果：

(a)S(t,τ)A(τ)=A(t),對(duì)所有的t≥τ;

(b) 對(duì)所有的t∈R,I?X的有界子集,有

其中dist(A,B)代表A和B之間的Hausdorff距離.定理 1.4[11-12]假設(shè)存在一個(gè)緊的拉回吸收集簇,則存在一個(gè)拉回吸引子{A(t)}t∈R.

為了更精確地描述拉回吸引子的動(dòng)力學(xué)對(duì)象,給出如下定義.

由文獻(xiàn)[4]知,當(dāng)吸收集簇是一致有界的,拉回吸引子可以被描述為

A(t)=

{ω(t):ω(·)是一個(gè)對(duì)S來說的有界完備軌線}.

(3)

2 自治情形

(4)

和

(5)

初邊值滿足：

u0(x)>0,v10(x)>0,v20(x)>0;

讓(U,V1,V2)是初邊值問題

(6)

相應(yīng)的解,由v10、v20的非負(fù)性,則存在常數(shù)ρ1、ρ2,使得V1、V2滿足

0≤V1≤ρ1e-(λ1+D+d1)(t-s)φ1(x),

0≤V2≤ρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x), (t,x)∈Ξ， (7)

(8)

其中，μ1是-Δu=μu的第一特征值,Us是邊值問題

(9)

(u,v1,v2)≤(U,V1,V2).

回顧(7)式有

(0,0,0)≤(u,v1,v2)≤

(U,ρ1e-(λ1+D+d1)(t-s)φ1(x),ρ2e-(λ2+d2)φ2(x)). (10)

由(10)式知

(u,v1,v2)→(0,0,0),

t→∞,γ≤μ1.

(11)

當(dāng)γ>μ1時(shí),包括對(duì)u的Neumann邊界條件,依然有(v1,v2)→(0,0)，當(dāng)t→∞.這隱含著對(duì)任一正的<γ-μ1,存在T1>0,滿足

bv2<,

(12)

讓U和U(0)是

得到了如下解的全局存在性和漸近行為.

定理 2.1給定系統(tǒng)(1)的任一非負(fù)初值(u0,v10,v20),系統(tǒng)(1)有唯一全局解(u,v1,v2)滿足(10)式.當(dāng)γ≤μ1時(shí),有(u,v1,v2)→(0,0,0),t→∞;當(dāng)u0≠0且γ>μ1,有(u,v1,v2)→(Us,0,0),其中,Us是(9)式的正解.特別地,如果σ≡0,則當(dāng)t→∞時(shí),(u,v1,v2)→(γ/a,0,0).

3 解的漸近行為

3.1 非自治logistic方程當(dāng)v1=v2=0時(shí),u滿足logistic方程

(14)

其中,γ∈L∞((s,∞)×Ω),0

(15)

的第一特征值,ψ1(h)是唯一的正特征函數(shù),‖ψ1(h)‖∞=1.μ1(h)關(guān)于h是連續(xù)且增的,關(guān)于Ω是連續(xù)且單減的,且如果h(x)>0在Ω里成立,由文獻(xiàn)[12]，則

(16)

記

μ1:=μ1(0).

現(xiàn)在,給定h∈L∞(Ω),g∈R,g>0,考慮非線性橢圓方程

(17)

的正解的存在性和唯一性及解的一些重要性質(zhì),有如下結(jié)果.

引理 3.1[3]問題(17)有一個(gè)正解,當(dāng)且僅當(dāng)μ1(-h)<0.更進(jìn)一步,如果這樣的解存在,則是唯一的,記為u[h,g],當(dāng)μ1(-h)≥0時(shí),u[h,g]≡0,且滿足：

(a)u[h,g]是有下界的

關(guān)于方程(14)的正解的存在性和唯一性以及它的向前和拉回漸近行為,記

命題 3.2[3]給定u0∈P{0},方程(14)存在唯一正解,記為θ[γ,a](t,s;u0),對(duì)t>s是嚴(yán)格正的,且滿足以下條件：

(a)θ[γ,a](t,s;u0)關(guān)于γ是增的,且關(guān)于a是減的;

(b)γ(t,x)≡γ(x),如果a(t)=a0>0,則‖θ[γ,a0](t,s;u0)-u[γ,a0]‖∞→0,當(dāng)t→∞或者是當(dāng)s→-∞時(shí)成立;

(c) 如果μ1(-γ)>0,則‖θ[γ,a](t,s;u0)‖∞→0,當(dāng)t→∞或s→-∞;

(d) 如果μ1(-γ)<0,且a(t)→0,當(dāng)t→∞時(shí),則

‖θ[γ,a](t,s;u0)‖∞→∞,t→∞;

V(x)≤θ[γ,a](t,s;u0)≤l(t)

對(duì)所有的

s≤T(t,u0),

(18)

其中

3.2 解的估計(jì)本小節(jié)的第一個(gè)結(jié)果保證了系統(tǒng)(1)的正解的存在性和唯一性,以及提供了一些有用的估計(jì).

定理 3.3給定(u0,v10,v20)∈P{0},系統(tǒng)(1)存在唯一正解,記為(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),v2(t,s;u0,v10,v20)),對(duì)t>s是嚴(yán)格正的,且滿足：

θ[γ-bρ2e-(λ2+d2)(t-s),a]≤u≤θ[γ,a],

(19)

0≤v1≤ρ1e-(λ1+D+d1)(t-s)φ1(x),

(20)

0≤v2≤ρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x).

(21)

證明取

(u,v1,v2)=(θ[γ-bρ2e-(λ2+d2)(t-s),a]，0,0),

ρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x)).

(22)

由命題3.2的(a)知

由文獻(xiàn)[13]的定理8.3.3知,系統(tǒng)(1)的正解存在,唯一性由標(biāo)準(zhǔn)結(jié)論可得.

命題 3.4假設(shè)γ<μ1,則當(dāng)t→∞時(shí),(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),v2(t,s;u0,v10,v20))→(0,0,0).

證明如果γ<μ1,則μ1(-γ)=μ1-γ>0,又由(19)式及命題3.2的(c)知,當(dāng)t→∞時(shí),u(t,s;u0,v10,v20)→0,又由(20)和(21)式知:當(dāng)t→∞時(shí),v1,v2→0.命題得證.

命題 3.5假設(shè)當(dāng)t→∞時(shí),a(t)→0,如果γ>μ1,則當(dāng)t→∞時(shí),(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),v2(t,s;u0,v10,v20))→(∞,0,0).

證明由(20)和(21)式知,當(dāng)t→∞時(shí),v1,v2→0.又因?yàn)棣?μ1,有

γ-bρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x)>μ1,t≥t1,

因此

μ1(-γ+bρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x))<

μ1(-μ1)=0.

所以由命題3.2的(d)知

θ[γ-bρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x),a]→∞,

由(19)式知u(t,s;u0,v10,v20)→∞.命題得證.

命題 3.6假設(shè)γ<μ1,則當(dāng)s→-∞時(shí),

(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),

v2(t,s;u0,v10,v20))→(0,0,0).

命題 3.7給定t∈R,γ>μ1,則當(dāng)s→-∞時(shí),

(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),

v2(t,s;u0,v10,v20))→(θ[γ,a](t,s;u0),0,0).

證明由(20)和(21)式知,當(dāng)s→-∞時(shí),v1(t,s;u0,v10,v20),v2(t,s;u0,v10,v20)→0.給定δ>0,存在sδ滿足

v2(t,s;u0,v10，v20)≤δ,s≤sδ,

取u=θ[γ-bv2,a],有

θ[γ-bδ,a]≤θ[γ-bv2,a]=u≤θ[γ,a],s≤sδ, (24)

所以

θ[γ-bδ,a]-θ[γ,a]≤u-θ[γ,a]≤0,s≤sδ. (25)

因此,需要去證明

ωδ:=θ[γ-bδ,a]-θ[γ,a]→0,δ→0,

(26)

不難證明ωδ滿足

(ωδ)t-Δωδ=γωδ-bδθ[γ-bδ,a]-

a(t)ωδ(θ[γ-bδ,a]+θ[γ,a]).

(27)

記

qδ(r,s)=

γ-a(r)(θ[γ-bδ,a](r,s;u0)+θ[γ,a](r,s;u0)),

由常數(shù)變異公式有

bδθ[γ-bδ,a](r,s;u0))dr.

因?yàn)椤琫-A(t-r)‖op≤1,得到

‖ωδ(t,s;u0)‖∞≤

由Gronwall引理得到

‖ωδ(t,s;u0)‖∞≤

另一方面,由命題3.2有

‖θ[γ-bδ](t,s;u0)‖∞≤

‖θ[γ,a](t,s;u0)‖∞≤l(t),

對(duì)s≤T(t).對(duì)一些T(t)和l(t)是獨(dú)立于δ的,由(28)式取δ→0,則得到(26)式,命題得證.

3.4 拉回吸引子的存在性定義

S(t,s)(u0,v10,v20)=

(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),

v1(t,s;u0,v10,v20))，

其中,(u(t,s;u0,v10,v20),v1(t,s;u0,v10,v20),v2(t,s;u0,v10,v20))是系統(tǒng)(1)的唯一正解,u0,v10,v20∈P.X上的范數(shù)

|(u,v1,v2)|∞=‖u‖∞+‖v1‖∞+‖v2‖∞.

3.4.1X上的有界吸收集 讓I?X是有界的,即

由(19)式及命題3.2的(e)知,存在T(t,u0,v10,v20)∈R,滿足

‖u(t,s;u0,v10,v20)‖∞≤

‖θ[γ,a](t,s;u0)‖∞≤lγ(t),s≤T(t), (29)

其中

由(20)和(21)式知:

‖v1(t,s;u0,v10,v20)‖∞≤

‖ρ1e-(λ1+D+d1)(t-s)φ1(x)‖∞≤|ρ1|=l1(t), (30)

‖v2(t,s;u0,v10,v20)‖∞≤

‖ρ2e-(λ2+d2)(t-s)φ2(x)‖∞≤|ρ2|=l2(t). (31)

這意味著X上的球有半徑

R1(t)=lγ(t)+l1(t)+l2(t),

BX(0,R1(t))是過程S(t,s)的拉回吸收集.

給定I?X有界,定義:對(duì)t1≥s,

h(t1,s)=γu(t1,s;u0,v10,v20)-

a(t1)u2(t1,s;u0,v10,v20)-

(32)

由常數(shù)變異公式得到

u(t,s;u0,v10,v20)=e-A(t-s)u0+

因此,時(shí)間從t-1到t時(shí),有

u(t,s;u0,v10,v20)=e-Au(t-1,s;

因此

|u(t,s;u0,v10,v20)|β=

‖Aβu(t,s;u0,v10,v20)‖∞≤

‖Aβe-A‖op‖u(t-1,s;u0,v10,v20)‖∞+

由估計(jì)[16]

‖Aβe-A(t-t1)‖op≤Cβ(t-t1)-βe-δ(t-t1), (33)

由某些常數(shù)Cβ,δ>0[16],由估計(jì)(29)式知,存在M(t)和T0(t),滿足

|u(t,s;u0,v10,v20)|β≤M(t),

對(duì)所有的s≤T0(t),β<1-,∈(0,1).又由引理3.8知,有

‖u(t,s;u0,v10,v20)‖C1≤

|u(t,s;u0,v10,v20)|β≤R1(I,t),

對(duì)所有的s≤T0(t).類似地，定義對(duì)t1≥s,

h1(t1,s)=

(D+d1)v1(t1,s;u0,v10,v20),

h2(t1,s)=Dv1(t1,s;u0,v10,v20)-

d2v2(t1,s;u0,v10,v20).

(34)

由估計(jì)(30)、(31)、(33)式知,存在M1(t)、M2(t)和T0(t)滿足對(duì)所有的s≤T0(t),β<1-,∈(0,1)有

|v1(t,s;u0,v10,v20)|β≤M1(t),

|v2(t,s;u0,v10,v20)|β≤M2(t).

‖v1(t,s;u0,v10,v20)‖C1≤

|v1(t,s;u0,v10,v20)|β≤R2(I,t),

‖v2(t,s;u0,v10,v20)‖C1≤

|v2(t,s;u0,v10,v20)|β≤R3(I,t).

R1(t)=R1(I,t),R2(t)=R2(I,t),

R3(t)=R3(I,t).

重復(fù)上述結(jié)論,得到對(duì)所有的s≤T1(t),

‖u(t,s;u0,v10,v20)‖C2≤N1(I,t),

‖v1(t,s;u0,v10,v20)‖C2≤N2(I,t),

‖v2(t,s;u0,v10,v20)‖C2≤N3(I,t).

N1(t)=N1(I,t),

N2(t)=N2(I,t),N3(t)=N3(I,t),

令

N(t)=N1(t)+N2(t)+N3(t),

則B(0,N(t))在X上是緊的.

定理3.9過程S(t,s)存在一個(gè)拉回吸引子A(t),特別地,系統(tǒng)(1)至少存在一條完備有界軌線(u*(t),v1*(t),v2*(t)),t∈R.