多股票組合有效前沿的確定
——利用Excel求解

(廣西大學(xué)商學(xué)院 廣西 南寧 530000)

一、引言

馬科維茨投資組合理論模型也稱為馬科維茨的均值-方差組合模型(Markowitz Mean-Variance Model),該理論模型為分散資產(chǎn)提供理論依據(jù)，使人們?cè)诶碚撋蠈?duì)分散資產(chǎn)可以有效降低風(fēng)險(xiǎn)形成系統(tǒng)化的認(rèn)識(shí)，并且該理論模型已廣泛應(yīng)用到各資產(chǎn)類型的投資組合最優(yōu)配置分析活動(dòng)中。在實(shí)際應(yīng)用中，馬科維茨投資組合理論也存在一定的局限性。技術(shù)方面，馬科維茨投資組合模型需要大量的基本數(shù)據(jù)，并且由于模型的運(yùn)用過程中所需要用到的協(xié)方差矩陣的計(jì)算工具多、計(jì)算量過大,導(dǎo)致期望的估計(jì)值存在誤差，會(huì)使得模型求解存在一些不穩(wěn)定性，雖然如此，但在發(fā)達(dá)的金融市場(chǎng)中，該模型已被證明是行之有效的，馬科維茨投資組合理論在資產(chǎn)投資組合理論中仍占據(jù)重要位置?，F(xiàn)本文以2001年到2016年189個(gè)月股票市場(chǎng)中的任意具有相關(guān)關(guān)系或無相關(guān)關(guān)系的10支股票的交易數(shù)據(jù)來分析了解多個(gè)股票如何進(jìn)行有效組合,計(jì)算出各股票在達(dá)到最佳組合時(shí)所占的比例，以求得到更具普遍性和廣泛性的結(jié)論。

二、股票組合有效前沿的研究背景

美國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家Markowitz于1952年發(fā)表《投資組合的選擇》，標(biāo)志著金融學(xué)的“大爆炸”開始產(chǎn)生，他將數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法應(yīng)用于資產(chǎn)組合選擇的研究中，Markowitz的理論也被譽(yù)為“20世紀(jì)華爾街的第一次革命”!國(guó)外特別是發(fā)達(dá)國(guó)家股票市場(chǎng)發(fā)展相對(duì)成熟，在投資組合研究方面出現(xiàn)了不少學(xué)術(shù)大亨及豐富的研究成果，其研究可追溯到二十世紀(jì)五六十年代，研究方法方面：如Tobin(1958)提出的“二基金分離定理”；Hicks(1962)的“組合投資的純理論”;Wiliam.F.Sharpe(1963)的“單一指數(shù)模型”；Sharpe(1964)、Mossin(1966)等人提出各自的資本資產(chǎn)定價(jià)模型(CAPM)等理論極大地豐富了投資組合的研究領(lǐng)域。應(yīng)用范圍方面：Branson(1968)利用馬科維茨—托賓資產(chǎn)選擇模型來研究本國(guó)與國(guó)外資產(chǎn)配置問題；Lakonishok等人(1997)將股票分為價(jià)值型和成長(zhǎng)型投資組合，分別研究了這兩種投資組合的業(yè)績(jī)表現(xiàn)。投資組合不僅不應(yīng)用于資本市場(chǎng)中的股票、證券等產(chǎn)品,還可應(yīng)用到貨幣市場(chǎng)、黃金市場(chǎng)、房地產(chǎn)市場(chǎng)等投資市場(chǎng)，Harris C.Friedman(1971)將與投資組合理論應(yīng)用于房地產(chǎn)中，研究結(jié)果表明，所建立的選擇普通股組合的模型可適用于房地產(chǎn)投資組合的選擇。

國(guó)內(nèi)對(duì)股票組合的研究始于1990年，相比國(guó)外而言起步很晚，到2000年才逐漸利用有效前沿方法來研究股票組合。近年來國(guó)內(nèi)股票市場(chǎng)呈現(xiàn)出起步晚，發(fā)展迅速的態(tài)勢(shì)，用了20多年的時(shí)間走過了西方國(guó)家200多年的歷程，但快速發(fā)展的同時(shí)也帶來不少問題，其中之一就是對(duì)股票市場(chǎng)的整體性學(xué)術(shù)研究匱乏。在CNKI中以股票組合有效前沿為主題進(jìn)行檢索，并對(duì)檢索結(jié)果進(jìn)行計(jì)量可視化分析，從總體發(fā)文量趨勢(shì)結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，國(guó)內(nèi)對(duì)股票組合有效前沿的研究比較少而且研究熱情也不穩(wěn)定。從檢索文獻(xiàn)內(nèi)容來看，研究主要集中在應(yīng)用Markowitz均值-方差組合模型和CVaR條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值約束下的均值-方差組合模型來對(duì)股票投資組合選擇進(jìn)行分析，可見，目前我國(guó)的研究主要是借鑒發(fā)達(dá)國(guó)家的經(jīng)驗(yàn)方法。在理論上對(duì)股票市場(chǎng)進(jìn)行研究，不管是對(duì)投資者還是管理者都有利于加深對(duì)股票市場(chǎng)的認(rèn)知，投資者還可以規(guī)避不必要的風(fēng)險(xiǎn)。因此說國(guó)內(nèi)對(duì)股票市場(chǎng)的研究還有待進(jìn)一步提高。

圖1 股票組合有效前沿發(fā)文量的總體趨勢(shì)和關(guān)鍵詞共現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)圖

三、樣本確定及參數(shù)說明

(一)樣本確定及參數(shù)選擇

每個(gè)股民都有自己的喜好、偏好，因此本文選擇任意股票市場(chǎng)中不能直接判斷他們之間有無相關(guān)關(guān)系的10支股票(s1，s2……s10)的每個(gè)月的收盤價(jià)(pit，i=1,2……10;t=1,2……N;N為樣本時(shí)限內(nèi)月份數(shù),這里N=189)作為研究對(duì)象。股票的選取覆蓋了地產(chǎn)、商業(yè)、建筑業(yè)、工業(yè)等多個(gè)行業(yè)，綜合了多個(gè)方面選取了10支股票(詳見表1),因其涉及范圍廣及無目的性的選擇使結(jié)論更具普遍性。綜合上文對(duì)股票組合有效前沿的背景分析，本文選擇時(shí)間范圍是從2001年1月到2016年11月共189個(gè)月。數(shù)據(jù)來源：通達(dá)信數(shù)據(jù)庫。

表1 10支股票詳情

四、過程計(jì)算與結(jié)果分析

(一)過程計(jì)算

1.基礎(chǔ)計(jì)算

(1)模型中用到的其中一個(gè)參數(shù)是無風(fēng)險(xiǎn)收益率rf,根據(jù)我國(guó)當(dāng)前金融市場(chǎng)的實(shí)際情況,將一年期定期儲(chǔ)蓄存款利率1.75%折算成無風(fēng)險(xiǎn)月收益率,即rf=1.75%÷12≈ 0.15%。

(2)第i支股票在第t月的收益率為下一期的收盤價(jià)減當(dāng)期收盤價(jià)除以當(dāng)期收盤價(jià)，公式為rit=pit+1/pit-1(t=1，2，…，N；i=1，2，…，10;N=188)，pit表示第 i 支股票在第 t 月的收盤價(jià)。此步驟結(jié)束后t=1，2，…，N-1。

(二)有效前沿曲線圖的繪制

(3)繪制前沿曲線:前沿組合1為(σx，Ex)，前沿組合2為(σy，Ey)，計(jì)算兩個(gè)前沿組合在不同投資比例下，如-30%……0，10%……60%，組合的期望收益和標(biāo)準(zhǔn)差，以此繪制前沿曲線。

(4)繪制資本市場(chǎng)線：令c=rf，通過1.2的1)和2)步驟可計(jì)算得出市場(chǎng)組合的期望收益Ep、標(biāo)準(zhǔn)差σp和投資比例矩陣p。無風(fēng)險(xiǎn)股票(0,rf)和市場(chǎng)組合(σp，Ep)之間的連線，即資本市場(chǎng)線。得到的無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)及市場(chǎng)組合的標(biāo)準(zhǔn)差及期望值分別是：無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的標(biāo)準(zhǔn)差等于0，期望收益等于0.0015；市場(chǎng)組合的標(biāo)準(zhǔn)差等于0.0954，期望收益等于0.0156。

最后由3)的結(jié)果繪制前沿曲線圖，由4)中(0,0.0015)和(0.0954,0.0156)這兩點(diǎn)繪制資本市場(chǎng)線，結(jié)果如圖2：

圖2 有效前沿曲線及資本市場(chǎng)線

在滿足相同風(fēng)險(xiǎn)水平下，投資者選擇最大收益率的組合；對(duì)于相同預(yù)期收益率下，投資者選擇風(fēng)險(xiǎn)最小的組合這兩個(gè)條件的投資組合集稱為有效前沿。綠色直線的下部分為無效投資部分，就是說投資者在同一風(fēng)險(xiǎn)下會(huì)選擇高收益的組合，所以投資者不會(huì)選擇綠色直線的下部分無效率的藍(lán)色曲線，因此上半部分的藍(lán)色曲線為有效前沿曲線，紅色直線及其延伸是資本市場(chǎng)線。兩條線相交于(0.0954,0.0156)點(diǎn)。

(三)結(jié)果分析

投資者關(guān)心投資收益率，也關(guān)心投資風(fēng)險(xiǎn)，有效前沿曲線描繪了投資組合的風(fēng)險(xiǎn)與收益的最優(yōu)配置。M是資本市場(chǎng)線與有效前沿曲線的切點(diǎn)組合,與此同時(shí)也是市場(chǎng)組合，M點(diǎn)坐標(biāo)為(0.0954,0.0156),在此點(diǎn)上本文中選擇的十個(gè)股票的最優(yōu)組合投資比例為(0.424717,-0.10671，0.197821，-0.05167，-0.01455，0.079364，0.086014，0.319436，0.165343，-0.09977)(記為p，負(fù)值表示可賣空)，也就是說在房地產(chǎn)-萬科、銀行-平安銀行、石油-華錦股份、煤炭-冀中能源、旅游-華僑城、酒店-華天酒店、建筑-神州長(zhǎng)城、建材-金圓股份、環(huán)保-南華生物、鋼鐵-鞍鋼股份這十支股票中，投資者以投資比例p 的組合形式來對(duì)這十支股票進(jìn)行分資投資，以獲取最大收益或最小風(fēng)險(xiǎn)。從結(jié)果中也可以發(fā)現(xiàn)，最優(yōu)組合的投資比例與市場(chǎng)組合的投資比例完全一致，進(jìn)一步印證了在市場(chǎng)處于均衡狀態(tài)時(shí)，最優(yōu)組合等于市場(chǎng)組合。

五、結(jié)論總結(jié)

股票投資組合是為了減小風(fēng)險(xiǎn)而對(duì)各股票進(jìn)行合理搭配。投資者熟知“雞蛋不能放在一個(gè)籃子里”的風(fēng)險(xiǎn)觀念，因此采取分散投資的方法，將資金合理的分散投入若干股票以此來規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。不同投資者對(duì)股票有不同的喜好，本文簡(jiǎn)單介紹了面對(duì)多個(gè)股票時(shí)如何利用Excel軟件進(jìn)行最優(yōu)的資產(chǎn)配置的探究分析，在綜合多個(gè)市場(chǎng)選取了10支股票作為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，應(yīng)用馬科維茨投資組合模型方法，計(jì)算出這10支股票的最優(yōu)組合投資比例，并且印證了在市場(chǎng)處于均衡狀態(tài)時(shí)，最優(yōu)組合等于市場(chǎng)組合的結(jié)論。不足之處在于未能分析股票個(gè)數(shù)與風(fēng)險(xiǎn)之間的關(guān)系，未能確定最優(yōu)組合的股票個(gè)數(shù)。

【注釋】

①需要數(shù)據(jù)結(jié)果請(qǐng)聯(lián)系作者。

②Excel中MMULT函數(shù)返回兩數(shù)組矩陣乘積，MINVERSE函數(shù)返回?cái)?shù)組的矩陣的逆矩陣。注意的一點(diǎn)是必須同時(shí)按Ctrl+Shift+Enter才會(huì)出準(zhǔn)確的結(jié)果。