玩轉(zhuǎn)立方體

王耀楊

挑戰(zhàn)立方體

看到這篇文章的標(biāo)題，相信很多同學(xué)都會感到奇怪：立方體？我早看得不能再熟悉了！還有什么可玩的呢？

不要得意得太早哦，在這篇文章里，我們將嘗試從一個(gè)全新的視角來欣賞立方體，并且由此提出一系列有趣的問題。試試看，你能解決其中幾個(gè)問題？

讓我們從立方體的體對角線方向去觀察它。如圖①，一個(gè)立方體有4條體對角線，選取其中任意一條，沿此方向正投影，會得到一個(gè)正六邊形。這個(gè)正六邊形由3個(gè)彼此全等的菱形組成，每個(gè)菱形都是一個(gè)正方形面的投影。

我們的第一個(gè)問題，就從這里開始：如果只用一只眼觀察，最多同時(shí)可以看到不透明立方體的幾個(gè)面，為什么？如果關(guān)注的對象是棱，那么最多同時(shí)可以看到幾條棱，為什么？

第二個(gè)問題需要先定義“挖洞”的概念。當(dāng)我們說“在一個(gè)立體圖形上挖洞”時(shí)，意思是去掉一部分圖形，同時(shí)保持剩余部分仍然具有一個(gè)完全的封閉形態(tài)，而不是類似“U”形。更進(jìn)一步，當(dāng)我們說“從挖好的洞中穿過”時(shí)，意思是在不超過洞邊界的范圍內(nèi)行進(jìn)，整個(gè)過程中不能破壞洞的邊界。當(dāng)然，我們始終假設(shè)所研究的圖形都是剛性的，不會像橡膠那樣發(fā)生彈性形變?，F(xiàn)在問題來了：是否有可能在一個(gè)立方體中挖一個(gè)洞，使得另一個(gè)與它全等的立方體能夠從洞中穿過去呢？

第三個(gè)問題：二維國的立方體來客。

1884年，一位英國牧師艾伯特寫了一本名為《二維國》的小冊子。作者的創(chuàng)作意圖本不是宣講數(shù)學(xué)，但是在今天看來，它完全可以作為一本現(xiàn)代幾何學(xué)的入門科普書來讀。所謂二維國，就是平面世界，其中的居民都是平面圖形，如三角形、正方形或者圓。居民們關(guān)于空間的經(jīng)驗(yàn)直覺就只局限于二維。那么，我們所熟悉的三維圖形在這些居民的理解中會是怎樣的存在呢？

設(shè)想一位立方體先生到二維國親戚家拜訪，后者當(dāng)然無法窺見立方體的全貌，而只能看到立方體穿過二維平面時(shí)所截得的“側(cè)影”。例如，當(dāng)立方體的一組棱垂直于平面時(shí)，截得圖形恒為正方形;當(dāng)立方體的面對角線垂直于平面時(shí)，留下的是寬度不斷變化的矩形“側(cè)影”，如圖②：穿入和穿出瞬間時(shí)，退化為線段的形態(tài)，其間最大矩形截面的長寬比為為。

現(xiàn)在問題來了：如果令立方體的體對角線垂直于平面，則穿行時(shí)所留下的“側(cè)影”會如何變化？

在各位讀者自己開始研究之前，這里有一個(gè)建議。你要保證手頭有一個(gè)立方體的實(shí)物模型，最好是透明的;比如用小細(xì)棍和膠泥之類的材料做一個(gè)，便于觀察。上面這幾個(gè)問題幾乎都是基于觀察具體實(shí)物來研究的，當(dāng)然，你還需要解釋其中的道理。

藝術(shù)家與立方體迷思

在給出問題1的解答之前，我要先考考讀者們，你們能否想象，對這個(gè)問題的追問和深思居然激發(fā)了一群藝術(shù)家的創(chuàng)作靈感？難道說藝術(shù)家們也都很喜歡數(shù)學(xué)？

問題1的答案是：最多同時(shí)看到3個(gè)面;最多同時(shí)看到9條棱。

立方體的6個(gè)面可以分成3組，每一組都有彼此相對，即沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平行面。從體對角線方向可以同時(shí)看到3個(gè)面，我們來證明不能看到更多。假設(shè)可以看到4個(gè)面，則必定有一組平行面同時(shí)被看到，但這是不可能的。設(shè)想它們是發(fā)光的（“看到”的物理原理就是來自被看物體的光子進(jìn)入人眼），則一組平行面照亮的空間區(qū)域分別位于兩個(gè)平行平面的一側(cè)，而這兩個(gè)區(qū)域沒有公共點(diǎn)，如圖③所示。換言之，空間中任何位置都不能同時(shí)看到這兩個(gè)面。因此3個(gè)就是能同時(shí)看到的最多面數(shù)。

由前面的分析可知，3組中每組都至少有一面是看不到的，這3個(gè)看不到的面兩兩相交得到的3條棱肯定也是看不到的，因此最多同時(shí)看到12-3=9條棱。沿體對角線方向確實(shí)可以看到9條棱，因此9條是能同時(shí)看到的最多棱數(shù)。

但是這與藝術(shù)創(chuàng)作有何關(guān)聯(lián)呢？原來，20世紀(jì)初的藝術(shù)家們也采納了將現(xiàn)實(shí)物體分解成局部要素的幾何思維，但是他們不滿足于用只能看到有限個(gè)側(cè)面的單一視角呈現(xiàn)，而是嘗試將多視角的景象在同一個(gè)畫面中展示出來。這就是影響深遠(yuǎn)的立體派（Cubism），這一思潮首先影響的是畫家和雕塑家，很快又波及到文學(xué)、音樂和建筑領(lǐng)域。

圖④給出了立體派代表人物畢加索的兩幅作品。其中左圖是較早的作品《彈曼陀鈴的少女》，可以看到原本婉轉(zhuǎn)流暢的線條都呈現(xiàn)為看似彼此割裂而抽象的幾何圖形;右圖則是相對晚一些的作品《靜物》，畫面看似混亂，是因?yàn)楫嫾覍⒃静豢赡軓娜我灰暯强吹降母鞣N細(xì)節(jié)全都呈現(xiàn)出來。這兩幅作品可以代表畢加索個(gè)人思考的兩個(gè)階段：前者是“分析”的時(shí)期，后者則是“綜合”的時(shí)期。

問題2需要一點(diǎn)初中水平的數(shù)學(xué)計(jì)算。前文提到過，將立方體沿體對角線方向投影，可以得到一個(gè)正六邊形。如圖⑤，為不失一般性，設(shè)立方體邊長為1，則正六邊形的較短對角線（垂直于視線方向的面對角線保持原長），如圖建立直角坐標(biāo)系，則有。由此確定直線方程，代入坐標(biāo)驗(yàn)證，可知A點(diǎn)位于AB下方;結(jié)合對稱性可知正方形位于正六邊形內(nèi)部。將圖示正方形對稱地?cái)U(kuò)大一點(diǎn)點(diǎn)，還可以位于正六邊形內(nèi)部，由此可以保證原正方形可以從中穿過去。

讓一個(gè)高度對稱的立體圖形從自身之中穿過去，乍看起來似乎是匪夷所思的，但是上面這個(gè)例子恰好使我們意識到立方體具有一種特別的對稱性：體對角線。不難想象，如果將立方體換成具有完美對稱性的球，那么問題2就無解了。因此不妨說，立方體能夠?qū)崿F(xiàn)這個(gè)結(jié)果，恰恰是因?yàn)樗€不夠?qū)ΨQ。按照這一思路，那么正四面體也可以穿過自身嗎？請讀者自己尋找答案吧。

問題3相當(dāng)于考察垂直于體對角線的不同平面截立方體所得的圖形。最開始是一個(gè)點(diǎn)，接著變成正三角形并逐漸放大，正三角形的面積達(dá)到最大后各頂點(diǎn)內(nèi)縮而變成六邊形，到恰好正中間位置時(shí)截面是一個(gè)正六邊形;后一半變化過程是對稱的，如圖⑥。

在今天，如果一位數(shù)學(xué)教師對艾伯特牧師的《二維國》感到格外欣賞，主要原因很可能是因?yàn)樗鼮槌鯇W(xué)者探索四維幾何學(xué)打開了一扇門。一位二維國居民能夠以何種方式去思考和理解三維世界來的客人，恰如我們?nèi)S智慧生物可以如何去思考和理解四維的存在。

如果你以為四維幾何是只有數(shù)學(xué)家們才會關(guān)注的奇思妙想，圖⑦中的畫作可能會令你大吃一驚。1954年，超現(xiàn)實(shí)主義畫家達(dá)利完成了一幅前所未有的《耶穌受難》，這可能是同主題作品中最具視覺沖擊力的一幅，因?yàn)槠渲谐霈F(xiàn)了四維立方體在三維世界中的“展開圖”。正如三維立方體的展開圖是由6個(gè)正方形構(gòu)成的平面圖形，四維立方體的展開圖是由8個(gè)三維立方體構(gòu)成的立體圖形—你不妨試著想想它“拼合”起來的樣子（如圖⑧）！

各位讀者，相信你們已經(jīng)看到，立方體的體對角線是一個(gè)極為特別的視角;從這個(gè)角度考察立方體，會出現(xiàn)很多有趣的新問題和新成果。作為本文的結(jié)束，這里給出一個(gè)趣味問題供有興趣的讀者研究吧。圖⑨給出一個(gè)立方體型電阻，它的每條棱都是阻值為1歐姆的電阻，在體對角線兩端連接外部電路，則整個(gè)立方體可以視為一個(gè)復(fù)合電阻。根據(jù)立方體的對稱性質(zhì)分析一下，它相當(dāng)于多少歐姆的電阻呢？

答案與解析：5/6歐姆。假設(shè)整體復(fù)合電阻的外接端點(diǎn)是A和B，則由幾何對稱性可知A的

3個(gè)相鄰端點(diǎn)確定了一個(gè)等電勢面，位于A與等電勢面之間的3個(gè)1歐姆電阻相當(dāng)于并聯(lián)關(guān)系，因此相當(dāng)于一個(gè)1/3歐姆的電阻;下一個(gè)等電勢面是，它與面之間的6個(gè)單位電阻相當(dāng)于并聯(lián)關(guān)系，因此等價(jià)于一個(gè)1/6歐姆的電阻;類似地，面與頂點(diǎn)B之間也相當(dāng)于一個(gè)1/3歐姆的電阻。因此總電阻為1/3+1/6+1/3=5/6歐姆。

（責(zé)任編輯/陳瑩? 美術(shù)編輯/胡美巖）