局部對偶平坦的（α，β）-度量的共形性質(zhì)

翁桂英, 林偉華

（1.仰恩大學(xué)數(shù)學(xué)系,福建泉州362014；2.閩南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,福建漳州363000；3.福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)學(xué)院,福建福州350007）

設(shè)F=F（x，y）是 n 維流形M 上的芬斯勒度量，若在任何一點(diǎn)存在局部坐標(biāo)系（xi）使得測地系數(shù)G=, 其中H=H（x，y）是TM ｛0｝上三次正齊次的光滑標(biāo)量函數(shù)，則稱芬斯勒度量F=F（x，y）為局部對偶平坦，并稱此坐標(biāo)系為恰當(dāng)坐標(biāo)系.芬斯勒幾何中局部對偶平坦的概念最近得到比較深入的研究, 文獻(xiàn)[3]研究了局部對偶平坦在信息幾何中的應(yīng)用, 文獻(xiàn)[4]研究了對偶平坦的Kropina度量的標(biāo)量旗曲率及迷向S-曲率的特征,文獻(xiàn)[5]研究Randers 度量為局部對偶平坦的條件，文獻(xiàn)[6]研究了局部對偶平坦且共形平坦的Kropina 度量.沈忠民[1]證明了開集URn上的芬斯勒度量F=F（x，y）為局部對偶平坦的充要條件為其滿足偏微分方程：.夏巧玲[7]研究了 （α， β）-度量為局部對偶平坦的充要條件.

芬斯勒幾何的共形相關(guān)在某種意義上是保角相關(guān)[2].給定流形M 上的芬斯勒度量F 和，若存在 M上的一個(gè)標(biāo)量函數(shù) c（x），使得，則 F，稱為共形相關(guān).特別如果F 共形于閔可夫斯基度量，則稱F 為共形平坦.目前對偶平坦的 （α，β）-度量的共形相關(guān)性大多局限于特殊的 （α，β）-度量，本文利用文獻(xiàn)[7]中刻畫對偶平坦的 （α，β）-度量滿足的方程對共形相關(guān)性的結(jié)果推廣到一般的對偶平坦的（α，β）-度量，得到了下面定理.

本文不特別說明均采用愛因斯坦求和約定.

1 預(yù)備知識

n 維流形 M 上（α， β）-度量有如下形式

在（α，β）-度量中，為便于計(jì)算，引入如下記號

芬斯勒幾何的共形性質(zhì)是幾何學(xué)家研究的熱門問題,Weyl 定理證明了一個(gè)芬斯勒度量的共形性質(zhì)和射影性質(zhì)唯一地決定了這個(gè)度量的結(jié)構(gòu).對于流形M 上的芬斯勒度量F，，若滿足，其中 c（x）為 M 上標(biāo)量函數(shù)，則稱F，共形相關(guān).此時(shí)稱標(biāo)量函數(shù) c（x）為共形因子.

并且有

為證明結(jié)論，引入以下引理.

引理1[2]（α，β）-度量為局部閔可夫斯基當(dāng)且僅當(dāng)α 為平坦的，且bi│j=0.

為后文引理敘述需要引入以下記號

其中 k1，k2，k3為常數(shù)如式(11)定義，是標(biāo)量函數(shù)，為 M 上 1-形式，θi:=aijθj.

引理 3[7]設(shè)維流形 Mn（n3）上 （α，β）-度量，假設(shè)條件同引理 2，若滿足

則F 是局部對偶平坦當(dāng)且僅當(dāng)

其中 k1，k2，k3及 θ 定義同引理 2.

其中 k1，k2，k3及,θ 定義同引理 2.

引理 5 若 φα2=σβ，其中 α， β 定義如前， φ 為 M 上函數(shù)， σ:=σi（x）yi:=σ0為 M 上 1-形式，則φ=0，σ=0.

證明 對 M 上任意點(diǎn)，若 φ≠0，則 φα2=φαijyiyj為二次型，矩陣（φαij）是可逆， σβ=σibjyiyj也為二次型，其矩陣（σibj）秩為 1，矛盾，故 φ=0；從而 σibjyiyj=0，由 yi，yj的任意性，向量（bj）≠0，則列向量（σi）=0，從而 σ=0.

2 定理的證明

定理1 的證明 1)必要性.F 共形平坦，與局部閔可夫斯基度量共形相關(guān)，由引理1 有，又由式(8)(9)，

從而由引理2，

(25)式由引理5，

(26)式與 bi縮并得

由引理5

(31)式與 bi縮并得，

由(32)(34)式可得 c0=0，從而，c（x）為常值函數(shù)，所以F 為局部閔可夫斯基度量.

2) 充分性顯然.

(37)式由引理5，

由引理5，

由(39)(41)式 c0=0，從而 c（x）為常數(shù).

2) 充分性顯然.