大型百貨商場會員畫像描繪的數(shù)學(xué)模型

唐紀(jì)芳

（四川職業(yè)技術(shù)學(xué)院，四川 遂寧 629000）

一、問題重述

在實體零售行業(yè)中，會員持續(xù)不斷的為零售運營商帶來穩(wěn)定的銷售額與利潤來體現(xiàn)會員自身的價值，也為運營商提供制定策略的數(shù)據(jù)支持。對現(xiàn)有會員的畫像進行完善，加強對現(xiàn)有會員的管理，定期的推送適合的產(chǎn)品和服務(wù)，與會員建立穩(wěn)定的關(guān)系，以使實體零售行業(yè)的發(fā)展更好。

附件(文獻[1]）中的數(shù)據(jù)給出了某大型百貨商場會員的相關(guān)信息：附件1 是會員信息數(shù)據(jù)；附件2 是近幾年的銷售流水表；附件3 是會員消費明細(xì)表；附件4 是商品信息表，一般來說，商品價格越高，盈利越高；附件5 是數(shù)據(jù)字典。請建立數(shù)學(xué)模型解決以下問題：

問題一：對每一位會員的消費情況進行分析，建立能描繪每一位會員的購買力的數(shù)學(xué)模型，以方便能夠?qū)γ课粫T給商場帶來的價值進行評估。

問題二：從非活躍會員轉(zhuǎn)化為活躍會員的可能性稱為激活率，建立數(shù)學(xué)模型后計算出會員的生命周期中的非活躍會員的激活率并從實際的銷售數(shù)據(jù)出發(fā)，確定非活躍會員的激活率和商場促銷活動之間的關(guān)系模型。

問題三：銷售之后再銷售被稱為連帶銷售，而連帶銷售是購物中心經(jīng)營的重心，假如商家將策劃某次促銷活動，怎樣根據(jù)會員的愛好和商品所帶來的連帶率來策劃這次促銷活動。

二、問題分析

問題一：本題要求對比會員與非會員的銷售差異。首先進行數(shù)據(jù)處理，對附件2-銷售流水表的內(nèi)容進行時間分析發(fā)現(xiàn)起止時間是2016 年1月9 日到2017 年9 月23 日，附件3- 會員消費明細(xì)表的時間分析發(fā)現(xiàn)起止時間是2015 年1 月1 日到2018 年1 月3 日，并對附件3 中不含附件1 的其他會員進行篩選，后取附件2 與附件3 的相同時間段（2016 年1 月9 日-2017 年9 月23日）來比較會員在此段時間所購買商品的總金額與非會員購買商品的總金額，并計算出會員與非會員分別所占的比例。

問題二：本題首先對生命周期進行定義，其次對會員的狀態(tài)進行劃分，整理附件1、附件2、附件3 后統(tǒng)計出2015 年上半年到2018 年上半年的生命周期和活躍狀態(tài)，最后對附件3 數(shù)據(jù)分析后建立馬可夫鏈模型[2]來解決會員的生命周期與狀態(tài)劃分。對附件1 和附件3 進行整理定義出促銷時間，最后選出促銷時間，再對附件3 中促銷時間前的會員消費狀態(tài)進行統(tǒng)計，然后對會員的狀態(tài)進行標(biāo)記，統(tǒng)計出激活會員與非活躍會員和流失會員的和，最后建立模型計算出激活率。

問題三：定義連帶銷售，連帶率。分析所有類別的商品銷售數(shù)量，其次分析每個會員購買商品的數(shù)量及金額情況，推算出受大眾喜愛的商品從而決定促銷方案。然后建立連帶率的計算模型。

三、模型假設(shè)

1)題目附件的大型百貨商場的銷售數(shù)據(jù)真實可靠，會員卡號反應(yīng)出的人數(shù)準(zhǔn)確。

2)假設(shè)大量數(shù)據(jù)中舍去或者補充少量部分?jǐn)?shù)據(jù)不影響最后結(jié)果。

3)題中并未給出具體的會員生命周期狀態(tài)規(guī)則，結(jié)合現(xiàn)實和附件數(shù)據(jù)給出較為合理的定義。

4)假設(shè)每個會員卡號僅限本人使用，且商場不會發(fā)生劇烈的變化影響銷售。

四、符號說明

mi：總金額

d:某個時段

Si:第i 半年時間段所在的列

Ki：第i 個會員喜歡的商品連帶率

Mi：第i 個會員購買的商品類別里數(shù)量最多的商品數(shù)量

Zi：第i 個會員購買的所有商品類別的數(shù)量

五、模型建立與求解

問題一

購買力（purchasing power）是指在一定時期內(nèi)用于購買商品的貨幣總額，這個定義中需要考察兩個因素，一個是兩次消費間隔的時間，一個是相同時間的消費金額。因此我們規(guī)定在一定時間內(nèi)，消費金額越高的會員，則購買力越高，相同的消費金額如果消費間隔時間越短，則該會員購買力越高。我們根據(jù)附件3 中會員消費情況，首先考慮會員的性別，年齡因素對商品購買數(shù)量，金額進行統(tǒng)計，結(jié)果如表1。再考慮不同年齡階段和性別對不同類別商品的購買數(shù)量和金額，來反應(yīng)出會員對某類商品的購買力，因此我們建立了一個隨著時間的增加，消費金額的變化而產(chǎn)生變化的購買力的數(shù)學(xué)模型。根據(jù)這個模型得出各會員的購買力情況，購買力越高的會員價值越高。

表1 消費金額情況表

根據(jù)消費金額情況可以建立每一個會員平均消費金額的模型：

利用Excel 軟件挑選出一部分會員的購買情況算出各個會員的平均消費金額來反映購買力見表2.

表2 會員購買力

從表2 可以看出每個會員的購買力不同，數(shù)據(jù)越大時說明該會員在此時間段內(nèi)購買力越大，數(shù)據(jù)為0 時該會員在此時間內(nèi)未購買任何商品。

問題二

會員包含各種類型，反應(yīng)了不同群體的特征和想法。在會員的生命周期中，我們應(yīng)定義更全面的指標(biāo)。

流失會員：有一段時間沒有購買產(chǎn)品，那么我們就視為流失會員，根據(jù)會員購買情況，我們可以把這段時間按360 天劃分。即該會員360 天內(nèi)沒有購買任何產(chǎn)品，就視為流失會員。在上一次購買或者開卡時到流失會員的時間段就是該會員的生命周期。

在生命周期里我們對會員狀態(tài)有以下定義[3]：

非活躍會員：有一段時間沒有購買產(chǎn)品，為了和流失會員區(qū)分開來，需要選擇無交集的時間范圍。比如流失會員是360 天以上沒購買產(chǎn)品，那么非活躍會員則是180 天～360 天沒購買。

活躍會員：一段時間內(nèi)購買過產(chǎn)品，我們以180 天內(nèi)購買產(chǎn)品來劃分。

激活會員：有一段時間沒購買產(chǎn)品，之后突然回來再次購買，則稱為激活會員。激活會員是活躍會員，且是由流失會員或非活躍會員轉(zhuǎn)變而來，即超過180 天沒有購買商品然后又購買商品的會員。

會員購買商品是一個隨機的無后效性的動態(tài)過程，每一個時間段里會員所處的狀態(tài)是隨機的，這一次購買，不能反應(yīng)出下一次是否購買，這次購買下次有一定的概率轉(zhuǎn)移成不購買。同樣，這次不購買，下次有一定的概率轉(zhuǎn)移成購買。也即是說下一個時期的狀態(tài)只取決于本時期的狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率[4]。

會員在生命周期內(nèi)具有活躍、非活躍及流失三種不同的狀態(tài)，設(shè)對特定年齡段的人，現(xiàn)階段活躍下階段保持活躍狀態(tài)的概率為0.5,而現(xiàn)階段非活躍、下階段轉(zhuǎn)為活躍狀態(tài)的概率為0.5，現(xiàn)階段非活躍，下階段轉(zhuǎn)為流失狀態(tài)的概率為0.3，可以建立下面的模型(馬可夫鏈模型)：

初始階段的活躍值與初始狀態(tài)相同，

當(dāng)Si+1=1，(i=0,1,2,…,6）時,該會員在此階段活躍；當(dāng)，(i=0,1,2,…,6）時,該會員在此階段非活躍；

當(dāng)Si+1=0，(i=0,1,2,…,6）時,該會員在此階段為流失。

表3 不同狀態(tài)下的會員人數(shù)

激活率：即從非活躍會員或者流失會員轉(zhuǎn)化為活躍會員的可能性[5]。

促銷時間：對附件1 和附件3 的數(shù)據(jù)做合并處理，算出日平均銷量為307，和日平均購買人數(shù)為290，選出當(dāng)天銷售數(shù)量和購買人數(shù)分別超過2.6 倍和2 倍為促銷時間（見表4）。

表4 促銷時間

再對附件3 中促銷時間前的會員消費狀態(tài)進行統(tǒng)計，若該會員是非活躍狀態(tài)和流失狀態(tài)，則標(biāo)記為0，然后再對促銷時間段這些標(biāo)記為0 的會員進行對比，若該會員變?yōu)榛钴S狀態(tài)則該會員被激活，

也即是Si-Si+1〈0,(i=0,1,2,…，6）

再根據(jù)激活會員的總?cè)藬?shù)與所有非活躍及流失狀態(tài)的會員總?cè)藬?shù)作百分比，該值就是激活率（見表5）。

表5 會員激活情況

2015 年下半年只有一次促銷活動，所以激活率較低為7.9%。2017 上半年有3 次促銷活動，但中途有的促銷活動時間較長，所以激活率最高為38.1%。而2018 年只有一次且僅有一天活動時間，所以激活率最低為0.8%。

將每個階段會員的激活率與其對應(yīng)階段的促銷時間天數(shù)擬合得到下面的函數(shù)及圖形（見圖1），我們通過對數(shù)據(jù)的分析和擬合可以得出結(jié)論：商場促銷活動次數(shù)越多，時間越長，會員的激活率就越高。

圖1 會員激活函數(shù)

問題三

首先我們對連帶消費下一個定義, 顧客單次購買商品的數(shù)量超過1 件,那么超過的商品就是連帶消費的商品。

然后分析了所有類別的商品銷售數(shù)量, 銷售數(shù)量越多, 說明這類商品越受大多數(shù)顧客的喜歡。其次分析每個會員購買商品的數(shù)量及金額情況,同樣購買的數(shù)量越多,消費的金額越高,反應(yīng)了此類商品越受該會員的喜歡。我們結(jié)合兩者來討論促銷方案。

假設(shè)會員主要購買的是其喜歡的商品, 那么他購買的其他商品就是連帶商品,購買的連帶商品越多,則此類商品的連帶率越高。

我們在搞促銷活動時就主要以連帶率高的商品來做促銷活動,從而帶動其他商品的消費。連帶率計算模型:

表6 商品連帶率

選擇連帶率超過60%的商品來做促銷活動，其中有類別編碼為40101，40501，90901，60101，90702 等等，其余見附件7。

六、模型的評價與改進

模型的優(yōu)點：建模能與實際緊密聯(lián)系，結(jié)合實際情況對問題求解，使模型更貼切實際，推廣性較強[6]。模型對數(shù)據(jù)的分析不僅使問題得到了解決，而且還能迅速掌握實驗數(shù)據(jù)的特點，為建立更合適的模型提供了基礎(chǔ)。模型操作簡易，適合大眾應(yīng)用。模型試用與各種數(shù)據(jù)分布，指標(biāo)多少沒有限制，較為靈活，方便。模型可以通過統(tǒng)計方法來對干擾因素加以控制，發(fā)現(xiàn)自變量與因變量之間的關(guān)系。模型復(fù)雜因素較多，不能對其進行全面的考慮，造成與實際有一定的不相符之處，但偏差不是很大。