含變質(zhì)量構(gòu)件的軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向振動(dòng)主動(dòng)控制

馬馳騁　張希農(nóng)　代祥俊　周長城　郭宗和

摘要： 軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)是一類廣泛使用的工程傳送元件，而在傳送過程中常常包含質(zhì)量運(yùn)動(dòng)或者質(zhì)量變化，質(zhì)量的運(yùn)動(dòng)或改變和軸向運(yùn)動(dòng)間相互耦合作用，使結(jié)構(gòu)的振動(dòng)更加突出。為滿足軸向運(yùn)動(dòng)機(jī)構(gòu)高精度準(zhǔn)定位的需求，圍繞含變質(zhì)量構(gòu)件的機(jī)械臂結(jié)構(gòu)，開展變質(zhì)量-軸向運(yùn)動(dòng)耦合作用結(jié)構(gòu)的振動(dòng)主動(dòng)控制研究。首先基于Galerkin法和模態(tài)疊加法建立了變質(zhì)量-軸向運(yùn)動(dòng)壓電梁的控制方程，然后針對(duì)系統(tǒng)的時(shí)變特性，設(shè)計(jì)LQG控制器對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行振動(dòng)主動(dòng)控制，并分析了多種工況下結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制問題，最后采用Choi-Williams分布將信號(hào)在時(shí)頻域上分解，分析了控制前后系統(tǒng)的時(shí)頻特性。數(shù)值分析表明，施加LQG控制后，系統(tǒng)的橫向振動(dòng)在相關(guān)頻率內(nèi)都得到了有效的抑制，使用Choi-Williams分布可以準(zhǔn)確反映系統(tǒng)振動(dòng)頻率與振動(dòng)能量隨時(shí)間的變化規(guī)律。通過研究含時(shí)變參數(shù)的軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)特性和振動(dòng)主動(dòng)控制，對(duì)于智能機(jī)械臂結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)具有一定指導(dǎo)意義。

關(guān)鍵詞： 振動(dòng)主動(dòng)控制; 軸向運(yùn)動(dòng)梁; 變質(zhì)量; LQG控制器

中圖分類號(hào)： TB 535? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A? 文章編號(hào)： 1004-4523（2019）03-0396-08

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2019.03.003

引 言

柔性機(jī)械臂結(jié)構(gòu)在工程搬運(yùn)或者傳輸?shù)刃袠I(yè)極大程度上替代了人力勞動(dòng)，有效提高了質(zhì)量傳輸效率。然而構(gòu)件的軸向運(yùn)動(dòng)或者物品質(zhì)量的變化都會(huì)引起結(jié)構(gòu)整體參數(shù)的改變，關(guān)于含變質(zhì)量構(gòu)件的軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)問題研究，開展的相對(duì)較晚，而在各類交通工具，車橋耦合系統(tǒng)，空天大型柔性結(jié)構(gòu)和荷載機(jī)械臂等實(shí)際工程問題中，又迫切地需要開展變質(zhì)量-軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)及其振動(dòng)主被動(dòng)控制方面的科學(xué)研究。

Marynowski等詳細(xì)總結(jié)了軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)的研究進(jìn)展，隨著工業(yè)自動(dòng)化的普及，有關(guān)軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題的研究近年來迅速增多[1]。Ghayesh等[2]為解決時(shí)變速度軸向運(yùn)動(dòng)梁的非線性動(dòng)力學(xué)問題，在計(jì)算中綜合使用了Galerkin法、模態(tài)疊加法和偽弧長法，F(xiàn)FT變換等技術(shù)，對(duì)分析軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)提供了一種參考。Yang等[3]針對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)梁的橫向與縱向耦合振動(dòng)，基于 Galerkin法推導(dǎo)了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，通過調(diào)整速度參數(shù)，得到了系統(tǒng)振動(dòng)能量傳遞規(guī)律，結(jié)果表明耦合振動(dòng)的能量轉(zhuǎn)移可以用來實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)的振動(dòng)控制。呂海煒等[4]提出了一種全新的夾層梁理論，用于建立軸向運(yùn)動(dòng)軟夾層梁橫向振動(dòng)控制方程，比傳統(tǒng)軸向運(yùn)動(dòng)夾層梁模型的應(yīng)用范圍更廣，更有普適性?？紤]梁的剪切變形的影響，陳紅永等[5]研究了軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁在軸向載荷作用下的振動(dòng)特性，探索了影響臨界速度和臨界載荷的因素，對(duì)于軸向受載運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)設(shè)計(jì)具有一定指導(dǎo)意義。劉金建等[6]重點(diǎn)研究了軸向運(yùn)動(dòng)黏彈性梁橫向振動(dòng)的穩(wěn)定性問題，分析了軸向勻速運(yùn)動(dòng)中功能梯度黏彈性梁亞臨界區(qū)域內(nèi)橫向振動(dòng)的復(fù)頻率隨軸向運(yùn)動(dòng)速度、材料梯度指數(shù)等參數(shù)的變化情況。

從上述軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)問題的研究中發(fā)現(xiàn)，軸向運(yùn)動(dòng)會(huì)顯著影響機(jī)械臂結(jié)構(gòu)的操作精度和運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性，采用主動(dòng)控制來提高結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度是一項(xiàng)迫切而可行的工作。張偉等針對(duì)軸向運(yùn)動(dòng)弦線和作動(dòng)器組成的耦合系統(tǒng)的橫向振動(dòng)控制，采用自適應(yīng)方法[7]和Lyapunov方法[8]，均對(duì)該類系統(tǒng)的振動(dòng)進(jìn)行了有效的控制。He等[9]則對(duì)有輸出約束的運(yùn)動(dòng)弦系統(tǒng)進(jìn)行了振動(dòng)控制研究。劉定強(qiáng)等[10]利用有限差分法，采用二次最優(yōu)控制和速度反饋法分析軸向運(yùn)動(dòng)矩形薄膜橫向振動(dòng)的控制問題，并給出了最優(yōu)控制律。王亮等[11-12]提出主動(dòng)振子和主動(dòng)力兩種方法，有效地控制了軸向運(yùn)動(dòng)速度、變長度懸臂梁的橫向振動(dòng)。在某些機(jī)器人系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)中，構(gòu)件除了有軸向運(yùn)動(dòng)，還會(huì)有繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)。Zhao[13]等采用一種自感應(yīng)作動(dòng)器對(duì)安裝有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)節(jié)的軸向運(yùn)動(dòng)機(jī)器臂開展了振動(dòng)主動(dòng)控制，有效地降低了軸向運(yùn)動(dòng)機(jī)械臂的振動(dòng)幅值。在天然氣石油開采中，鉆井隔水系統(tǒng)普遍面臨著變長度變張力以及變速度等問題，He[14]等采用一種邊界控制策略實(shí)現(xiàn)了某鉆井隔水系統(tǒng)的振動(dòng)抑制。

針對(duì)含變質(zhì)量構(gòu)件的軸向運(yùn)動(dòng)梁，本文主要開展了時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)分析及振動(dòng)主動(dòng)控制兩個(gè)方面的工作，具體內(nèi)容如下：首先推導(dǎo)了變質(zhì)量-軸向運(yùn)動(dòng)壓電梁結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程，研究了該類系統(tǒng)的振動(dòng)特性;然后采用LQG控制器對(duì)質(zhì)量增大和質(zhì)量減少兩類工況下的軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了振動(dòng)控制;最后探索了基于Choi-Williams分布函數(shù)的時(shí)頻分析技術(shù)在時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)振動(dòng)控制中的應(yīng)用。

2 動(dòng)力學(xué)特性分析

仿真中梁結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)阻尼比值分別取1%和0.05%。當(dāng)梁長度不變時(shí)，系統(tǒng)簡化為含末端變質(zhì)量的懸臂梁結(jié)構(gòu)，梁末端的位移響應(yīng)曲線如圖3所示。梁結(jié)構(gòu)初始長度1.8 m，m（t）從0增大到2 kg，或者從2 kg減少到0。雖然梁長度不改變，但是從圖3中仍可以看出，末端質(zhì)量減小時(shí)，振動(dòng)頻率增大，同時(shí)位移幅值逐漸增大;而質(zhì)量增大時(shí)，振動(dòng)頻率降低，同時(shí)位移幅值逐漸減小。這是由于質(zhì)量變化引起的一個(gè)非結(jié)構(gòu)阻尼項(xiàng)，該非結(jié)構(gòu)阻尼項(xiàng)與系統(tǒng)的質(zhì)量變化率成正比，當(dāng)<0時(shí)，質(zhì)量變化引起一個(gè)非結(jié)構(gòu)負(fù)阻尼，使得系統(tǒng)的振幅增大;反之，>0時(shí)，系統(tǒng)質(zhì)量增大相當(dāng)于引起一個(gè)正阻尼，使得系統(tǒng)振幅加速衰減。

當(dāng)末端質(zhì)量不變時(shí)，系統(tǒng)簡化為含集中質(zhì)量的軸向運(yùn)動(dòng)梁。梁長度的改變會(huì)同時(shí)引起系統(tǒng)剛度和質(zhì)量的變化，軸向運(yùn)動(dòng)梁末端的響應(yīng)如圖4所示，伸長時(shí)系統(tǒng)的頻率降低，同時(shí)振幅增大，隨軸向移動(dòng)速度增加，從0.05 m/s到0.15 m/s再到0.25 m/s，梁的橫向振動(dòng)位移幅值增大的更快，而縮短時(shí)隨軸向移動(dòng)速度增加，梁的橫向振動(dòng)位移幅值衰減加速。

當(dāng)既有質(zhì)量變化，又有軸向運(yùn)動(dòng)時(shí)，一方面需要考慮軸向運(yùn)動(dòng)對(duì)系統(tǒng)的影響;另一方面也要考慮質(zhì)量變化對(duì)系統(tǒng)的影響，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律更加復(fù)雜。含變質(zhì)量構(gòu)件的軸向縮短梁的末端位移響應(yīng)如圖5（a）所示，末端質(zhì)量增大引起的非結(jié)構(gòu)正阻尼使梁的橫向振動(dòng)幅值衰減更加迅速;末端質(zhì)量減小時(shí)，附加負(fù)阻尼會(huì)減慢振動(dòng)的衰減。伸長時(shí)梁末端的響應(yīng)如圖5（b）所示，減小末端質(zhì)量，附加負(fù)阻尼使梁的橫向振動(dòng)幅值增加更加明顯;末端質(zhì)量增大時(shí)，質(zhì)量變化引起的附加正阻尼會(huì)削弱軸向伸長引起的振幅增大。含變質(zhì)量參數(shù)的軸向運(yùn)動(dòng)梁的運(yùn)動(dòng)規(guī)律如表3所示，只有當(dāng)v>0，<0和v<0，>0時(shí)，才能直接判斷系統(tǒng)幅值的改變規(guī)律，但是與之相關(guān)的頻率信息又無法直接確定，這些因素都增加了振動(dòng)控制的困難度和復(fù)雜性。

3 LQG控制器

對(duì)于含變質(zhì)量的軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)，系統(tǒng)內(nèi)質(zhì)量參數(shù)、剛度參數(shù)和阻尼參數(shù)都隨時(shí)間變化，傳統(tǒng)的控制方法如PID反饋控制，難以保證時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)全局控制的穩(wěn)定性[16]，LQG控制法是一種穩(wěn)定而且適用性廣的控制策略，通過選擇評(píng)價(jià)指標(biāo)的加權(quán)系數(shù)，實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制，控制流程圖如圖6所示。

4 振動(dòng)控制

在薄壁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)中，主要以低階模態(tài)為主，因此主動(dòng)控制的中心思想是盡可能消耗低階振動(dòng)能量。針對(duì)變質(zhì)量-軸向運(yùn)動(dòng)梁的自由振動(dòng)，給定結(jié)構(gòu)一個(gè)初始位移，與梁的一階模態(tài)接近，釋放位移約束后，結(jié)構(gòu)開始振動(dòng)，然后通過LQG控制器，調(diào)控壓電片實(shí)現(xiàn)梁的振動(dòng)抑制。

首先考慮梁伸長（v=0.1 m/s）的情況，質(zhì)量增大和質(zhì)量減少兩種工況下系統(tǒng)的位移響應(yīng)如圖7所示。對(duì)比控制前后的位移響應(yīng)，可以明顯看出施加LQG控制后，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)幅值迅速衰減，說明了LQG策略對(duì)時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)控制的有效性。而且從圖7（b）中可以發(fā)現(xiàn)，位移幅值隨時(shí)間逐漸增大，這說明系統(tǒng)質(zhì)量減小引起的非結(jié)構(gòu)負(fù)阻尼作用十分顯著，因此在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中，質(zhì)量變化引起的非結(jié)構(gòu)阻尼效應(yīng)不可忽略，尤其是質(zhì)量減少的系統(tǒng)。

類似的，梁縮短（v=-0.1 m/s），末端質(zhì)量變化時(shí)系統(tǒng)的位移響應(yīng)如圖8所示，運(yùn)動(dòng)過程中梁的長度從1.8 m縮短到0.8 m。從圖中可以發(fā)現(xiàn)施加控制后，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)得到有效的抑制。對(duì)比圖8（a）和（b）中未控制時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)曲線，也表明系統(tǒng)質(zhì)量變化引起的非結(jié)構(gòu)阻尼作用會(huì)很大程度上影響系統(tǒng)的振動(dòng)特性。

5 時(shí)頻響應(yīng)分析

在變質(zhì)量系統(tǒng)的振動(dòng)信號(hào)處理中，使用Fourier變換雖然可以得到系統(tǒng)的頻域特征，但是無法得到系統(tǒng)共振頻率和振動(dòng)能量的時(shí)變特性[17-18]。為了更全面地分析時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)的非穩(wěn)態(tài)響應(yīng)信號(hào)，科研工作者運(yùn)用了多種時(shí)頻分布函數(shù)，如Wigner-Ville分布，短時(shí)傅里葉變換（STFT），Choi-Williams分布（Choi Williams Distribution，簡稱CWD）等[17]，這些分布函數(shù)被廣泛應(yīng)用于機(jī)械設(shè)計(jì)、振動(dòng)監(jiān)測和故障診斷等領(lǐng)域。相比較Wigner-Ville分布等技術(shù)，Choi-Williams分布函數(shù)采用固定核函數(shù)濾波，具有良好的信號(hào)分辨率和時(shí)頻聚集性，可以有效抑制多個(gè)頻率信號(hào)分量共存時(shí)的交叉項(xiàng)干擾，使能量在時(shí)頻域上的分布更加密集，因此本文采用Choi-Williams分布函數(shù)來分析處理控制前后的非平穩(wěn)響應(yīng)信號(hào)。

對(duì)圖7（a）中的位移響應(yīng)曲線做CWD，得到了圖9中顯示的控制前后系統(tǒng)位移曲線的時(shí)頻響應(yīng)譜。梁結(jié)構(gòu)從1.8 m伸長至2.8 m， 同時(shí)系統(tǒng)的質(zhì)量從0增加到2 kg，從圖9中可以看出系統(tǒng)的振動(dòng)頻率從2.37 Hz降低到0.75 Hz，同時(shí)可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的振動(dòng)能量隨時(shí)間迅速減少，也就是說施加控制后，系統(tǒng)的振動(dòng)得到了有效控制。對(duì)于質(zhì)量減少的情況，時(shí)頻響應(yīng)譜圖如圖10所示：系統(tǒng)的振動(dòng)頻率從1.65 Hz降低到0.98 Hz，從圖10（a）可以看出，系統(tǒng)的振動(dòng)能量隨時(shí)間增加，這是非結(jié)構(gòu)負(fù)阻尼起了重要的作用。

同樣的，對(duì)圖8中的位移響應(yīng)做CWD，可以得到圖11和12中顯示的梁縮短時(shí)，質(zhì)量增大工況和質(zhì)量減少工況時(shí)的時(shí)頻響應(yīng)譜。梁結(jié)構(gòu)從1.8 m縮短至0.8 m，系統(tǒng)質(zhì)量從0增加到2 kg時(shí)，從圖11，12中可以看出系統(tǒng)振動(dòng)頻率從2.37 Hz增大到6.42 Hz;而當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)量從2 kg減少到0時(shí)，系統(tǒng)的振動(dòng)頻率從1.6 Hz增大到12 Hz。對(duì)比圖11和12，施加控制后，振動(dòng)能量迅速減小，說明通過LQG控制器對(duì)時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)開展振動(dòng)控制是可行的。

綜上所述，借助時(shí)頻分析技術(shù)，可以得到系統(tǒng)振動(dòng)頻率隨時(shí)間的變化規(guī)律和系統(tǒng)振動(dòng)能量的變化譜圖，這是傳統(tǒng)FFT 變換無法得到的。對(duì)于質(zhì)量時(shí)變系統(tǒng)，系統(tǒng)沒有固定振動(dòng)頻率，而是以時(shí)變振動(dòng)頻率形式存在，但是系統(tǒng)振動(dòng)頻率的范圍可以通過系統(tǒng)質(zhì)量的變化范圍確定， 這也是時(shí)變系統(tǒng)與時(shí)不變系統(tǒng)差別最大的地方。在某些工作環(huán)境中，系統(tǒng)所受外激勵(lì)力的作用頻率可能恰好在系統(tǒng)的振動(dòng)頻率變化范圍內(nèi)，這時(shí)候需要在限定的頻率范圍內(nèi)開展主動(dòng)控制，而通過時(shí)頻分析技術(shù)，可以得到頻率與時(shí)間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，為時(shí)變參數(shù)系統(tǒng)的振動(dòng)控制提供參考。

6 結(jié) 論

通過對(duì)變質(zhì)量-軸向運(yùn)動(dòng)梁的振動(dòng)特性分析和主動(dòng)控制研究，得到以下結(jié)論：

1） 質(zhì)量變化使系統(tǒng)振動(dòng)頻率變化的同時(shí)，會(huì)引起一個(gè)非結(jié)構(gòu)阻尼，該非結(jié)構(gòu)阻尼正比于系統(tǒng)的質(zhì)量變化率。質(zhì)量增加，質(zhì)量變化率大于零，非結(jié)構(gòu)阻尼為正阻尼;系統(tǒng)質(zhì)量減少，質(zhì)量變化率小于零，非結(jié)構(gòu)阻尼為負(fù)阻尼，負(fù)阻尼可能引起系統(tǒng)振動(dòng)幅值的增大和系統(tǒng)振動(dòng)的不穩(wěn)定。

2） 使用LQG控制器對(duì)變質(zhì)量-梁組合結(jié)構(gòu)的自由振動(dòng)系統(tǒng)的振動(dòng)控制效果顯著，在時(shí)變的頻率范圍內(nèi)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)都得到了有效的抑制。

3） 通過響應(yīng)信號(hào)的時(shí)頻分析，可以得到系統(tǒng)的振動(dòng)頻率隨時(shí)間的變化規(guī)律和振動(dòng)能量的時(shí)頻響應(yīng)譜。根據(jù)時(shí)頻分析，便于在指定時(shí)間指定頻率對(duì)系統(tǒng)的振動(dòng)進(jìn)行抑制。

參考文獻(xiàn)：

[1] Marynowski K， Kapitaniak T. Dynamics of axially moving continua[J]. International Journal of Mechanical Sciences， 2014， 81： 26-41.

[2] Ghayesh M H， Amabili M. Steady-state transverse response of an axially moving beam with time-dependent axial speed[J]. International Journal of Non-Linear Mechanics， 2013， 49： 40-49.

[3] Yang X D， Zhang W. Nonlinear dynamics of axially moving beam with coupled longitudinal transversal vibrations[J]. Nonlinear Dynamics， 2014， 78（4）： 2547-2556.

[4] 呂海煒，李映輝，李 亮，等. 軸向運(yùn)動(dòng)軟夾層梁橫向振動(dòng)分析[J]. 振動(dòng)與沖擊， 2014，33（02）： 41-46.

Lv Haiwei， Li Yinghui， Li Liang et al. Analysis of transverse vibration of axially moving soft sandwich beam[J]. Journal of Vibration and Shock， 2014，33（02）： 41-46.

[5] 陳紅永，李上明. 軸向運(yùn)動(dòng)梁在軸向載荷作用下的動(dòng)力學(xué)特性研究[J]. 振動(dòng)與沖擊， 2016， 35（19）： 75-80.

Chen Hongyong， Li Shangming. Dynamic characteristics of an axially moving Timoshenko beam under axial loads[J]. Journal of Vibration and Shock， 2016， 35（19）： 75-80.

[6] 劉金建，蔡改改，謝 鋒，等. 軸向運(yùn)動(dòng)功能梯度黏彈性梁橫向振動(dòng)的穩(wěn)定性分析[J]. 動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)， 2016，14（06）： 533-541.

Liu Jinjian， Cai Gaigai， Xie Feng， et al. Stability anslysis on transverse vibration of axially moving functionally graded viscoelastic beams[J]. Journal of Dynamics and Control， 2016， 14（06）： 533-541.

[7] 張 偉，陳立群. 軸向運(yùn)動(dòng)弦線橫向振動(dòng)控制的自適應(yīng)方法[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)， 2006， 42 （04）： 96-100.

Zhang Wei， Chen Liqun. Transverse vibration control of an axially moving string system by adaptive method[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering， 2006， 42（04）： 96-100.

[8] 張 偉，陳立群. 軸向運(yùn)動(dòng)弦線橫向振動(dòng)控制的Lyapunov方法[J]. 控制理論與應(yīng)用， 2006， 23（04）： 531-535.

Zhang Wei， Chen Liqun. Transverse vibration control of an axially moving string system by Lyapunov method[J]. Control Theory & Applications， 2006， 23（04）： 531-535.

[9] He W， Ge S S， Huang D. Modeling and vibration control for a nonlinear moving string with output constraint[J]. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics， 2015， 20（4）： 1886-1897.

[10] 劉定強(qiáng)，王忠民. 軸向運(yùn)動(dòng)矩形薄膜的橫向振動(dòng)控制[J]. 西安理工大學(xué)學(xué)報(bào)， 2007， 23（01）： 62-65.

Liu Dingqiang， Wang Zhongmin. The transverse vibration control of an axially moving rectangular membrane[J]. Journal of Xi′an University of Technology， 2007， 23（01）： 62-65.

[11] 王 亮，陳懷海，賀旭東，等. 軸向運(yùn)動(dòng)變長度懸臂梁的振動(dòng)控制[J].振動(dòng)工程學(xué)報(bào)，2009，22（06）：565-570.

Wang Liang， Chen Huaihai， He Xudong， et al. Vibration control of an axially moving cantilever beam with varying length[J]. Journal of Vibration Engineering， 2009， 22（06）： 565-570.

[12] 王 亮，陳懷海，賀旭東，等. 軸向運(yùn)動(dòng)懸臂梁橫向振動(dòng)的磁力控制[J]. 南京航空航天大學(xué)學(xué)報(bào)， 2010， 42（05）： 568-573.

Wang Liang， Chen Huaihai， He Xudong， et al. Active vibration control of axially moving cantilever beam by magnetic force[J]. Journal of Nanjing University of Aeronautics & Astronautics， 2010， 42（05）： 568-573.

[13] Zhao L， Hu Z D. Active vibration control of an axially translating robot arm with rotating prismatic joint using self-sensing actuator[J]. Shock and Vibration， 2015，2015：964139.

[14] He W， Nie S， Meng T， et al. Modeling and vibration control for a moving beam with application in a drilling riser [J]. IEEE Transactions on Control Systems Technology， 2017， 25（3）： 1036-1043.

[15] Meirovitch L. Dynamics and Control of Structures[M]. New York：Wiley， 1990.

[16] Gawronski W K. Advanced Structural Dynamics and Active Control of Structures[M]. New York： Springer， 2004

[17] Cohen L. Time frequency distributions-review[J]. Proceedings of the IEEE， 1989， 77（7）： 941-981.

[18] 姜 鳴， 陳 進(jìn)， 汪慰軍. 幾種Cohen類時(shí)頻分布的比較及應(yīng)用[J]. 機(jī)械工程學(xué)報(bào)， 2003， 29（3）： 129-134.

Abstract： Axially moving structures are widely used as basic components in kinds of delivery systems. It is very common that mass changing or mass moving occurs in the process of delivery， which causes the increase or decrease of the total mass. The coupling of variation of the mass and the axially moving makes more significant vibration of the structures. This paper studies the active vibration control of the axially moving structures with time varying mass by taking an axially moving manipulator attached with a time varying concentrated mass as a specific subject. The governing equations of the time varying system are derived using Galerkin method and mode superposition method. Then LQG controller is designed for controlling the vibration of the system with different conditions taken into account， including the increasing mass system and the decreasing mass system. Finally， the response signals are decomposed by the method of Choi Williams distribution， and the time frequency features are obtained. Numerical simulations demonstrate that the vibration of the system is effectively controlled under the LQG controller in the limited range of frequencies， and the variation of the frequency and vibration energy can be given by Choi Williams distribution， showing that it is a much more powerful tool than FFT. The study on the dynamic characteristics and active control of the axially moving structures with time varying mass can offer guides to innovative design of smart manipulators.

Key words： active vibration control; axially moving beam; variable mass; LQG