局部載荷作用下四邊固支矩形板彈性解答及其應(yīng)用

陸鎖芳，劉 俊，陳偉杰

(1. 上海交通大學(xué) 海洋工程國(guó)家重點(diǎn)試驗(yàn)室，上海 200240；

2. 高新船舶與深海開發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

0 引 言

對(duì)于四邊固支矩形板的彈性解答，很多學(xué)者已進(jìn)行了較為深入的研究，主要針對(duì)承受均布載荷的矩形板[1]，鐘陽[2]提出利用辛幾何法推導(dǎo)得到均布載荷下四邊固支矩形彈性薄板彎曲問題的解答；李元媛[3]提出采用多項(xiàng)式函數(shù)結(jié)合Navier 方法來得到近似的矩形薄板彎曲撓度，IMRAK[4]結(jié)合三角函數(shù)和雙曲函數(shù)，在忽略高階小量的前提下求解了四邊固支矩形板受均布載荷的最大位移。均布載荷下四周剛性固定矩形板解答可用于對(duì)船體中板格進(jìn)行分析，如承受分布貨物荷重的甲板板。但一些特殊情況下，比如海洋平臺(tái)或軍用船舶上直升機(jī)的起降，滾裝船上輪印載荷的作用[5]，以及極地船舶舷側(cè)加強(qiáng)部分承受冰載荷的作用[6]等，此時(shí)分布載荷只作用于板格局部位置，不能再將板格視為承受均布載荷四周剛性固定矩形板求解，將其簡(jiǎn)化為局部分布載荷下矩形板的問題近似考慮更為合理。對(duì)于承受局部分布載荷的剛性固定矩形板，張文福[7]曾嘗試給出了板中彎矩和撓度的計(jì)算用表，但僅適用于泊松比為0.2，矩形板的長(zhǎng)寬比a/b 為1，1.2，1.4，1.6，1.8 和2，局部載荷的邊長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)矩形板邊長(zhǎng)比c/a 為0.2，0.4，0.6，0.8 和1 的部分情況，應(yīng)用具有局限性。

本文基于能量法，推導(dǎo)了局部載荷作用下四邊固支矩形板彈性階段的解答方程組，利用Matlab 編程可方便得到撓度計(jì)算值。對(duì)于冰級(jí)船舶，由于與冰的遭遇工況多，如果采用非線性直接計(jì)算，在工況繁多的情況下計(jì)算工作量會(huì)很大。結(jié)合極限載荷準(zhǔn)則，將本文提出的解答應(yīng)用于極地船舶極限冰載荷的快速校核中[8]，可提高初步設(shè)計(jì)階段的效率。

1 局部載荷作用下四邊固支矩形板的理論解答

圖 1 局部載荷作用示意圖Fig. 1 Diagram of local distributed load

滿足位移邊界條件的撓度 w表達(dá)式為：

其中： M ， N 分別為 x ， y 方向展開的項(xiàng)數(shù)；為基函數(shù)的系數(shù)。

板的應(yīng)變能為：

力函數(shù)為：

將撓度表達(dá)式代入總位能公式中得到：

由此得到關(guān)于系數(shù)amn的線性方程組。

2 局部載荷作用下四邊固支矩形板的近似解

隨著項(xiàng)數(shù) M ，N 的增加，撓度計(jì)算精度也不斷增加直至收斂，同時(shí)隨著項(xiàng)數(shù)的增加，求解式（5）的計(jì)算量也會(huì)陡增，故此借助Matlab 程序進(jìn)行求解。

將式（5）改寫成如式（6）的形式求解，

并有

求出系數(shù) A后，代入式（1）即可求得矩形板的撓度 w，該方法可以求任意載荷面積下的矩形板撓度。

2.1 均布載荷作用下解答驗(yàn)證

為驗(yàn)證本文方法的正確性，與四邊剛性固定矩形板受均布載荷作用的經(jīng)典解答進(jìn)行對(duì)比。彈性解答矩形板中點(diǎn)的撓度為取值見表1[9]。

表 1 四邊剛性固定的矩形板在均布載荷作用下的撓度解答Tab. 1 Classic solution of rectangular plate by local distributed load with four edges clamped

將本文的計(jì)算方法退化到均布載荷情況，即取s=a,h=b，選 取b=100 mm t=4 mm，E=2.06×105MPa 進(jìn)行驗(yàn)證，2 種方法計(jì)算結(jié)果如表2 所示。

表 2 本文方法與經(jīng)典解答對(duì)比Tab. 2 Results comparison between two methods

可以發(fā)現(xiàn)2 種方法得到的結(jié)果非常一致，本文解答在均布載荷的特殊情況下是正確的。

2.2 局部載荷作用下本文解答與數(shù)值解的一致性驗(yàn)證

表 3 本文解答與數(shù)值解對(duì)比Tab. 3 Comparison with numerical solution

可知，本文解答與數(shù)值解差別很小。

3 局部載荷作用下四邊固支矩形板彈性解答的應(yīng)用

3.1 基于2 倍彈性斜率法的快速校核方法

近年來，隨著極地環(huán)境不斷變化，越來越多的目光轉(zhuǎn)向極地船舶的發(fā)展。在求解極地船舶所受極限冰載荷作用時(shí)，可使用有限元軟件進(jìn)行非線性有限元計(jì)算，但冰船遭遇情況復(fù)雜，工況繁多，且對(duì)網(wǎng)格精度要求高，需要極大的工作量。陳偉杰等[10]提出結(jié)合載荷-變形曲線和2 倍彈性斜率準(zhǔn)則得到極地船舶強(qiáng)度評(píng)估方法，由此快速得到極限冰載荷的初步設(shè)計(jì)值，現(xiàn)將本文的矩形板彈性解答應(yīng)用于該校核方法中。

修正后的矩形板載荷-變形公式的塑性階段解析解[10]

由本文矩形板彈性解答，結(jié)合塑性階段的計(jì)算公式，得到如下基于2 倍彈性斜率的快速校核方法。

1）利用彈性階段公式得到曲線 Oa；

2）利用塑性階段公式得到曲線 bc ；

3）根據(jù) Oa直線，計(jì)算相對(duì)于載荷軸的2 倍斜率得到曲線 Od；Od bc U

4）直線 和 交點(diǎn)的縱坐標(biāo)值即為極限載荷值 。

快速校核方法求解極限示意圖如圖2 所示。

圖 2 快速校核方法求解極限載荷示意圖Fig. 2 Diagram of rapid strength assessment method

通過Matlab 編程實(shí)現(xiàn)如圖3 所示的可視化界面，只需輸入簡(jiǎn)單的參數(shù)即可快速得到極限載荷值。

圖 3 快速校核界面Fig. 3 GUI of rapid strength assessment method

3.2 算例

某極地船舷側(cè)結(jié)構(gòu)如圖4 所示。

圖 4 舷側(cè)板架有限元模型Fig. 4 Side structure numerical model of an oil tanker

選取以下6 種工況進(jìn)行2 種方法的對(duì)比，結(jié)果如表4 所示。

從上面的對(duì)比結(jié)果可以看到，快速校核方法獲取的舷側(cè)冰區(qū)加強(qiáng)板格可承受的極限載荷與非線性有限元方法結(jié)果相差很小，作為一種快速評(píng)估方法，適用于初步設(shè)計(jì)階段。

5 結(jié) 語

本文應(yīng)用能量法推導(dǎo)了局部載荷作用下四邊固支矩形板的跨中撓度公式，并利用Matlab 編程得到任意矩形板尺寸與局部載荷尺寸下的載荷-撓度曲線。通過快速校核方法的算例可以看出文中所給的方法快速且精確，可供工程設(shè)計(jì)人員在初步設(shè)計(jì)時(shí)參考。

表 4 快速校核方法與有限元方法計(jì)算結(jié)果對(duì)比Tab. 4 Comparison between rapid strength assessment method and numerical analysis