高考常考的經(jīng)典函數(shù)不等式的探究

廣東省湛江一中培才學(xué)校(524037)魏 欣

本文對(duì)教材中的一個(gè)經(jīng)典的函數(shù)不等式ln x ＜x ＜ex(x ＞0)的探究,著重剖析其變形及其幾何意義,總結(jié)提煉出高考中常考的幾個(gè)經(jīng)典函數(shù)不等式,并通過等價(jià)轉(zhuǎn)換的經(jīng)典函數(shù)不等式函數(shù)圖像法來證明近兩年高考導(dǎo)數(shù)壓軸題.

一、教材探究

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書《數(shù)學(xué)·選修2-2 · A版》(人民教育出版社,2007年1月第2 版)第32 頁(yè)習(xí)題1.3.B 第1(3)題：利用函數(shù)的單調(diào)性,證明不等式x+1 ＜ex(x/=0).

這個(gè)不等式的證明比較容易,只需構(gòu)造函數(shù)f(x)=ex- x - 1(x ∈ R),由f′(x)=ex- 1 知,當(dāng)x ＞ 0時(shí),f′(x)＞0； 當(dāng)x ＜0 時(shí),f′(x)＜0.故當(dāng)x=0 時(shí),fmin(x)=f(0)=e0-0-1=0.即當(dāng)x ∈R 時(shí),f(0)≤f(x),也即ex-x-1 ≥0,故x+1 ≤ex(x ∈R),當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí),等號(hào)成立.

經(jīng)典函數(shù)不等式ln x ＜x ＜ex(x ＞0)的幾何意義的理解,如圖1所示.

圖1

若能夠熟練掌握這一不等式及其變式,就好像插上了一雙“隱形的翅膀”,解題思路會(huì)得到優(yōu)化,解題過程會(huì)變得自然明了.

此經(jīng)典函數(shù)不等式ln x ＜x ＜ex(x ＞0)經(jīng)過變形可以得到下面結(jié)論.

(1)ln x+1 ≤x ≤ex(x ＞0),其幾何意義的理解,如圖2所示.

圖2

圖3

(2)ln(x+1)≤x ≤ex-1(x ＞-1),其幾何意義的理解,如圖3所示.

(3)ln x+1 ≤x ≤ex-1(x ＞0),其幾何意義的理解,如圖4所示.

圖4

圖5

(4)ln(x+1)≤x ≤ex-1(x ＞-1),其幾何意義的理解,如圖5所示.

圖6

圖7

證明令f(x)=ln(x+1)-x,則當(dāng)-1 ＜x ＜0 時(shí),f′(x)＞0,所以f(x)在(-1,0)上單調(diào)遞增； 當(dāng)x ＞0 時(shí),f′(x)＜0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減.所以f(x)≤f(0)=ln(0+1)-0=0.即f(x)≤0.所以ln(x+1)-x ≤0,即ln(x+1)≤x.再令則當(dāng)-1 ＜x ＜0 時(shí),g′(x)＜0,所以g(x)在(-1,0)上單調(diào)遞減； 當(dāng)x ＞0 時(shí),g′(x)＞0,所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.所以即g(x)≥0.所以即綜上所述,

圖8

圖9

圖10

圖11

圖12

圖13

圖14

圖15

圖16

以上不等式證明都可以類比證明(6)一樣構(gòu)造函數(shù)法轉(zhuǎn)化求最值來證明,由于篇幅關(guān)系,此處不再贅述.

二、高考應(yīng)用

(一)題目展示

題1(2018年高考全國(guó)I 卷文科第21 題)已知函數(shù)f(x)=aex-ln x-1.

題2(2018年高考全國(guó)I 卷理科第21 題)設(shè)函數(shù)

(I)略；(II)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1和x2,證明：

題3(2018年高考全國(guó)II 卷理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(I)若a=1,證明：當(dāng)x ≥0 時(shí),f(x)＞1；(II)略.

題4(2018年高考全國(guó)III 卷理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(I)若a=0,證明：當(dāng)-1 ＜x ＜0 時(shí),f(x)＜0； 當(dāng)x ＞0 時(shí),f(x)＞0.(II)略.

題5(2018年高考全國(guó)III 卷文科第21 題)已知函數(shù)

(I)略.(II)證明：當(dāng)a ≥1 時(shí),f(x)+e ≥0.

題6(2017年高考新課標(biāo)I 卷理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(I)討論f(x)的單調(diào)性；

(II)若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),求a 的取值范圍.

題7(2017年高考課標(biāo)卷III 理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=x-1-a ln x.

(I)若f(x)≥0,求a 的值；(II)略.

題8(2017年高考課標(biāo)卷II 理科第21 題)已知函數(shù)f(x)=ax2-ax-x ln x,且f(x)≥0.

(I)求a；(II)略.

以上高考導(dǎo)數(shù)壓軸題,一般解法是利用等價(jià)轉(zhuǎn)換構(gòu)造函數(shù)法和導(dǎo)數(shù).下面從等價(jià)轉(zhuǎn)換的經(jīng)典不等式函數(shù)圖像法來證明,這樣可以避免復(fù)雜的運(yùn)算,同時(shí)也揭示了代數(shù)問題的幾何背景.

(二)解法探究

題1(2018年高考全國(guó)I 卷文科第21 題)的(II)證明如下.

方法一先證明：ex-1-ln x-1 ≥0.

證明：令g(x)=ex-1-x,h(x)=ln x-(x-1)(x ＞0),g′(x)=ex-1- 1,h′(x)=所以g(x)在(-∞,1)遞減,在(1,+∞)遞增,h(x)在(0,1)遞增,在(1,+∞)遞減,所以g(x)≥g(1)=0,h(x)≤h(1)=0,所以ex-1≥x,ln x ≤x-1.要證f(x)≥0 成立,只需證只需證：

而ex-1≥ x,ln x ≤ x - 1,所以ex-1- ln x - 1 ≥x -(x - 1)- 1=0,所以(*)成立,所以當(dāng)時(shí),f(x)≥0.

評(píng)析方法一利用了高考中?？嫉膬蓚€(gè)經(jīng)典函數(shù)不等式ex-1≥x,ln x ≤x-1,能避免討論參數(shù)的范圍的復(fù)雜的運(yùn)算.兩個(gè)經(jīng)典不等式函數(shù)ex-1≥x,ln x ≤x-1 的圖像如圖17、18 所示.

圖17

圖18

方法二要證明：當(dāng)a ≥時(shí),f(x)≥0.只需證明：ex-1-ln x-1 ≥0.即證明：ex-1≥ln x+1.兩個(gè)經(jīng)典函數(shù)y=ex-1,y=ln x+1的圖像如圖19 所示.由圖可知,函數(shù)y=ex-1的圖像高于函數(shù)y=ln x+1 的圖像,顯然不等式ex-1≥ln x+1 成立.所以當(dāng)時(shí),f(x)≥0.

圖19

評(píng)析方法二根據(jù)以往的解題經(jīng)驗(yàn),利用了高考中?？嫉膬蓚€(gè)經(jīng)典函數(shù)不等式ex-1≥ln x+1,這樣可以避免復(fù)雜的運(yùn)算,同時(shí)也揭示了代數(shù)問題的幾何背景.

題2(2018年高考全國(guó)I 卷理科第21 題的(II)的證明如下.

圖20

圖21

題3(2018年高考全國(guó)II 卷理科第21 題)(I)的證明如下.

證明若a=1,f(x)=ex-x2,要證明：ex-x2＞1,即證明：ex＞1+x2(x ≥0).由圖21 可知,在[0,+∞)上,函數(shù)y=ex的圖像高于函數(shù)y=1+x2的圖像,顯然不等式ex＞1+x2(x ≥0)成立.所以當(dāng)x ≥0 時(shí),f(x)＞1.

題4(2018年高考全國(guó)III 卷理科第21 題的(I)的證明如下.

證明若a=0,則f(x)=(2 + x)ln(1 + x)- 2x(x ＞-1).若f(x)＞0,即(2 + x)ln(1 + x)- 2x ＞0(-1 ＜x ＜0),只需證明：若f(x)＜0,即(2+x)ln(1+x)-2x ＜0(x ＞0),只需證明：由圖22 可知,在(-1,0)上,函數(shù)y=ln(1+x)的圖像高于函數(shù)的圖像； 在(0,+∞)上,函數(shù)y=ln(1+x)的圖像低于函數(shù)的圖像.顯然命題成立.

圖22

圖23

題5(2018年高考全國(guó)III 卷文科第21 題)(II)的證明如下.

證明要證明：當(dāng)a ≥1 時(shí),f(x)+e ≥0,即要證明只需證明：x2+x-1 ≥-ex+1.即證明：ex+1≥1-x-x2.由圖23 可知,函數(shù)y=ex+1的圖像高于函數(shù)y =1-x-x2的圖像.顯然命題成立.

題6 的解析(I)f(x)的定義域?yàn)?-∞,+∞),f′(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1),

(i)若a ≤0,則f′(x)＜0,所以f(x)在(-∞,+∞)單調(diào)遞減.

(ii)若a ＞ 0,則由f′(x)=0 得x=-ln a.當(dāng)x ∈(-∞,-ln a)時(shí),f′(x)＜ 0； 當(dāng)x ∈(-ln a,+∞)時(shí),f′(x)＞ 0,所以f(x)在(-∞,-ln a)單調(diào)遞減,在(-ln a,+∞)單調(diào)遞增.

(II)(i)若a ≤0,由(1)知,f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn).

(ii)若a ＞0,由(1)知,當(dāng)x=-ln a 時(shí),f(x)取得最小值,最小值為因此,若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn),只需最小值小于0.即由變式得a 的取值范圍為(0,1).

題7 解析將不等式f(x)=x-1-a ln x ≥0 轉(zhuǎn)化為由變式(5)ln x ≤x-1 得a=1.

題8 解析f(x)的定義域?yàn)?0,+∞).設(shè)g(x)=ax-a-ln x,則f(x)=xg(x).f(x)≥0 等價(jià)于g(x)≥0.即ax-a-ln x ＞0,即a(x-1)≥ln x.由變式(5)ln x ≤x-1得a=1.

三、總結(jié)反思

課本是考題的基本來源,自然是高考的命題依據(jù).因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,我們要善于挖掘教材的潛在教學(xué)功能.教材中有一些典型性題目,它們或者是重要的結(jié)論,或者體現(xiàn)某種數(shù)學(xué)思想方法,或者是某個(gè)一般數(shù)學(xué)命題的具體形式,它的延伸、轉(zhuǎn)化和拓廣,可以呈現(xiàn)出豐富多彩的數(shù)學(xué)內(nèi)容.我們必須充分重視課本典型例題、習(xí)題的探究,這是“用教材教”之根本,也是教師專業(yè)成長(zhǎng)的必有之路.

從近幾年的高考來看,不難發(fā)現(xiàn)大多導(dǎo)數(shù)壓軸題是在課本基礎(chǔ)上進(jìn)行改變、重組、創(chuàng)新、索源產(chǎn)生的,都考查上述的經(jīng)典函數(shù)不等式,都可以從等價(jià)轉(zhuǎn)換的不等式函數(shù)圖像法來解決,這樣可以避免復(fù)雜的運(yùn)算.這也體現(xiàn)了高考試題“?？汲Ｐ?推陳出新”的理念,所以我們要都這一類問題進(jìn)行總結(jié),并提出更加簡(jiǎn)便的通性通法,對(duì)解法的探索是在踐行我們所學(xué)的知識(shí)技能和思想方法,同時(shí)也使我們的思維更廣闊、思想更深刻.對(duì)試題本質(zhì)的探源,使我們更深刻地認(rèn)識(shí)問題,將新舊解題經(jīng)歷跨時(shí)空貫通起來,這又是一個(gè)新的開始.