對一類含絕對值不等式恒成立問題的研究

浙江省寧波效實中學(315012)童益民

含一個絕對值不等式的恒成立問題是教學中經(jīng)常碰到的一類題型,對該類問題處理的方法很多,如圖像法,或去絕對值,去絕對值有的可以通過零點分類,有的得不出零點,需要用到去絕對值的等價條件,但學生往往不清楚去絕對值的等價條件,隨意去掉絕對值,導致結(jié)果錯誤,本文對去絕對值的等價變換的研究,試圖厘清該類問題.

題1關于x 的不等式|x-2| ＞t 對x ∈[0,4]恒成立,求實數(shù)t 的取值范圍.

解法1利用數(shù)形結(jié)合,分別畫出y =|x-2|與y =t 的圖象,如圖1,可得t ＜0.

圖1

解法2(錯誤)因為|x-2| ＞t 對x ∈[0,4]恒成立,所以x-2 ＞t 或x-2 ＜-t 對x ∈[0,4]恒成立 ①,所以x-2 ＞t 對x ∈[0,4]恒成立或x-2 ＜-t 對x ∈[0,4]恒成立 ②,所以t ＜-2 或t ＜-2 ③,所以t ＜-2 ④.

解析發(fā)現(xiàn)解法2 的結(jié)論是錯誤的,那么是哪一步出現(xiàn)了問題? 答案是第 ②步.因為第 ①步中對于某一個t,可以部分x 滿足x-2 ＞t,余下部分x 滿足x-2 ＜-t；而第 ②步中要求全部x 滿足x-2 ＞t 或全部x 滿足x-2 ＜-t,兩者是不等價的.那么怎樣才能去掉絕對值而不出現(xiàn)問題呢? 先來看定理1.

定理1已知函數(shù)f(x)在[m,n]上是連續(xù)的,且t ≥0,則|f(x)|＞t 對x ∈[m,n]恒成立的充要條件是f(x)＞t 對x ∈[m,n]恒成立或f(x)＜-t 對x ∈[m,n]恒成立.

證明充分性顯然是成立的,下面證必要性,用反證法證明.假設有部分x ∈[m,n]滿足f(x)＞t ≥0,余下部分x ∈[m,n]滿足f(x)＜-t ≤0,所以就不存在x0∈[m,n],使得f(x0)=0,這與f(x)在[m,n]上是連續(xù)的矛盾,所以假設不成立,必要性即證.

解法2(正確)(1)當t ＜0 時成立；

(2)當t ≥0 時,根據(jù)定理1,由前面的解法2,可得t ＜-2,所以t ∈?.由(1)(2)得,t ＜0.

題2關于x 的不等式對x ∈[0,4]恒成立,求實數(shù)t 的取值范圍.

解法1根據(jù)圖象法,如圖2,得t ＜ 2 或,所以t ＜2 或t ＞5.

圖2

解法2(錯誤)因為對x ∈[0,4]恒成立,所以或?qū) ∈[0,4]恒成立 ①,所以對x ∈[0,4] 恒成立或?qū) ∈[0,4]恒成立 ②,所以對x ∈[0,4]恒成立或?qū) ∈[0,4]恒成立 ③,所以t ＜1 或t ＞5 ④.

解析發(fā)現(xiàn)解法2 的結(jié)論是錯誤的,那么是哪一步出現(xiàn)了問題? 答案是第 ②步.因為第 ①步中對于某一個t,可以部分x 滿足余下部分x 滿足而第 ②步中要求全部x 滿足或全部x 滿足兩者是不等價的.那么怎樣才能去掉絕對值而不出現(xiàn)問題呢? 先來看定理2.

定理2已知函數(shù)f(x)在[m,n] 上是連續(xù)的,且g(x)≥0,則|f(x)| ＞g(x)對x ∈[m,n] 恒成立的充要條件是f(x)＞g(x)對x ∈[m,n]恒成立或f(x)＜-g(x)對x ∈[m,n]恒成立.

證明充分性顯然是成立的,下面證必要性,用反證法證明.假設有部分x ∈[m,n] 滿足f(x)＞g(x)≥0,余下部分x ∈[m,n] 滿足f(x)＜-g(x)≤0,所以就不存在x0∈[m,n],使得f(x0)=0,這與f(x)在[m,n]上是連續(xù)的矛盾,所以假設不成立,必要性即證.(說明：定理1 是定理2 的特殊情況,取g(x)=t.)

解法2(正確)(1)當即0 ≤x ＜2 時,t ∈R；

小結(jié)1由題1 和題2 可以看出,對含有絕對值不等式的恒成立問題,可以通過圖象法解題,也可以通過去絕對值的等價條件解題,我們發(fā)現(xiàn)對于不等式|f(x)| ＞g(x)的恒成立問題,因為|f(x)| ＞g(x)恒成立與f(x)＞g(x)或f(x)＜-g(x)恒成立是等價的,并不需要g(x)≥0 這樣的條件,所以題1 和題2 的解法2(錯誤)的第 ①步是沒有問題的,主要是第 ②步出了問題,而定理1 與定理2 很好的解決了這個問題,如再看題3.

題3已知函數(shù)f(x)=x2+(a-4)x+6-a,若對任意的實數(shù)a ∈[0,4],x ∈[0,2],|f(x)|＞t 恒成立,求實數(shù)t 的取值范圍.

解(1)當t ＜0 時,成立；

(2)當t ≥0 時,根據(jù)定理1,得到對任意的a ∈[0,4],當x ∈[0,2]時,f(x)＞t 恒成立,或當x ∈[0,2]時,f(x)＜-t恒成立,所以對任意的a ∈[0,4],f(x)min＞t(其中x ∈[0,2])恒成立,或f(x)max＜-t(其中x ∈[0,2])恒成立,因為函數(shù)f(x)的對稱軸所以當時,恒成立或f(2)＜ -t 恒成立,且當時,恒成立或f(0)＜-t恒成立,即當2 ≤a ≤4 時,恒成立或a+2 ＜-t 恒成立,且當0 ≤a ＜2 時,恒成立或6 - a ＜ -t 恒成立,即當2 ≤ a ≤ 4 時,恒成立或t ＜-a - 2 恒成立,且當0 ≤a ＜2 時,恒成立或t ＜a-6 恒成立,根據(jù)關于a 的函數(shù)圖象可得,t ＜2 且t ＜2,所以0 ≤t ＜2.由(1)(2)得t ＜2.

小結(jié)2從邏輯上來分析,集合A,B,C 中,C ?A ∪B與C ?A 或C ?B 是不等價的,前者是后者的必要不充分條件,所以?x ∈D,條件p(x)或條件q(x)成立與?x ∈D,條件p(x)成立或?x ∈D,條件q(x)成立是不等價的,同樣前者也是后者的必要不充分條件.但對于含絕對值的不等式|f(x)| ＞g(x)的恒成立問題,當g(x)≥0 時,根據(jù)定理1與定理2 得到了等價條件,可以放心的去絕對值.如果解不等式|f(x)| ≥g(x)的恒成立問題,需要滿足g(x)＞0,同樣可以放心的去絕對值,可以參考文獻[1].另外如果研究不等式|f(x)| ＜g(x)(或|f(x)| ≤g(x))的恒成立問題,則不需要考慮g(x)的正負問題,首先-g(x)＜f(x)＜g(x)與|f(x)| ＜g(x)是等價的,因為當g(x)＜0 時,兩者都不成立.其次也從邏輯上來分析,集合A,B,C 中,C ?A ∩B 與C ?A 且C ?B 是等價的,前者是后者的充要條件,所以?x ∈D,條件p(x)且條件q(x)成立與?x ∈D,條件p(x)成立且?x ∈D,條件q(x)成立是等價的,同樣前者也是后者的充要條件,如題4.

題4已知函數(shù)若當x ∈[1,4]時,f(x)≤5 恒成立,求實數(shù)a 的取值范圍.

解因為當x ∈[1,4] 時,f(x)≤5 恒成立,所以當x ∈[1,4]時,恒成立,所以當x ∈[1,4]時,恒成立,所以當x ∈[1,4] 時,恒成立,所以當x ∈[1,4]時,恒成立,且恒成立,所以當x ∈[1,4]時,恒成立,且當x ∈[1,4]時,恒成立,所以且a ≤0,所以a ≤0.

總結(jié)

含一個絕對值的恒成立問題中,對于|f(x)| ＜g(x)(或|f(x)| ≤g(x))的形式,等價轉(zhuǎn)化時就不需要討論g(x)的正負問題,如題4,相對比較簡單.而對于|f(x)| ＞g(x)(或|f(x)| ≥g(x))的形式,等價轉(zhuǎn)化時就需要討論g(x)的正負問題,相對就比較麻煩一點.有時函數(shù)g(x)中含有參數(shù)t,那么g(x)的正負問題不易討論,就要討論f(x)的正負問題,利用f(x)的零點去掉絕對值,如關于x 的不等式對x ∈[0,4]恒成立,求實數(shù)t 的取值范圍； 如果函數(shù)f(x),g(x)中都含有參數(shù)t,這樣f(x),g(x)的正負問題都很難討論,去掉絕對值就很麻煩了,就需要用到f(x),g(x)的圖象去解決了,如關于x 的不等式對x ∈[0,4]恒成立,求實數(shù)t 的取值范圍,就不能直接去掉絕對值,只能用圖象法了,本文主要研究去絕對值的等價條件,在此就不再詳解.