淺談“中國剩余定理”在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的運(yùn)用

摘?要：小學(xué)生經(jīng)常遇到有關(guān)“剩余問題”的題，所以學(xué)會這類題的解答方法很有必要。這類問題的解法被稱為“中國剩余定理”，也有人稱為“韓信點(diǎn)兵”。此類問題的解答是利用兩數(shù)不能整除，若被除數(shù)擴(kuò)大（或縮?。┝藥妆?，而除數(shù)不變，則其商和余數(shù)也同時擴(kuò)大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)，進(jìn)而求出每個除數(shù)對應(yīng)的基礎(chǔ)數(shù)，其次是求三個基礎(chǔ)數(shù)的和，最后減去三個數(shù)的最小公倍數(shù)，以此來解答這類問題。

關(guān)鍵詞：小學(xué)生;剩余定理;學(xué)習(xí)

在小學(xué)生的一些思維拓展訓(xùn)練題中或智力競賽題中，我們經(jīng)常遇到有關(guān)“剩余問題”的題。下面我們就探究一下這類題的解答方法。

一、

中國剩余定理的由來

“今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？”按照今天的話來說：一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個數(shù)。

這樣的問題，也有人稱為“韓信點(diǎn)兵”。它形成了一類問題。這類問題的有解條件和解的方法被稱為“中國剩余定理”。它是中國古代數(shù)學(xué)家的一項(xiàng)重大創(chuàng)造，在世界數(shù)學(xué)史上具有重要的歷史地位。

二、 學(xué)習(xí)兩個定理

要明白具體解法，首先需要知道以下兩個定理。

定理1：幾個數(shù)相加，如果存在一個加數(shù)，不能被整數(shù)a整除，那么它們的和，就不能被整數(shù)a整除。

定理2：兩數(shù)不能整除，若被除數(shù)擴(kuò)大（或縮小）了幾倍，而除數(shù)不變，則其商和余數(shù)也同時擴(kuò)大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)。

以上兩個定理隨便舉個例子即可證明！

三、 用剩余定理研究解答此類問題的具體方法

題目：一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個數(shù)。

1.

求出3、5、7這三個數(shù)的最小公倍數(shù)。（說明：以下用中括號[?]來表示最小公倍數(shù)）

[3、5、7]=105

2.

求數(shù)3、5、7這三個數(shù)所對應(yīng)的基礎(chǔ)數(shù)。

（1）要找到除以3余2的基礎(chǔ)數(shù)，就用5和7的最小公倍數(shù)3。

[5、7]=35

35÷3=11……2

35正好符合“除以3余2”的條件，所以除以3余2的基礎(chǔ)數(shù)就是35。

（2）要找到除以5余3的基礎(chǔ)數(shù)，就用3和7的最小公倍數(shù)除以5。

[3、7]=21

21÷5=4……1（余1不符合題意）

根據(jù)剩余定理2：

余數(shù)、商、被除數(shù)同時擴(kuò)大3倍。

（21×3）÷5=（4×3）……（1×3）

63÷5=12……3（擴(kuò)大后的余數(shù)已符合條件）

這樣得到：除以5余3的基礎(chǔ)數(shù)就是63。

注意：這一步非常重要。把余數(shù)1擴(kuò)大3倍得到3，那么被除數(shù)也擴(kuò)大3倍，商可以不看。

（3）要找到除以7余2的基礎(chǔ)數(shù)，就用3和5的最小公倍數(shù)除以7。

[3、5]=15

15÷7=2……1（余1不符合題意）

（15×2）÷7=（2×2）…（1×2）

30÷7=4……2（擴(kuò)大后的余數(shù)已符合條件）

這樣得到：除以7余2的基礎(chǔ)數(shù)就是30。

3.

把得到的三個基礎(chǔ)數(shù)加起來。

35+63+30=128（這一步是運(yùn)用了剩余定理1）

4.

減去3、5、7三個數(shù)的最小公倍數(shù)105。（在基礎(chǔ)數(shù)比最小公倍數(shù)大的情況下）

128-105=23

那么滿足題意的最小的數(shù)就是23了。

四、 理解一首詩歌

大家都知道，解這類題時，有下面一首詩歌。而這首詩歌怎么用呢？我們探究一下。

三人同行七十（70）稀，

五樹梅花二一（21）枝。

七子團(tuán)圓正半月（15），

除百零五（105）便得知。

這首詩歌的意思是，一個數(shù)除以3、5、7同余“1”符合條件的數(shù)分別是70、21、15這三個數(shù)。只要記住這三個數(shù)，那么有關(guān)“一個數(shù)除以3、5、7余數(shù)是其他數(shù)”的題很快能求出答案。

例如上面解答的題目：一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2，求這個數(shù)。

①因?yàn)槌?余1的基礎(chǔ)數(shù)是70，那么除以3余2的基礎(chǔ)數(shù)就是70×2=140

同理：除以5余3的基礎(chǔ)數(shù)就是21×3=63

除以7余2的基礎(chǔ)數(shù)就是：15×2=30

③可以用如下算式解答：

70×2+21×3+15×2

=140+63+30

=233

這個數(shù)=233-105×2=23。

所以說，這首詩歌實(shí)際上是求“一個數(shù)除以3、5、7有余數(shù)”這類題的一種簡便方法。

五、

我們再舉例解答一個除數(shù)不是3、5、7的類似問題，你就對“中國剩余定理”問題更清楚了

題目：把幾十個蘋果，7個7個地數(shù)余2個，6個6個地數(shù)余4個，4個4個地數(shù)則余2個。這堆蘋果至少有多少個？

①求7、6、4的最小公倍數(shù)=84

②用6、4的最小公倍數(shù)24÷7=3……3（不符合）

（24×3）÷7=3×3……3×3（需擴(kuò)大3倍）

72÷7=10……2（達(dá)到符合）

③用7、4的最小公倍數(shù)28÷6=4……4（正好符合）

④用7、6的最小公倍數(shù)42÷4=10……2（正好符合）

⑤求符合條件的三個基礎(chǔ)數(shù)的和=72+28+42=142

⑥求這些蘋果至少多少個？

142-84=58（個）

從以上例子可以看出，要解決“中國剩余定理”這樣的問題，首先是求每個除數(shù)對應(yīng)的基礎(chǔ)數(shù)，其次是求三個基礎(chǔ)數(shù)的和，最后是觀察三個基礎(chǔ)數(shù)的和是否小于三個除數(shù)的最小公倍數(shù)。如大于三個除數(shù)的最小公倍數(shù)，大于幾個最小公倍數(shù)，就減去幾個，直至小于為最終結(jié)果。

參考文獻(xiàn)：

[1]李輝.淺析中國剩余定理及其應(yīng)用[J].豆丁文庫.

作者簡介：

陳茲中，甘肅省定西市，岷縣梅川學(xué)區(qū)。