根“生”才能發(fā)“芽”

胡艷枚 蔡曉

【摘 要】數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，不但要注重知識(shí)的延伸點(diǎn)——“發(fā)芽”，更要挖掘知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”——“生根”，了解知識(shí)的來(lái)龍去脈。

【關(guān)鍵詞】挖掘知識(shí)“生長(zhǎng)點(diǎn)”;滲透數(shù)學(xué)思想;掌握數(shù)學(xué)方法;積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)

筆者在教完七年級(jí)北師大版《數(shù)學(xué)》三角形的三邊關(guān)系后，為學(xué)生布置了三峽學(xué)典《高效課堂作業(yè)》中對(duì)應(yīng)內(nèi)容的能力提升中的一題，研究發(fā)現(xiàn)其解題思想的應(yīng)用相當(dāng)廣泛。因此，筆者在此將其作為一個(gè)引例，并就其幾個(gè)典型的相關(guān)應(yīng)用進(jìn)行說(shuō)明，以饗讀者，并借此起到拋磚引玉的作用。

引例：已知，如圖1，在△ABC中，AC=7cm，三角形的中線AD=5cm，求三角形AB邊的取值范圍。

分析：本題的關(guān)鍵就是要將AB，AC，AD設(shè)法構(gòu)置在一個(gè)三角形中，應(yīng)用三角形的三邊之間的關(guān)系加以解決，因此得到如下解法。

評(píng)注：本題在解決過(guò)程中，用到了已知三角形的中線或中點(diǎn)，延長(zhǎng)中線使所延長(zhǎng)的部分與中線的長(zhǎng)度相等，然后需要連結(jié)相應(yīng)的頂點(diǎn)，根據(jù)SAS構(gòu)造一對(duì)全等三角形。此種方法多應(yīng)用于證明或求解轉(zhuǎn)換三角形邊之間的關(guān)系，我們習(xí)慣將這種方法稱為“倍長(zhǎng)中線法”。此種方法在許多較復(fù)雜的中考幾何題中應(yīng)用廣泛?，F(xiàn)以這種方法作為思維的“生長(zhǎng)點(diǎn)”，為大家列舉幾例，幫助學(xué)生鞏固應(yīng)用此種解題方法，提高解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，以期能為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供一點(diǎn)幫助并與其他讀者共勉。

例1：如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC上一點(diǎn)，ED⊥AB于D，O為BE的中點(diǎn)，連結(jié)OC、OD。

（1）求證：OC=OD;OC⊥OD。

（2）如圖3，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角度α（0°<α<90°），其它條件不變，那么（1）中的結(jié)論還成立嗎？說(shuō)明理由。

分析：本題的切入點(diǎn)是中點(diǎn)的靈活應(yīng)用，中點(diǎn)是本題解題的焦點(diǎn)。所求結(jié)論的兩條線段同時(shí)在等腰直角三角形中出現(xiàn)是本題的歸宿。因此，可借用引例的輔助線作法，將第一問(wèn)證明思路的探究完全類比地應(yīng)用于第二問(wèn)的探究證明之中，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中由特殊到一般的解題思想，但在變換過(guò)程中，數(shù)學(xué)結(jié)論的本質(zhì)卻未發(fā)生變化。

有人得到了一張藏寶圖，上面寫(xiě)道：“在某小島的北部有一棵松樹(shù)、一棵橡樹(shù)和一個(gè)絞架，從絞架走到橡樹(shù)，記住所走的步數(shù)，向右拐直角，走同樣的步數(shù)打個(gè)樁，然后回到絞架;再?gòu)慕g架走到松樹(shù)，記住所走的步數(shù)，向左拐直角，走同樣的步數(shù)再打一個(gè)樁，在兩個(gè)樁正中間挖掘，就可以找到寶藏?！贝巳说叫u后，找到了松樹(shù)和橡樹(shù)，由于年長(zhǎng)日久，絞架已無(wú)任何痕跡，試幫助此人設(shè)計(jì)取寶的方案。如圖8：

實(shí)際上，由例1可知，△BMD為等腰直角三角形，所以點(diǎn)M的位置與點(diǎn)A無(wú)關(guān)，因此，視點(diǎn)B、點(diǎn)D為橡樹(shù)和松樹(shù)所在的位置，點(diǎn)A為絞架的位置，則點(diǎn)M即為藏寶的準(zhǔn)確位置。只需做橡樹(shù)B和松樹(shù)D所在線段的垂直平分線和線段CE的交點(diǎn)即為藏寶地點(diǎn)。

可見(jiàn)，數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)，不但要注重知識(shí)的延伸點(diǎn)——“發(fā)芽”，更要挖掘知識(shí)的“生長(zhǎng)點(diǎn)”——“生根”，了解知識(shí)的來(lái)龍去脈。上述幾個(gè)典型的例題，實(shí)質(zhì)上都是由一個(gè)“荒島探寶”這一數(shù)學(xué)名題延伸而來(lái)。作為數(shù)學(xué)教師，應(yīng)當(dāng)在自己的日常教學(xué)過(guò)程中，有意識(shí)地讓學(xué)生接觸一些初等數(shù)學(xué)名題，這些數(shù)學(xué)名題的基本思想對(duì)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)大有裨益，同時(shí)，可讓學(xué)生體驗(yàn)到解題過(guò)程中，除了落實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能外，還能掌握一些基本的數(shù)學(xué)思想方法，并積累一些基本的數(shù)學(xué)活動(dòng)探索經(jīng)驗(yàn)，會(huì)使學(xué)生終身受益！