人越多，勝率越大

劉金龍

閑暇之余，很多人都喜歡玩益智小游戲，一來可以釋放壓力，二來可以鍛煉邏輯思維能力?？墒窃谕嬗螒虻倪^程中，你是否明白游戲中所包含的那些數(shù)學(xué)知識呢？聽說有的游戲越多人玩，勝率越大，你信嗎？

彈珠玩出新花樣

周末，李強(qiáng)約了陳華去玩彈珠，他倆彈彈珠的技術(shù)不相上下，一直沒分出個(gè)勝負(fù)。二人見面后，正要開始玩彈彈珠游戲。同班同學(xué)徐麗恰巧經(jīng)過，搖頭道：“你們老彈來彈去，真沒意思?！?/p>

李強(qiáng)問：“那你說說怎么玩有意思？”

徐麗說：“要我說啊，今天你們就換一種玩法，進(jìn)行競猜?！?/p>

“怎么玩？”陳華也來了興趣。

徐麗說：“這樣，你們比兜里彈珠的總數(shù)量，誰兜里彈珠的總數(shù)多就算誰輸，就要將兜里所有的彈珠輸給對方。敢不敢比？”

李強(qiáng)和陳華異口同聲地說：“這有什么不敢的！”

徐麗笑笑：“你們可想好了，這可不是技術(shù)比賽，誰的彈珠更多反而輸。你們再好好想一想吧！”

聽徐麗這么一說，李強(qiáng)和陳華二人立馬安靜地思考了起來，畢竟誰也不想輸?shù)糇约憾道锏膹椫椤?/p>

李強(qiáng)想了想，因?yàn)樗恢狸惾A兜里彈珠的數(shù)量，所以他有一半的機(jī)會能贏得游戲。如果自己兜里彈珠的數(shù)量更多，他就會輸給陳華;如果陳華兜里彈珠的數(shù)量更多，他就能贏得比自己的彈珠數(shù)量還要多的彈珠。也就是說，贏的彈珠會更多，游戲?qū)ψ约河欣?/p>

同樣的，陳華也進(jìn)行了設(shè)想：只要自己贏了，就會贏得更多的彈珠，憑技術(shù)彈彈珠的話，自己可不一定能贏得這么多的彈珠，自己不虧。這么看來，他在游戲中是占優(yōu)勢的。

“我想好了，我同意參與游戲！”李強(qiáng)自信地說道。

陳華也趕緊舉手表態(tài)：“游戲?qū)ξ乙灿欣腋覅⒓?！?/p>

“怎么回事，游戲?qū)δ銈冸p方都有利？”徐麗很不解，“這可是個(gè)公平的游戲??！”

李強(qiáng)和陳華也面面相覷，撓撓頭，但又覺得自己的想法似乎沒有錯(cuò)。

游戲最后是要分出勝負(fù)的，所以一個(gè)游戲不可能對雙方都有利。

嚕嚕，我同意你的觀點(diǎn)，我覺得是他們思路出現(xiàn)了問題。

真相大白

其實(shí)，問題就出在李強(qiáng)和陳華二人只以“可以贏更多的彈珠”這點(diǎn)，就做出這個(gè)游戲?qū)ψ约河欣慕Y(jié)論，這顯然是錯(cuò)誤的。游戲?qū)φl有利，應(yīng)該考慮誰可以贏得游戲，而不是以“可以贏更多的彈珠”來進(jìn)行判斷。

因?yàn)橛螒蚴怯尚禧惻R時(shí)提出來的，李強(qiáng)和陳華都不知道對方今天帶了多少彈珠，只知道自己的彈珠數(shù)量，所以這個(gè)游戲是公平的。但是，李強(qiáng)和陳華想的只是贏的彈珠更多，并沒有想自己能有多大概率贏得彈珠。其實(shí)，在條件公平的情況下，這個(gè)游戲并沒有對誰有利，二人贏得游戲的概率是相等的，各占百分之五十。

這么一解釋就清楚了，這樣的游戲沒有對誰更有利嘛，獲勝概率是一半對一半的。

先別太早下結(jié)論，也許多一個(gè)人玩會更有意思了呢。我們一起去看看某公司聯(lián)歡會上的互動游戲吧！精彩繼續(xù)！

三人贏錢包

某大型公司的聯(lián)歡會上有一個(gè)互動游戲，主持人說：“現(xiàn)在需要三個(gè)人上臺參與這個(gè)游戲，等三個(gè)人全部上臺后，我才能宣布游戲規(guī)則。有誰敢來玩這個(gè)未知的游戲？”

臺下一片喧嘩，大家不知道將會玩什么樣的游戲，但未知的挑戰(zhàn)總是讓人覺得很刺激。

“我來！”

“我敢玩！”

…………

大家紛紛踴躍舉手報(bào)名。

后來，來自不同地方的三個(gè)分公司的三位員工上了臺。他們在臺上站定后，主持人宣布了游戲規(guī)則：“你們?nèi)艘謩e用各自錢包里的錢進(jìn)行比賽。錢包里錢最多的人要將自己的錢包交給錢包里錢數(shù)處于中間的人，而錢數(shù)處于中間的人要將自己的錢包交給錢包里錢最少的人，而錢最少的人除了獲得別人的錢，還可以保留自己的錢?！?/p>

臺上的三人立馬開始計(jì)算起來，看看自己到底會失去現(xiàn)有的錢還是能夠得到對方的錢。

甲員工想：若自己的錢最多，他將失去所有的錢;若自己的錢數(shù)處于中間，雖然他要將自己的錢交給錢最少的那個(gè)人，但他可以獲得錢最多的那個(gè)人的錢，相比原來還是賺了;若自己的錢最少，他除了能保留自己的錢，還可以得到錢數(shù)處于中間的那個(gè)人的錢。這么算的話，他有2 3的概率贏錢，而只有1 3的概率輸錢，而且贏得的錢總是會多于自己原本的錢。

乙員工和丙員工也做了同樣的設(shè)想，只要自己不是錢最多的那個(gè)人，自己就不會輸，而且會有2 3的概率贏得比自己原本的錢更多的錢。

哇！怎么聽起來好像真的增加了勝率呢？有意思！

數(shù)學(xué)總是這么有趣，所以說不能輕易下結(jié)論。我們繼續(xù)往下看，聽說增加人數(shù)，游戲更有意思。

增加人數(shù)，勝率提高

等到三位員工游戲結(jié)束后，主持人竟然從人群中隨機(jī)點(diǎn)了另外四個(gè)人上臺，讓他們繼續(xù)進(jìn)行同樣的游戲，規(guī)則依然是：錢包里錢最多的人將自己的錢包交給錢第二多的人;而錢第二多的人將自己的錢包交給錢第三多的人;錢第三多的人將自己的錢包交給錢包里錢最少的那個(gè)人;當(dāng)然，錢最少的那個(gè)人是不用交出自己的錢的。

這四位員工同樣在心里做了計(jì)算：若自己錢包里的錢是最多的，那么將失去現(xiàn)有的錢;若自己錢包里的錢第二多，那么自己將會把現(xiàn)有的錢交給錢第三多的人，而將獲得錢包里錢最多的那個(gè)人的錢;若自己錢包里的錢第三多，那么自己將會把現(xiàn)有的錢交給錢最少的那個(gè)人，而獲得錢第二多的人的錢，得到的錢還是比失去的多;若自己的錢是最少的，那么自己將無條件獲得錢第三多的人的錢。

這樣的話，每個(gè)人贏錢的概率是3 4，而且是能贏得比自己原本的錢更多的錢，而輸錢的概率只有1 4。所以，即使是被隨機(jī)點(diǎn)名，大家也很樂意參與。

多一個(gè)人就增加勝率，這游戲也太好玩了吧！我想知道這是怎么回事。

哈哈，仔細(xì)看看游戲規(guī)則，這是游戲規(guī)則在作怪——輸錢的人只有一個(gè)，而贏錢的人不止一個(gè)。

真相大白

其實(shí)，這個(gè)游戲最初的二人玩法涉及一個(gè)著名的悖論——錢包悖論，它看起來對兩個(gè)人都有利，實(shí)際是對兩個(gè)人都公平的游戲。若增減參與游戲的人數(shù)，游戲規(guī)則如同上述公司里的游戲玩法，結(jié)果是有規(guī)律的，而且是每增加一個(gè)人，所有人的勝率都會增加。

從游戲中得出的結(jié)論就是：若是n個(gè)人參加游戲，那么每個(gè)人輸?shù)母怕时闶? n，而贏的概率則是（1-1 n），人越多，贏的概率便越大?？傊瑹o論多少人玩，只要你不是錢包里錢最多的那個(gè)人，你就會贏得游戲。也就是說，在n個(gè)人當(dāng)中，只有一個(gè)人會輸，其余的（n-1）個(gè)人都是贏家。