不確定切換系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性1

陳國培，楊 瑩

（惠州學(xué)院 數(shù)學(xué)與大數(shù)據(jù)學(xué)院，廣東 惠州 516007）

有限時(shí)間穩(wěn)定性是一個(gè)比漸近穩(wěn)定性更強(qiáng)的穩(wěn)定性概念，它表示系統(tǒng)是李雅普諾夫穩(wěn)定的且系統(tǒng)狀態(tài)是有限時(shí)間收斂的.

由于有限時(shí)間穩(wěn)定性在理論和應(yīng)用中的重要作用，人們已研究了若干類主要系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性及其穩(wěn)定化問題.文獻(xiàn)[1]針對(duì)非線性系統(tǒng)，給出了系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性判據(jù)以及連續(xù)的收斂時(shí)間函數(shù).文獻(xiàn)[2]研究連續(xù)線性系統(tǒng)的輸出穩(wěn)定化問題，利用LMI的最優(yōu)解構(gòu)造出輸出反饋控制器使閉環(huán)系統(tǒng)達(dá)到有限時(shí)間穩(wěn)定.文獻(xiàn)[3]針對(duì)一類二階非線性系統(tǒng)，研究其反饋鎮(zhèn)定問題，提供了幾類全局有限時(shí)間狀態(tài)反饋的鎮(zhèn)定方法，實(shí)現(xiàn)閉環(huán)系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定化.文獻(xiàn)[4]通過構(gòu)造切換控制策略，實(shí)現(xiàn)一類非線性系統(tǒng)在輸入飽和情況下的有限時(shí)間穩(wěn)定化.文獻(xiàn)[5]運(yùn)用加冪積分和嵌套飽和的方法設(shè)計(jì)控制器，實(shí)現(xiàn)了閉環(huán)系統(tǒng)的全局漸近穩(wěn)定化和有限時(shí)間穩(wěn)定化.文獻(xiàn)[6]針對(duì)隨機(jī)多智能體系統(tǒng)，利用李雅普諾夫 有限時(shí)間隨機(jī)穩(wěn)定性理論，設(shè)計(jì)出目標(biāo)狀態(tài)和環(huán)繞半徑的估計(jì)器以及分布式環(huán)繞控制器，確保系統(tǒng)有限時(shí)間穩(wěn)定.

值得注意的是，關(guān)于具有不確定性的非線性切換系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性研究鮮有報(bào)道，而且現(xiàn)有結(jié)果對(duì)系統(tǒng)都有一個(gè)要求，即：系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)在整個(gè)時(shí)間區(qū)間上必須是單調(diào)減少的，該要求限制了這些已有結(jié)果在實(shí)際當(dāng)中的應(yīng)用.對(duì)于許多實(shí)際系統(tǒng)，如：周期變化的系統(tǒng)，這個(gè)要求是難以滿足的.為了放松這一限制，本文將基于有限時(shí)間穩(wěn)定性理論給出不確定非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性條件.然后，利用所獲得的條件結(jié)合所構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)，給出具有不確定性的非線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件.

1 不確定非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性

考慮如下的不確定非線性系統(tǒng)：

定義 1[1]系統(tǒng)(1)在滿足下列條件時(shí)是有限時(shí)間穩(wěn)定的：

現(xiàn)有的有限時(shí)間穩(wěn)定性結(jié)果（即：文獻(xiàn)[1]的定理4.2以及文獻(xiàn)[2]的定理2）要求系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)在整個(gè)時(shí)間區(qū)間上必須單調(diào)減少，但這一要求在實(shí)際應(yīng)用中是難以滿足的.為了放松這一限制，我們利用非單調(diào)李雅普諾夫函數(shù)技術(shù)給出如下的有限時(shí)間穩(wěn)定性條件.

定理1對(duì)于系統(tǒng)(1)，若存在連續(xù)函數(shù)()g t和()h t，以及常數(shù)01＜＜a滿足如下條件：

則系統(tǒng)(1)全局有限時(shí)間穩(wěn)定.

證：對(duì)系統(tǒng)(1)，構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)由條件1)-2)，有：

即：

對(duì)(2)式兩邊從0t到t進(jìn)行積分可得：

結(jié)合(3)和(4)式，有：

2 主要結(jié)果

在前述結(jié)果的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究不確定切換系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性.考慮如下的不確定切換系統(tǒng)：

其中：x(t)∈Rn，切換律，N為子系統(tǒng)的個(gè)數(shù).根據(jù)切換律()tσ,我們有切換序列其中第ki個(gè)子系統(tǒng)在時(shí)間內(nèi)被激活.對(duì)于每一個(gè)iQ∈，函數(shù)連續(xù)且

利用所獲得的條件結(jié)合隨后構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)，可推出系統(tǒng)(6)的有限時(shí)間穩(wěn)定性條件.

定理 2對(duì)于系統(tǒng)(6)，若存在連續(xù)可微函數(shù)，連續(xù)函數(shù)以及常數(shù)01＜＜a滿足如下條件：

則系統(tǒng)(6)在切換律()tσ的作用下是全局有限時(shí)間穩(wěn)定的.

證：對(duì)任意的由條件2)-3)我們有：

即：

對(duì)(7)式兩邊從kt到t進(jìn)行積分可得：

再由 ()V x的正定性及定理1的類似證明，可知系統(tǒng)(6)是李雅普諾夫穩(wěn)定的且有限時(shí)間收斂，即：系統(tǒng)(6)在切換律()tσ的作用下為全局有限時(shí)間穩(wěn)定.

3 數(shù)值例子

考慮如下的不確定切換系統(tǒng)：

4 結(jié)語

本文針對(duì)具有不確定性的非線性切換系統(tǒng)，探討其有限時(shí)間穩(wěn)定性.首先，基于有限時(shí)間穩(wěn)定性理論給出不確定非線性系統(tǒng)的有限時(shí)間穩(wěn)定性條件.然后，利用所獲得的條件結(jié)合所構(gòu)造的李雅普諾夫函數(shù)，給出具有不確定性的非線性切換系統(tǒng)的穩(wěn)定性條件.