分?jǐn)?shù)階廣義S變換(FRGST)

(成都理工大學(xué) 四川 成都 621000)

一、分?jǐn)?shù)階傅里葉變換的基本定義

信號(hào)x(t)的α階分?jǐn)?shù)階廣義S變換(FRGST)被定義為(胥德平，2012)：

(1)

其中Kα(t,u)是分?jǐn)?shù)階變換核；高斯窗g(t-τ,u)是關(guān)于時(shí)間t和分?jǐn)?shù)階頻率u的函數(shù)：

(2)

(3)

通過(guò)上式，我們不難得出

(4)

這充分體現(xiàn)了信號(hào)的分?jǐn)?shù)階廣義S變換和相對(duì)應(yīng)的分?jǐn)?shù)階Fourier變換之間的關(guān)系。下面簡(jiǎn)單介紹式(1)的算法實(shí)現(xiàn)過(guò)程：

①輸入離散化的信號(hào)x(t)及分?jǐn)?shù)階α和時(shí)窗調(diào)節(jié)因子λ,p；

②離散平移的時(shí)間序列τ，對(duì)于每一個(gè)給定的τ，依次計(jì)算信號(hào)與高斯函數(shù)的乘積x(t)g(t-τ,u)；此時(shí)信號(hào)在時(shí)刻τ處的瞬時(shí)頻率可由式(13)得出；

③依次對(duì)乘積c，使用快速分?jǐn)?shù)階Fourier變換算法(H.M.Ozaktas,1996)進(jìn)行分?jǐn)?shù)階Fourier變換，得到信號(hào)在時(shí)刻τ處對(duì)應(yīng)的頻譜。

二、理論信號(hào)分析

為了研究分?jǐn)?shù)階廣義S變換對(duì)非線性非平穩(wěn)信號(hào)的時(shí)變信息，故在本節(jié)中設(shè)置了包含不同頻率成分的理論信號(hào)來(lái)測(cè)試效果。

(一)合成信號(hào)

首先對(duì)合成信號(hào)進(jìn)行測(cè)試，如下：

sig1=chirp(t,50,1,250);
sig2=cos(2·π·(100t+150t2));
sig=sig1+sig2

(5)

圖1 合成信號(hào)

效果如圖1所示，分?jǐn)?shù)階廣義S變換對(duì)各個(gè)信號(hào)的各頻率分量得到準(zhǔn)確識(shí)別，并且的到準(zhǔn)確的時(shí)變特征。

(二)模擬地震信號(hào)

在忽略各種其他信號(hào)的能量衰減和干擾信號(hào)的條件下，地震反射波記錄可看作地震子波與地震反射系數(shù)的褶積的結(jié)果，本節(jié)用雷克子波模型：

RicWave=[1-2(πfmt)2]e(-(πfmt)2)

(6)

這里fm為子波的主頻率，這里取80Hz，圖2(a)為設(shè)置的5個(gè)反射系數(shù)，每個(gè)反射系數(shù)值代表一個(gè)地層界面，圖2(b)為模擬地震信號(hào)的時(shí)域波形圖。

圖2(a)反射系數(shù)模型

圖2(b)模擬地震信號(hào)

圖3為分?jǐn)?shù)階廣義S變換的時(shí)頻分析結(jié)果，能看出其在時(shí)間分辨率上有所提升，能更準(zhǔn)確地反映反射地層的位置。

圖3 模擬地震信號(hào)

三、結(jié)論

本文對(duì)廣義S在線性時(shí)頻分析方法中可以看到其較明顯的優(yōu)勢(shì)，將其概念擴(kuò)展延伸至分?jǐn)?shù)階領(lǐng)域，得到了一種新的分?jǐn)?shù)域時(shí)頻分析方法。將廣義S變換思想帶入分?jǐn)?shù)域時(shí)頻分析中。本文將分?jǐn)?shù)階廣義S 變換應(yīng)用合成信號(hào)和地震模擬信號(hào)中，可以看到方法結(jié)果都具有很好的時(shí)間分辨率，有利于提高時(shí)頻分析的準(zhǔn)確性。