積累活動經(jīng)驗 探尋數(shù)學(xué)本真 培養(yǎng)學(xué)科素養(yǎng)①
——以一堂《常見向量問題的解決》②研討課為例

張 敏

(江蘇省太倉高級中學(xué) 215411)

1 引言

當(dāng)前，高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)將高中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)確定為數(shù)學(xué)課改的核心問題，如何將基于核心素養(yǎng)的教育教學(xué)改革落到實(shí)處呢？筆者認(rèn)為，在教學(xué)中應(yīng)該揭示數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，探尋數(shù)學(xué)自身內(nèi)涵，欣賞數(shù)學(xué)內(nèi)在之美，使得培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)目標(biāo)得以落實(shí)，為此，還需要廣大數(shù)學(xué)教師的積極參與與教學(xué)實(shí)踐．現(xiàn)結(jié)合一節(jié)研討課的教學(xué)設(shè)計和課堂教學(xué)活動，談?wù)劰P者的感受．

2 課堂實(shí)錄及說明

本節(jié)課使用了“導(dǎo)學(xué)案”將預(yù)復(fù)習(xí)前置．課堂上，氣氛活躍，效果極佳，學(xué)生的自主活動與交流占據(jù)了課堂較多的時間．下面針對這節(jié)課的三個教學(xué)片斷加以分析和反思.

2.1 教學(xué)片斷1

在進(jìn)入課題之初，教師先用實(shí)物投影儀投出學(xué)生的導(dǎo)學(xué)案：

師：課前請同學(xué)們推薦幾道有關(guān)常見向量問題的試題，現(xiàn)在請你說說你所推薦的題，與其他同學(xué)分享，并請說出推薦理由.

(將學(xué)生推薦的題及解答用實(shí)物投影呈現(xiàn)，并請推薦這題的同學(xué)說說推薦理由.)

師：很好，此題將不同的向量用同一組基底統(tǒng)一起來，揭示出平面向量的核心問題，即基底思想，凸顯向量問題的本質(zhì).

生2：我推薦這道題的理由有二：其一，這是一道向量數(shù)量積的最值問題，也是?？嫉膬?nèi)容；其二，本題條件中△ABC是等腰三角形，而且底邊BC長度已知，這樣一來，就便于我們建系設(shè)點(diǎn)，用坐標(biāo)來表示題中的向量了.取BC中點(diǎn)O建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，因為BC=2，所以B(-1，0),C(1，0)，

設(shè)A(0,b),P(x,0),(-1≤x≤1)，

師：(幾何畫板演示)很好！這道向量數(shù)量積的最值問題采用幾何畫板演示，非常直觀.數(shù)量積是高考重要考點(diǎn)之一，采取坐標(biāo)化的方式可將向量的許多問題簡單化.

生3：本題主要考察向量的坐標(biāo)運(yùn)算，同時兼顧到三角函數(shù)的恒等變換，具有一定的綜合性.具體解答如下：

師：很好！這是一道很好的題目，能將向量問題與三角問題綜合一起，體現(xiàn)出數(shù)學(xué)的關(guān)聯(lián).對于此道題，還有沒有其他的想法呢？

師：非常棒！這位同學(xué)能從幾何的角度看待向量問題，正是抓住了向量本身的幾何特性.思維一下子飛躍到另一個層面，值得推薦！

生5：我還有另一種解法.由于向量|a|=1,|b|=2，根據(jù)||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|的性質(zhì)，易得：2-1=||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|=1+2=3，因此|a-b|的取值范圍是[1,3].

師：生3推薦的這道題非常棒，在大家的互相啟發(fā)下，能把一道看似平常的向量題通過不同的角度予以解答，通過此題充分展示出向量的本質(zhì)，凸顯了數(shù)學(xué)的內(nèi)在美.

設(shè)計意圖本環(huán)節(jié)是在梳理完所要復(fù)習(xí)的主要內(nèi)容后的學(xué)生活動，體現(xiàn)了學(xué)生自我學(xué)習(xí)后的“再創(chuàng)造”.教育教學(xué)專家祁平曾說過：“再創(chuàng)造”是一個很有意義的教學(xué)方法.教學(xué)中，教師讓學(xué)生展現(xiàn)自己的原思維過程.這樣的“再創(chuàng)造”展現(xiàn)了數(shù)學(xué)研究是如何從失敗走向成功的過程，充分暴露了教師或?qū)W生思維中的曲折或錯誤的情景，并讓學(xué)生看到改正錯誤、調(diào)整方向的思維過程.這樣的“再創(chuàng)造”能使學(xué)生始終處于積極的狀態(tài)，師生之間的交流是心靈間的交流,學(xué)生的思維容量增加了[1].

2.2 教學(xué)片斷2

在進(jìn)行課前熱身展示后，同學(xué)們也逐漸感受到解決向量常見問題的三條主要途徑即為：基底化、坐標(biāo)化、幾何法.教師順勢用多媒體給出了如下問題.

(學(xué)生獨(dú)立思考，后小組討論，準(zhǔn)備交流展示)

生7：我采取的是坐標(biāo)化處理.因為感覺建系設(shè)點(diǎn)后，再解決向量問題比較方便、簡便.另外由于AD⊥AB，為此我選取以AB,AD為直角坐標(biāo)系的x,y軸.具體解答過程如下：

這道題很好的展示了常見向量問題的解決策略，能很好地起到培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的目的.有沒有同學(xué)遇到類似的向量問題？

所以x+y最大值為2.

師：這是一道很典型的例題，充分體現(xiàn)了向量關(guān)系坐標(biāo)化的特征.那么還有別的建系方式嗎？別的思路呢？班級內(nèi)迅速熱鬧起來，大家討論很熱烈！

再令x+y=t?y=t-x，

代入得到3x2-3tx+(t2-1)=0，

所以Δ=9t2-12(t2-1)≥0?t2≤4?t≤2.

設(shè)計意圖通過此環(huán)節(jié)的活動，教師想讓學(xué)生主動參與課堂的教學(xué)中來，通過學(xué)生的互動與交流，真實(shí)感受到向量關(guān)系的常見處理方式——坐標(biāo)化，同時通過坐標(biāo)化的方式讓向量關(guān)系可視化，直觀形象，也可以讓學(xué)生的思維躍上新的高度，從而讓學(xué)習(xí)在課堂上真實(shí)的發(fā)生.著名數(shù)學(xué)家克萊因曾說過：“數(shù)學(xué)是人類最高超的智力成就，也是人類心靈最獨(dú)特的創(chuàng)作”.從新課程理念與數(shù)學(xué)的本質(zhì)來看，如何發(fā)展學(xué)生的知識、如何發(fā)展學(xué)生的能力和如何發(fā)展學(xué)生的素質(zhì)，對當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)有一定的指導(dǎo)意義[1].教學(xué)中，教師的“再創(chuàng)造”能讓學(xué)生收獲更大.教師要把握時機(jī)，站在學(xué)生的視角，與學(xué)生一起進(jìn)行分析、歸納、抽象、論證，看看是如何進(jìn)行判斷，繞過障礙，走向成功的.這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)能力 、數(shù)學(xué)品質(zhì)的樸素而又科學(xué)的方法.

2.3 教學(xué)片斷3

通過上面學(xué)生提供的好題，讓大家一起感受到基底化、坐標(biāo)化解決向量常見問題的便利，教師再次選取了某位同學(xué)研究的一道題.

例已知a,b是單位向量，且a·b=0，若向量c滿足|c-a-b|=1，則|c|的取值范圍是.

學(xué)生受到上面同學(xué)推薦的好題影響，紛紛采取了或基底化、或坐標(biāo)化的處理，迅速地做出來了.但是也有一位學(xué)生采取了不同的方法.

生10：我覺得上面的兩種方法運(yùn)算都太復(fù)雜，我采取了如下的方法處理：

此刻，班級同學(xué)自發(fā)的對這位同學(xué)投來贊許的目光！

師：在我們的經(jīng)驗中，如果求圓上一動點(diǎn)到一定點(diǎn)的距離，就轉(zhuǎn)化為圓心到頂點(diǎn)的距離+(-)半徑即可得到范圍，這樣就將變量問題轉(zhuǎn)化為定量處理，自然就很輕松解決了.同時通過生10同學(xué)的講解，讓我們領(lǐng)略到幾何法在解決向量問題中的優(yōu)越性.

設(shè)計意圖通過此環(huán)節(jié)的活動，讓我們看到了課堂上的學(xué)生不但會欣賞數(shù)學(xué)，更會評價數(shù)學(xué)了.課堂的評價要以學(xué)生的發(fā)展為導(dǎo)向，以師生的共同成長為目的.知識、美德、交往和發(fā)展是課堂評價要涉及的重要方面，評價它們的核心就是要體現(xiàn)人的存在，以人為本的價值取向.本環(huán)節(jié)，我們不但看到了學(xué)生對于“好題”的遴選標(biāo)準(zhǔn)，更看到了課堂的意義和價值就在于發(fā)展，從狹義上講是學(xué)生的發(fā)展，但從廣義上講也包括教師的發(fā)展.[2]教師的任務(wù)是如何指導(dǎo)學(xué)生的發(fā)展，學(xué)生的任務(wù)是在教師的指導(dǎo)下怎樣實(shí)現(xiàn)自我的發(fā)展，歸根結(jié)底是學(xué)生怎樣才能發(fā)展，所以“發(fā)展”成為課堂的價值所在.

3 教學(xué)回顧與感悟

回顧這節(jié)課的三個教學(xué)片段，均展示出一番精彩的學(xué)生活動，積累了基本活動經(jīng)驗，探尋向量的內(nèi)在本真，在解題中滲透數(shù)學(xué)基本思想方法，體現(xiàn)了思維教學(xué)的魅力.雖然是一堂向量的復(fù)習(xí)課，但給人的感覺是更加突出學(xué)生的思辨、探究能力，為使學(xué)生能更加貼近數(shù)學(xué)本真，設(shè)計學(xué)生的學(xué)習(xí)過程，借助一定的教學(xué)環(huán)境進(jìn)行自我建構(gòu)、自我成長、自我發(fā)展、自我提升，通過師生互動、生生互動等多種學(xué)習(xí)方式，突出了學(xué)生的主體性、參與性和課堂延展性，課堂活動自然達(dá)到預(yù)期的效果.事后想來，感受頗多.

3.1 積累活動經(jīng)驗，奠定教學(xué)基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是什么？數(shù)學(xué)教育專家和一線數(shù)學(xué)教師提出許多的看法.仲秀英教授認(rèn)為：學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗可以理解為學(xué)生從經(jīng)歷的數(shù)學(xué)活動中獲得的感受、體驗、領(lǐng)悟以及由此獲得的數(shù)學(xué)知識、技能、情感與觀念等內(nèi)容組成的有機(jī)組合性經(jīng)驗[3].而張奠宙先生等認(rèn)為：數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是在數(shù)學(xué)目標(biāo)指引下，通過對具體事物進(jìn)行實(shí)際操作、考察和思考，從感性向理性飛躍時所形成的認(rèn)識[4].王新民等認(rèn)為：“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是指學(xué)習(xí)者在參與數(shù)學(xué)活動的過程中所形成的感性知識、情緒體驗和應(yīng)用意識．”并把演繹活動經(jīng)驗和歸納活動經(jīng)驗稱為數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗[5]．

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗有助于學(xué)生數(shù)學(xué)活動的探究、數(shù)學(xué)思想方法的領(lǐng)悟、數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.積累充足的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是學(xué)好數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ).課堂是教學(xué)的主陣地，教師是學(xué)生的引領(lǐng)人.在數(shù)學(xué)教學(xué)中促進(jìn)并落實(shí)學(xué)生基本活動經(jīng)驗的積累，教師應(yīng)著眼以下方面：

在數(shù)學(xué)化過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.數(shù)學(xué)課的引入往往是通過情景化的方式，從中引出數(shù)學(xué)問題，可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)由具體到抽象的過程，由此，學(xué)生不但可以得知數(shù)學(xué)產(chǎn)物的來歷，更可掌握數(shù)學(xué)的獨(dú)特思維和語言運(yùn)用模式，體會數(shù)學(xué)與生活是密不可分的，從而積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗．本節(jié)課由于是復(fù)習(xí)課，所以引入采取三個實(shí)例，讓大家感受常見向量的問題解決有哪些途徑，使學(xué)生較快進(jìn)入主題研究，從而提高課堂效率.

在問題解決過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.在問題解決過程中，學(xué)生要根據(jù)問題條件和已有知識，主動運(yùn)用相關(guān)數(shù)學(xué)知識和方法來解釋或解決問題，尤其是遇到一個新的情境問題，該如何思考？有哪些策略可以選擇？此時數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的提取和遷移得以體現(xiàn)．本節(jié)課中，在向量常見問題的解決過程中，選擇基底化、坐標(biāo)化還是幾何法？三個教學(xué)片段的選取，恰好利用條件的特殊性，分別采取基底化、坐標(biāo)化、幾何法的方法處理最為優(yōu)化.其意圖就是使學(xué)生學(xué)會在問題解決中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

在反思的過程中積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗.弗賴登塔爾指出：“反思是重要的數(shù)學(xué)活動，它是數(shù)學(xué)活動的核心和動力”[6]．反思不僅可以幫助學(xué)生形成對知識和方法的整體性認(rèn)識，同時反思的過程也是數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗內(nèi)化的過程．“學(xué)生經(jīng)歷或參與了數(shù)學(xué)活動并不是就能自動地獲得充足的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，它還需要學(xué)生主動地對活動過程進(jìn)行反思、總結(jié)和交流，及時概括所獲得的經(jīng)驗，使已得經(jīng)驗條理化和系統(tǒng)化.”[3]本案例中，我們通過三個教學(xué)片段的欣賞，初步了解常見向量問題的解決策略，有助于大家對向量本質(zhì)的進(jìn)一步認(rèn)識與思考.

3.2 探尋數(shù)學(xué)本真，追求優(yōu)化創(chuàng)新

《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗)》指出：“形式化是數(shù)學(xué)的本質(zhì)特征之一，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)習(xí)形式化的表達(dá)是一項基本要求，但不能只限于形式化的表達(dá)，要強(qiáng)調(diào)對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識，否則會將生動活潑的數(shù)學(xué)本質(zhì)淹沒在形式化的海洋里.”因此，數(shù)學(xué)教學(xué)要整合內(nèi)容，凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)，滲透數(shù)學(xué)文化，弘揚(yáng)理性精神，讓學(xué)生有充足的時間去思考、探究、感悟、評價、創(chuàng)造；數(shù)學(xué)教學(xué)切實(shí)做到在數(shù)學(xué)形式化的基礎(chǔ)上更加注重數(shù)學(xué)本質(zhì)化的認(rèn)識，形式化的表達(dá)要為揭示數(shù)學(xué)的本質(zhì)服務(wù)；數(shù)學(xué)教育要充滿數(shù)學(xué)的研究“味道”.本節(jié)課就是在構(gòu)建簡約的數(shù)學(xué)本真課堂中做出有益的嘗試與探索，課堂教學(xué)過程的簡約，摒棄浮躁、華而不實(shí)的課堂教學(xué)形式.數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該返璞歸真:運(yùn)用簡單的教學(xué)模式、設(shè)計簡潔的教學(xué)情境、約定簡明的教學(xué)內(nèi)容、使用簡練的教學(xué)語言，追求自然、真實(shí)、樸素的常態(tài)教學(xué)，使“常態(tài)”的課堂簡約而不簡單.本節(jié)課中通過三類不同的題型展示了常見向量問題的解決策略，通過三種不同形式深刻探尋到向量的本真：基底化、數(shù)量化、幾何化.

3.3 強(qiáng)化批判思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

批判思維是指對自己或別人的觀點(diǎn)提出質(zhì)疑、進(jìn)行反思、經(jīng)過驗證和不斷分析的過程.質(zhì)疑者通過運(yùn)用思維能力對自己或他人的思考施加壓力，進(jìn)而提高思考的質(zhì)量.而數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)六大方面的達(dá)成都需要學(xué)生具備獨(dú)立思考和批判性思維的能力.為此，本節(jié)課圍繞此目標(biāo)，重點(diǎn)做了以下幾方面工作：

一是鼓勵質(zhì)疑，尊重個性.有心理學(xué)家研究證明，大部分的人會隨著年齡的增長與社會思維達(dá)成共性，這就是我國創(chuàng)新能力停滯不前的重要原因之一.學(xué)生的世界里充滿著好奇與質(zhì)疑，他們會大膽猜想客觀規(guī)律，勇敢面對艱難挑戰(zhàn).本節(jié)課中，通過學(xué)生推薦“好題”，教師積極鼓勵學(xué)生發(fā)出質(zhì)疑之聲，運(yùn)用批判性思維，讓學(xué)生釋放自己的天性.本案例中，常見向量問題的解決策略就是要鼓勵學(xué)生在質(zhì)疑和批判中選擇恰當(dāng)?shù)奶幚韱栴}的辦法.

二是多元思考，克服定勢.固定單一的課堂模式和認(rèn)知過程已不能適應(yīng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，本案例中，向量的思考維度可以多樣化，教師鼓勵學(xué)生用不同的表現(xiàn)形式開展學(xué)習(xí)，或自我學(xué)習(xí)，或小組交流，或精彩展示，學(xué)生從各個角度各個方面思考數(shù)學(xué)問題，做到思考多元化，消除從前的固定單一的思維模式.

三是開展實(shí)驗，主動探究.開展實(shí)驗是指在整個教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生把書本知識運(yùn)用于實(shí)踐，同時學(xué)生親身體驗探究學(xué)習(xí)的教學(xué)環(huán)節(jié).探究教學(xué)的核心價值是數(shù)學(xué)文化的重要體現(xiàn)，科學(xué)理解數(shù)學(xué)探究教學(xué)的核心價值，并形成課堂教學(xué)的一種文化，才能對歷史負(fù)責(zé)，才能有面向未來的數(shù)學(xué)教學(xué).[7]本案例中，教師鼓勵學(xué)生在不同的思維中開展實(shí)驗研究，通過開展實(shí)驗，對學(xué)習(xí)的內(nèi)容、形式和結(jié)果進(jìn)行優(yōu)劣、是非評判，所表現(xiàn)出來的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)摹⒕唧w的、有科學(xué)可信度的思維，從而學(xué)生主動探索解決向量問題的能力會大大提高，同時也提升了數(shù)學(xué)素養(yǎng).

4 結(jié)束語

國學(xué)大師王國維在《人間詞話》中說：“詩人對人生須入乎其內(nèi)，又須出乎其外.入乎其內(nèi)，故能寫之；出乎其外，故能觀之”.的確，一個數(shù)學(xué)概念，一種數(shù)學(xué)思想，都可以從內(nèi)外兩種角度進(jìn)行觀察.數(shù)學(xué)教學(xué)，多半使用某些情境引入，設(shè)置適合的課堂活動，積累基本活動經(jīng)驗，講究邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，以步步推進(jìn)的方式尋求數(shù)學(xué)知識的產(chǎn)生過程.這就是“入乎其內(nèi)”.另一方面，數(shù)學(xué)有其自身的體系，文化的淵源，歷史的足跡，美學(xué)的構(gòu)建，整體的壯麗.這需要跳出來，然后“觀之”，才能觀察到數(shù)學(xué)的人文價值和理性精神，體驗到數(shù)學(xué)的本真，從而使得對數(shù)學(xué)的理解從直觀想象到內(nèi)在邏輯推理.只要我們走在正確的課改道路上，在數(shù)學(xué)課堂上不斷積累基本活動經(jīng)驗，探尋數(shù)學(xué)內(nèi)在本質(zhì)，感受數(shù)學(xué)魅力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，那么我們的實(shí)踐就會更有意義，更有高度，更有力量.