初談開展“數(shù)學(xué)寫作”活動(dòng)的實(shí)踐研究與思考

史嘉

【摘?要】?以“數(shù)學(xué)寫作”為抓手開展深度教學(xué)實(shí)踐研究.根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程和層次，把“數(shù)學(xué)寫作”理念下的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)劃分為五類：數(shù)學(xué)現(xiàn)象與問題，數(shù)學(xué)探究與思考，數(shù)學(xué)概念與方法，數(shù)學(xué)解題與應(yīng)用，數(shù)學(xué)反思與拓展.結(jié)合教學(xué)實(shí)踐展開案例分析，總結(jié)實(shí)施策略，反思研究存在的問題.

【關(guān)鍵詞】?核心素養(yǎng);數(shù)學(xué)寫作;深度學(xué)習(xí);案例分析

引?言

研究基于2017版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》主題學(xué)習(xí)和項(xiàng)目學(xué)習(xí)理念，依托安徽省與亳州市兩項(xiàng)課題，重點(diǎn)在日常教學(xué)中開展數(shù)學(xué)寫作活動(dòng)（兼有“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)生社團(tuán)）.本文從數(shù)學(xué)現(xiàn)象與問題、數(shù)學(xué)探究與思考、數(shù)學(xué)概念與方法、數(shù)學(xué)解題與應(yīng)用和數(shù)學(xué)反思與拓展五個(gè)角度結(jié)合教研案例探討開展“數(shù)學(xué)寫作”教學(xué)實(shí)踐的途徑和策略.

1?提出課題

2017年版《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》要求“（數(shù)學(xué)教育）提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)眼光觀察世界，會(huì)用數(shù)學(xué)思維思考世界，會(huì)用數(shù)學(xué)語言表達(dá)世界.”“提倡獨(dú)立思考、自主學(xué)習(xí)、合作交流等多種學(xué)習(xí)方式，”要求以課題研究或主題學(xué)習(xí)的形式進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，撰寫研究報(bào)告或小論文，并作為過程性評(píng)價(jià)的形式之一[1].

在此背景下開展數(shù)學(xué)寫作研究，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的廣泛閱讀和深度理解，鍛煉用數(shù)學(xué)語言精致表述，指導(dǎo)教師調(diào)整教學(xué)策略、改進(jìn)評(píng)價(jià)方式，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等方面提供一個(gè)具有可操作性的研究途徑.

2?研究形式

本研究基于省、市兩級(jí)課題依托課堂教學(xué)和學(xué)生社團(tuán)等多種形式開展實(shí)踐研究，課題研究的目標(biāo)是實(shí)現(xiàn)教師深度的教和學(xué)生深度的學(xué).具體研究框架、研究形式和實(shí)施過程如結(jié)構(gòu)圖1所示.

“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)生社團(tuán)主要是根據(jù)學(xué)校統(tǒng)一安排以講座和活動(dòng)的形式在社團(tuán)內(nèi)開展，同時(shí)配合學(xué)校文化藝術(shù)節(jié)組織數(shù)學(xué)征文、創(chuàng)意設(shè)計(jì)等活動(dòng).而課堂形式則是每周一次，固定在周四下午第四節(jié)課，根據(jù)教學(xué)進(jìn)度，精選一個(gè)主題，先試做后講評(píng)，當(dāng)堂寫作，第二天上交.批閱后，選擇較好的作品復(fù)印展示.

另外，我們會(huì)選擇有新意、有價(jià)值的文章進(jìn)行指導(dǎo)再修改，參加“數(shù)學(xué)寫作”學(xué)校聯(lián)盟和《數(shù)學(xué)通訊》等組織的學(xué)生數(shù)學(xué)小論文競(jìng)賽活動(dòng)，力爭(zhēng)推薦發(fā)表.3?概念界定

本研究的核心概念有數(shù)學(xué)寫作和深度學(xué)習(xí).深度學(xué)習(xí)是研究的指導(dǎo)思想和最終目的，數(shù)學(xué)寫作是實(shí)施研究的主要抓手和切入點(diǎn).

3.1?數(shù)學(xué)寫作

20世紀(jì)60年代的美國(guó)教育界關(guān)注到寫作與學(xué)習(xí)的密切關(guān)系，于是誕生了“貫穿于課程的寫作” （Writing across the Curriculum）運(yùn)動(dòng).90年代后，越來越多的數(shù)學(xué)教師開始在課堂上實(shí)施“通過寫作來學(xué)習(xí)”（Writing-to-learn，簡(jiǎn)稱WTL）的活動(dòng)，他們認(rèn)為寫作是一種極有價(jià)值的工具[2].

在國(guó)內(nèi)，21世紀(jì)初也掀起“數(shù)學(xué)寫作”的熱潮，寫作形式多樣，內(nèi)容豐富.如，劉艷云和黃杏芳的“數(shù)學(xué)日記”，王仲英和曹一鳴的“數(shù)學(xué)周記”，馬岷興和王珊的“數(shù)學(xué)作文”，羅強(qiáng)、劉東升和倉(cāng)萬林的“數(shù)學(xué)小論文”等，都是數(shù)學(xué)寫作的不同形式.

通過梳理國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)，課題組認(rèn)為數(shù)學(xué)寫作是以過程為目標(biāo)的學(xué)習(xí)活動(dòng)，指學(xué)生將對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解、對(duì)解題過程的回顧、對(duì)解題方法的提煉、對(duì)學(xué)習(xí)方法的總結(jié)、對(duì)考試前后的反思等形成文字的一種學(xué)習(xí)過程.

顯然，通過寫作能促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、思想和方法的系統(tǒng)思考、深入理解，并建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò).可見，基于數(shù)學(xué)寫作的學(xué)習(xí)指向數(shù)學(xué)本質(zhì)[3]，具有“元認(rèn)知”的成分.

3.2?深度學(xué)習(xí)

深度學(xué)習(xí)的概念源于人工智能領(lǐng)域，是一種算法思維.1976年，瑞典學(xué)者馬頓和薩爾喬首先提出深層學(xué)習(xí)（Deep Learning）的概念，認(rèn)為學(xué)生學(xué)習(xí)結(jié)果有不同水平，與其在學(xué)習(xí)過程中采取了不同學(xué)習(xí)過程和學(xué)習(xí)策略以及理解和記憶的方法有密切關(guān)系.加拿大學(xué)者艾根領(lǐng)銜的“深度學(xué)習(xí)”（Learning in Depth）項(xiàng)目探討了深度學(xué)習(xí)的方法等[4].

安福海[5]認(rèn)為，深度學(xué)習(xí)是一種基于高階思維發(fā)展的理解性學(xué)習(xí)，具有注重批判理解、強(qiáng)調(diào)內(nèi)容整合、促進(jìn)知識(shí)建構(gòu)、遷移運(yùn)用等特征.

吳永軍說：“在特定的社會(huì)文化情境中，學(xué)習(xí)者在與他人互動(dòng)以及環(huán)境互動(dòng)中，關(guān)注知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，最終能夠遷移并能夠解決實(shí)際生活問題的意義生成的過程[6].”就數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)而言，馬云鵬[7]認(rèn)為，數(shù)學(xué)深度學(xué)習(xí)是基于數(shù)學(xué)學(xué)科核心內(nèi)容，組織學(xué)生在深度探究中發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過程.

本研究認(rèn)為深度學(xué)習(xí)是在理解性學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，學(xué)生能夠批判性地學(xué)習(xí)新知識(shí)、思想和方法，通過檢驗(yàn)將它們?nèi)谌朐姓J(rèn)知體系中，并能在眾多知識(shí)間進(jìn)行聯(lián)系，將知識(shí)遷移到新的情境中作出決策并解決問題的一種學(xué)習(xí)方式和能力.

4?理論依據(jù)

布盧姆將認(rèn)知領(lǐng)域?qū)W習(xí)目標(biāo)分為六個(gè)層次：記憶、理解、應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造.淺層學(xué)習(xí)的認(rèn)知只停留在“記憶、理解”層面，而深度學(xué)習(xí)是一種發(fā)展學(xué)生批判性思維和創(chuàng)造性思維為目的的學(xué)習(xí)，其認(rèn)知?jiǎng)t對(duì)應(yīng)“應(yīng)用、分析、評(píng)價(jià)、創(chuàng)造”四個(gè)高級(jí)認(rèn)知層面，涉及高階思維活動(dòng).

賈德的學(xué)習(xí)遷移理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)遷移是將一個(gè)問題轉(zhuǎn)化或者是將一種關(guān)系轉(zhuǎn)化，遷移的條件是學(xué)生能夠自己概括出一般原理，知識(shí)概括化的水平越高，遷移的范圍和可能性就越大.而深度學(xué)習(xí)的特征之一恰是將所學(xué)知識(shí)和方法等遷移到新的情境中，并作出解決問題的決策.

加涅的信息加工學(xué)習(xí)理論認(rèn)為，學(xué)習(xí)是一個(gè)有始有終的過程，由一系列事件構(gòu)成，每個(gè)學(xué)習(xí)事件可劃分成八個(gè)階段：動(dòng)機(jī)、領(lǐng)會(huì)、習(xí)得、保持、回憶、概括、作業(yè)和反饋階段.元認(rèn)知理論認(rèn)為，元認(rèn)知是一個(gè)人所具有的關(guān)于自己思維活動(dòng)和學(xué)習(xí)活動(dòng)的認(rèn)知與監(jiān)控.維果茨基認(rèn)為，語言與思維之間有著密切關(guān)聯(lián)性，而寫作需要學(xué)生組織內(nèi)部語言，對(duì)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行主動(dòng)建構(gòu)，從而促使其完全理解.

可見，數(shù)學(xué)寫作是作業(yè)階段和反饋階段的一種表現(xiàn)形式，是一個(gè)自我總結(jié)和自主表達(dá)的一個(gè)交流環(huán)節(jié)，是一個(gè)自我反思和自我調(diào)節(jié)的監(jiān)控過程，能清楚的展現(xiàn)學(xué)生的思維過程和掌握情況.

5?案例分析及實(shí)施策略

通過以上分析，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)寫作是促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)的有力手段，是發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效途徑.在深度學(xué)習(xí)的過程中，數(shù)學(xué)寫作發(fā)揮著舉足輕重的作用，引導(dǎo)學(xué)生更好地參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的全過程，如研究數(shù)學(xué)現(xiàn)象，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，查閱相關(guān)資料，探究分析問題，形成概念和方法，獲得問題解決，進(jìn)一步深入反思拓展等等，整個(gè)過程中數(shù)學(xué)問題的準(zhǔn)確表述，思想方法的心理表征，概念定理的精準(zhǔn)表達(dá)，研究方法和成果的清晰提煉，解答問題的過程書寫，反思回顧的概括以及深入拓展的期望等等，都需要數(shù)學(xué)寫作.5.1?數(shù)學(xué)現(xiàn)象與問題

數(shù)學(xué)源于生活，但高于生活，研究數(shù)學(xué)反過來又服務(wù)于生活.在學(xué)習(xí)計(jì)數(shù)原理時(shí)，筆者要求學(xué)生觀察汽車牌照，試著計(jì)算牌照容量.

案例1?車牌的容量問題

以亳州市汽車牌照“皖S·×××××”為例，請(qǐng)了解編號(hào)規(guī)則，并計(jì)算車牌的最大容量.

（2016年第8期《中小學(xué)教學(xué)教材》，作者：高二（33）班）

學(xué)生在此任務(wù)驅(qū)動(dòng)下，學(xué)習(xí)排列組合特別認(rèn)真，查閱汽車牌照編號(hào)規(guī)則：從24個(gè)英文字母、10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字中選出若干個(gè)，并按照適當(dāng)順序排列而成. 從研究報(bào)告看，學(xué)生學(xué)習(xí)非常積極主動(dòng)，有分工有合作，他們不僅了解到相關(guān)汽車牌照編號(hào)規(guī)則、選號(hào)程序及交通規(guī)則，包括“套牌”的危害性，還發(fā)現(xiàn)26個(gè)英文字母中的“I”和“O”是不能編車牌號(hào)的，避免與數(shù)字“1”和“0”混淆.

5.2?數(shù)學(xué)探究與思考

解答數(shù)學(xué)的每一個(gè)問題（包括最終沒有解決問題）都是數(shù)學(xué)探究的過程.事實(shí)上，學(xué)生的內(nèi)心深處都渴望經(jīng)歷研究、探索和發(fā)現(xiàn)的成功過程，我們可利用學(xué)生的這種學(xué)習(xí)心理，提供獨(dú)立思考的機(jī)會(huì)，促使對(duì)數(shù)學(xué)概念的深度理解.

案例2?圓的一般方程

（2013年第4期《高中數(shù)學(xué)教與學(xué)》，作者：朱慶洲）

5.3?數(shù)學(xué)概念與方法

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ).俗話說，概念不牢，地動(dòng)山搖.學(xué)習(xí)概念首先要正面建構(gòu)和闡述，其次是反面雕刻，錯(cuò)例否定更能促使學(xué)生深度理解.尤其是自己在做題時(shí)遇到了問題，正是掌握概念和解題方法的好時(shí)機(jī).

案例3?幾何概型：正逆雙思路，答案兩重天

（2016年第11期《數(shù)學(xué)通訊》，作者：聶英建）

參考答案是正向解法，而聶英建同學(xué)反其道而行之，卻得出了另一個(gè)答案，問題出在哪里？通過回顧幾何概型的概念和同學(xué)們的探究，發(fā)現(xiàn)命題人忽略了幾何概型之“等可能性”的關(guān)鍵點(diǎn).整個(gè)學(xué)習(xí)過程突顯了探究、合作、交流、質(zhì)疑、反思、發(fā)現(xiàn)和表述等，極大地調(diào)動(dòng)了學(xué)生的高階思維活動(dòng).

5.4?數(shù)學(xué)解題與應(yīng)用

解題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要組成部分.章建躍認(rèn)為：通過解題，學(xué)生可以加深概念的理解，深化對(duì)概念聯(lián)系性的認(rèn)識(shí)，優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，訓(xùn)練數(shù)學(xué)思維，提高分析和解決問題的能力.

案例4?群策錯(cuò)位相減法

數(shù)列求和之錯(cuò)位相減法，一看就會(huì)，一用就錯(cuò).請(qǐng)群策錯(cuò)位相減法.

（2016年第3期《新高考》，作者：張宣，許博睿，史亳徽，孫祥）

錯(cuò)位相減法思想源自推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式，該法使用特征明顯，思路簡(jiǎn)單，但奇怪的是大多數(shù)學(xué)生一用就錯(cuò).為此，筆者開展“群策錯(cuò)位相減法”的寫作活動(dòng).通過探索，同學(xué)們八仙過海各顯神通，用文字語言記錄問題解決的過程和想法，通過交流合作學(xué)習(xí)，達(dá)到深度理解、精準(zhǔn)使用、清晰表達(dá)的目的.

5.5?數(shù)學(xué)反思與拓展

數(shù)學(xué)反思是對(duì)學(xué)習(xí)過程的反思、沉淀和提升，是數(shù)學(xué)寫作的基礎(chǔ)，沒有反思就沒有拓展，沒有提煉就沒有寫作.數(shù)學(xué)反思類寫作最適合于章節(jié)復(fù)習(xí)小結(jié)，對(duì)整個(gè)章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行梳理和串聯(lián)，最終實(shí)現(xiàn)深度理解、提綱挈領(lǐng)的目標(biāo).

案例5?秦九韶-海倫公式

閱讀《解三角形》數(shù)學(xué)史料“海倫公式與秦九韶三斜求積公式”，思考兩個(gè)問題：（1）秦九韶求積公式與余弦定理有什么關(guān)系？（2）海倫公式與秦九韶公式有什么關(guān)系？

（2018年第4期《新世紀(jì)智能》，作者：紀(jì)志義）

紀(jì)志義同學(xué)查閱了相關(guān)資料，從初中三角形面積出發(fā)，結(jié)合余弦定理一氣呵成，推出秦九韶公式和海倫公式.難能可貴的是，他能從結(jié)構(gòu)形式辯證的看待兩個(gè)公式，并結(jié)合時(shí)代背景，分析各自的優(yōu)劣.最后給出兩道題目，兩個(gè)公式的優(yōu)點(diǎn)便躍然紙上.

通過分析以上五則案例，我們認(rèn)為“數(shù)學(xué)寫作”是深度學(xué)習(xí)的一個(gè)有效途徑，可以有效監(jiān)控到個(gè)體與問題（或環(huán)境）互動(dòng)以及心理互動(dòng)的過程.具體實(shí)施可以問題驅(qū)動(dòng)或任務(wù)驅(qū)動(dòng)來展開，如課題研究、主題學(xué)習(xí)或項(xiàng)目學(xué)習(xí)（而非拼盤式），但要注意主題的選擇要小而精，有思維量.

6?存在的問題

課題組依托課堂教學(xué)、學(xué)生社團(tuán)、文化藝術(shù)節(jié)等多種形式開展數(shù)學(xué)寫作的實(shí)踐研究，但由于教師和學(xué)生的認(rèn)識(shí)、自身及高考等因素的限制，使得本研究存在諸多問題和不足.

1.雖然課堂數(shù)學(xué)寫作每周開展一次，但個(gè)別學(xué)生還是不理解，不能認(rèn)真對(duì)待，有應(yīng)付現(xiàn)象，認(rèn)為增加了自己的負(fù)擔(dān).相比較普通作業(yè)，確實(shí)增大了寫作量.

2.數(shù)學(xué)寫作極大地增加了教師的作業(yè)批改量和批閱難度，因班級(jí)和學(xué)生人數(shù)較多，致使教師不能很快批完數(shù)學(xué)寫作，反饋問題，交流缺乏及時(shí)性，教研效果大打折扣.

3.社員較分散，活動(dòng)時(shí)間間隔大，部分學(xué)生不能連續(xù)參加，致使研究系統(tǒng)性和連續(xù)性較差.個(gè)別學(xué)生功利心太強(qiáng)，以致數(shù)學(xué)寫作偏離初衷.對(duì)于社團(tuán)征文和課題寫作優(yōu)秀作品，評(píng)選、返修工作量較大，尤其是輸成電子稿，數(shù)學(xué)符號(hào)和繪圖較多，學(xué)生以及個(gè)別教師的信息技術(shù)有待提高.

4.數(shù)學(xué)寫作的目的是促進(jìn)深度學(xué)習(xí)，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，而這些目標(biāo)的達(dá)成不是一朝一夕的事.因此，對(duì)每個(gè)學(xué)生個(gè)體存在著難以客觀、準(zhǔn)確測(cè)量和評(píng)價(jià)的問題.

針對(duì)以上問題，課題組將及時(shí)關(guān)注數(shù)學(xué)寫作、深度學(xué)習(xí)及數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等方面的最新研究成果，謀求高校專家支持，調(diào)整研究方案，優(yōu)化研究方法，擴(kuò)大研究學(xué)生層次，借鑒心理學(xué)測(cè)量表和個(gè)別訪談等方法進(jìn)行測(cè)量和評(píng)估，將數(shù)學(xué)寫作不流于形式，能切實(shí)促進(jìn)教師深度的教和學(xué)生深度的學(xué).

社團(tuán)開展一次“為‘?dāng)?shù)學(xué)寫作設(shè)計(jì)LOGO”活動(dòng)，陳一萍和桑晴晴兩位同學(xué)的設(shè)計(jì)脫穎而出.該標(biāo)志（圖2）整體看酷似一枚銅幣，顧昵稱“瞳瞳”，寓意：用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界.

設(shè)計(jì)糅合中國(guó)古代天圓地方思想和北宋李誡《營(yíng)造法式》中的圓方方圓圖而成，其中圓的半徑與正方形邊長(zhǎng)的比是2.隸書“數(shù)學(xué)寫作”更顯得其古色古香.

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