輕桿雙球模型問題的處理探索

張大洪

(重慶市潼南實驗中學 402660)

一、例題解析

圖1

A.下滑過程中A的機械能守恒

B.當A滑到軌道最低點時,軌道對A的支持力大小為2mg

C.下滑過程中重力對A做功的功率一直增大

圖2

二、總結

1.輕桿雙球模型

輕桿兩端(或兩處)各固定(剛性固定、鉸鏈連接)一個物體，整個系統(tǒng)一起沿斜面運動、繞某點轉動、作一般的平面運動的模型．

2.模型特點

(1)不計桿的質量、大小及運動過程的形變，忽略空氣阻力和各種摩擦；

(2)輕桿雙球模型平動時兩物體線速度相等，繞某點作定軸轉動時兩物體角速度相等；

(3)輕桿雙球模型作一般平面運動時兩物體的速度將滿足關聯(lián)關系即兩端物體的運動速度按效果進行分解，在沿輕桿方向上二物體的分速度必相等；

(4)桿對物體的作用力不總是沿桿的方向；

(5)桿能對各物體做功(正、負)，單個物體機械能不守恒；

(6)對于桿和物體組成的系統(tǒng)，沒有重力以外的外力對系統(tǒng)做功，系統(tǒng)的總機械能守恒.

3.輕桿雙球模型問題的實例分析與處理

圖3

例1 如圖3所示在長為L的硬質輕桿中點A處固定質量為3m的小球，在桿端點B處固定一質量為m的小球，桿可繞無摩擦的軸O轉動；現(xiàn)使桿從水平位置無初速度釋放，求當桿轉到豎直位置的過程中輕桿對A、B兩球分別做了多少功？

點評(1)本類題目易誤認為兩球的線速度相等，還易誤認為單個小球的機械能守恒.

(2)桿對球的作用力方向不再沿著桿，桿對小球B做正功從而使它的機械能增加，同時桿對小球A做負功，使小球A的機械能減少，系統(tǒng)的機械能守恒.

例2(2015·江蘇·14)一轉動裝置如圖4(1)所示,四根輕桿OA、OC、AB和CB與兩小球以及一小環(huán)通過鉸鏈連接，輕桿長均為L，球和環(huán)的質量均為m；輕桿O端固定在豎直的輕質轉軸上，套在轉軸上的輕質彈簧連接在O與小環(huán)之間，輕彈簧原長為L，裝置靜止時彈簧長為3L/2；轉動該裝置并緩慢增大轉速，小環(huán)緩慢上升；彈簧始終在彈性限度內(nèi)，忽略一切摩擦和空氣阻力，重力加速度為g，求 (1)彈簧的勁度系數(shù)k；(2)AB桿中彈力為零時，裝置轉動的角速度ω0；(3)彈簧長度從3L/2緩慢縮短為L/2的過程中，外界對轉動裝置所做的功W.

圖4

點評由鉸鏈連接的二小球，輕桿上的力必沿輕桿方向；處理時必須能準確的對小環(huán)、小球進行受力、狀態(tài)及運動過程的分析，利用物體的平衡、牛頓第二定律、動能定理求解功和能；要明白不同狀態(tài)下的幾何關系與對應角度的三角函數(shù)值的求出；還須注意過程中彈力雖在不斷變化，但由于初、末狀態(tài)形變相等，彈性勢能相等，故此過程彈力做功必為0.

例3 (多選)(2015·全國卷Ⅱ 21題)如圖4所示滑塊a、b的質量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上．a(chǎn)、b通過鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止釋放系統(tǒng)并開始運動．不計摩擦，a、b可視為質點，重力加速度大小為g.則( ).

A．a(chǎn)落地前輕桿對b一直做正功

C．a(chǎn)下落過程中其加速度大小始終不大于g

D．a(chǎn)落地前當a的機械能最小時，b對地面的壓力大小為mg

圖5

圖6

點評(1)剛性輕桿不伸縮，兩滑塊沿桿的分速度相同．(2)由于桿與物體是通過鉸鏈連接故輕桿對物體的作用力必沿桿的方向，輕桿對滑塊a、b都做功，系統(tǒng)機械能守恒．

圖7

例4 (2017江蘇高考，9，4分)(多選)如圖7所示三個小球A、B、C的質量均為m，A與B、C間通過鉸鏈用輕桿連接，輕桿長為L；B、C置于水平地面上，用一輕質彈簧連接，彈簧處于原長；現(xiàn)A由靜止釋放下降到最低點，兩輕桿間夾角α由60°變?yōu)?20°；A、B、C在同一豎直平面內(nèi)運動，彈簧在彈性限度內(nèi)，忽略一切摩擦，重力加速度為g；則此下降過程中( ).

C.彈簧的彈性勢能最大時,A的加速度方向豎直向下

點評本題涉及牛頓第二定律、機械能守恒定律等內(nèi)容.特別是對多物體系統(tǒng)機械能守恒問題,要善于應用機械能轉移表達式ΔE重力勢能的減小=ΔE彈性勢能的增加來分析問題.

4.處理輕桿雙球模型實際問題中的注意

(1)明確輕桿雙球模型的類型，從而確定兩物體的線速度、角速度是否相等，并確定二物體線速度的數(shù)量關系；注意二物體通過輕桿相關聯(lián)時物體速度按效果的分解，抓住沿桿方向二物體的速度相等的關聯(lián)關系；

(2)桿對物體作用力方向不一定沿著桿，分清是剛性固定或鉸鏈連接；

(3)桿對一個物體做正功，使其機械能增加，同時桿對另一物體做負功，使其機械能減少，故單個物體的機械能不守恒，但系統(tǒng)的機械能守恒.