非結(jié)合代數(shù)的嵌入定理*

李 羽

（惠州學院 數(shù)學與大數(shù)據(jù)學院，廣東 惠州 516007）

Higman,B.H.Neumann和H.Neumann[1]證明了每一個可數(shù)群都可嵌入到一個二元生成的群. Malcev[2]證明了每一個可數(shù)生成的結(jié)合代數(shù)可以嵌入到二元生成的結(jié)合代數(shù). Shirshov[3]和Evans[4]分別證明了李代數(shù)和半群的相似結(jié)果. Neumann證明了每一個非結(jié)合代數(shù)都可以嵌入到一個非結(jié)合可除代數(shù), 使得任意方程=,=,≠0在后者中有解. 任何可除代數(shù)都是單的. Cohn[5]證明了每一個不帶零因子的結(jié)合環(huán)都可以嵌入到一個不帶零因子的單結(jié)合環(huán)中使得任意方程-=,≠0在后者中有解. Skornyakov[6]證明了每一個沒有零因子的非結(jié)合代數(shù)都可以嵌入到一個沒有因子的非結(jié)合除代數(shù)中. Ivanov[7, 8]證明了Ω-代數(shù)的相同結(jié)果. Cohn[5]證明了每一個李代數(shù)都可以嵌入到一個可除李代數(shù)中. Shutov[9]和Bokut[10]證明了每一個半群都可以嵌入到一個單半群, Bokut[11]證明了每一個結(jié)合代數(shù)都可以嵌入到一個單結(jié)合代數(shù), 從而使得任何方程=,≠0在后者中都是可解的. Bokut[12, 13]證明了每一個李（非結(jié)合, 可交換, 反交換）代數(shù)可以嵌入代數(shù)閉（特別地, 單的）李（非結(jié)合, 交換, 反交換）代數(shù)中, 使得系數(shù)在中的任意方程(,…,)=0在中有解(上的方程是與相應(yīng)自由代數(shù)()的自由積的一個元素).

Bokut在[11, 14, 15]中證明了任何結(jié)合(李)代數(shù)都可嵌入到一個結(jié)合(代數(shù)閉李)單代數(shù)中, 該代數(shù)是一個具有某些基數(shù)條件的四個(李)子代數(shù)的和. 特別地, 任何可數(shù)結(jié)合(李)代數(shù)都可嵌入到一個有限生成的單結(jié)合(李)代數(shù)中. Goryushkin[16]證明了任何可數(shù)群都可以嵌入到一個二元生成的單群. 2010年, Bokut,Chen和Mo[17]利用Gro¨bner-Shirshov基, 證明了在結(jié)合微分代數(shù), 結(jié)合Ω-代數(shù)和結(jié)合λ-微分代數(shù)中, 每個(可數(shù)生成的)代數(shù)都可以嵌入到一個單（二元生成）代數(shù)中； 他們還證明在可數(shù)域k上的每個可數(shù)生成代數(shù)都可以嵌入到以下幾類單的二元生成代數(shù)中: 結(jié)合代數(shù), 半群, 李代數(shù), 結(jié)合微分代數(shù), 結(jié)合Ω-代數(shù), 結(jié)合λ-微分代數(shù). 2011年,Bahturin和Olshanskii[18]證明了, 任何有限生成的不變形的結(jié)合代數(shù)(李)都可以嵌入到不變形的二元生成結(jié)合(李)代數(shù)中.

2017年, Li和Mo[19]證明了可數(shù)域上每一個可數(shù)生成的非結(jié)合代數(shù)都可以嵌入到一個二元生成的單非結(jié)合代數(shù). 同一年, 他們[20]證明了每個可數(shù)生成的結(jié)合代數(shù)(李代數(shù))都可以嵌入到一個二元生成的單結(jié)合代數(shù)(李代數(shù))中. 2017年, Mo,Zhao和Pan[21]證明了每一個可數(shù)生成的結(jié)合微分代數(shù)(Ω-代數(shù), 結(jié)合λ-微分代數(shù))都可以嵌入到一個二元生成的單結(jié)合微分代數(shù)(Ω-代數(shù), 結(jié)合λ-微分代數(shù))中. 2019年Mo[22]證明了每一個可數(shù)生成的-代數(shù)(反交換代數(shù))都可以嵌入到一個二元生成的單-代數(shù)（反交換代數(shù)）.

本文利用Shirshov[23]的非結(jié)合代數(shù)的Gro¨bner-Shirshov基理論證明了域上每一個可數(shù)生成的非結(jié)合代數(shù)都可以嵌入二元生成的單非結(jié)合代數(shù).

1 非結(jié)合代數(shù)的合成鉆石引理

我們稱這個序為次數(shù)字典序, 整篇文章我們都用這個序. 設(shè)是一個域, M(X)是上由生成的自由非結(jié)合代數(shù). 對于每一個非零多項式∈(),可唯一地表示成

定義1令為一個首1多項式構(gòu)成的集合. 每一個多項式叫做一個度為1的字. 假設(shè)是一個長度為的字,是一個次數(shù)為的非結(jié)合字. 那么叫做長度為+的字.

定義 2([23]) 令是一個首 1多項式構(gòu)成的非空集合,＞是**上的次數(shù)字典序. 如果任意的合成模平凡的, 那么叫做一個基.

引理1令為一個首一多項式構(gòu)成的集合且

定理1([23], 非結(jié)合代數(shù)的合成鉆石引理) 令是一個首1多項式構(gòu)成的非空集,是M(X)的由生成的理想且＞是**上的次數(shù)字典序. 則下面的表述是等價的:

2 二元生成的單非結(jié)合代數(shù)

定理2域上每一個可數(shù)生成的非結(jié)合代數(shù)可以嵌入到一個二元生成的單非結(jié)合代數(shù).

證明設(shè)是域上的一個非結(jié)合代數(shù)且的一個-基, 乘法表為其中是的一個線性組合. 那么可以用生成元和關(guān)系表示成

那么B的另一部分關(guān)系為

根據(jù)引理1 , B的每一個元素都可以表示成標準字的線性組合. 用表示由關(guān)系(1)-(6)組成的集合. 易見中是沒有合成的. 因此,是()的一個非結(jié)合基. 這意味著可以嵌入 B. 由(2)-(5)可得, B 由生成.

假設(shè)Bgf∈,且

注釋：

①這里, 我們將s看成一個新的字母而(asb)看成是新的字母表X∪{s}上的一個字.