載流導(dǎo)線間軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電梁的參數(shù)-主共振

胡宇達(dá)， 張明冉

(1.燕山大學(xué) 建筑工程與力學(xué)學(xué)院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué) 河北省重型裝備與大型結(jié)構(gòu)力學(xué)可靠性重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，河北 秦皇島 066004)

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，復(fù)雜運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)在航空事業(yè)、機(jī)械器件、電子設(shè)備等一些工程技術(shù)應(yīng)用越來越廣泛，例如，輸送機(jī)的傳送帶、電磁發(fā)射、電磁驅(qū)動(dòng)等設(shè)備中都含有軸向運(yùn)動(dòng)結(jié)構(gòu)，這些軸向運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)經(jīng)常在電磁場環(huán)境中工作，受到機(jī)械場和電磁場的共同作用，所以電磁固體結(jié)構(gòu)在多物理場耦合作用下的力學(xué)行為也引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。胡宇達(dá)等[1-2]針對磁場中軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電導(dǎo)磁梁及薄板的非線性磁彈性耦合振動(dòng)的理論建模進(jìn)行分析，從而推導(dǎo)出載流梁和薄板的磁彈性耦合振動(dòng)微分方程；Ghayesh等[3]對具有縱向-橫向耦合位移的軸向運(yùn)動(dòng)梁的強(qiáng)迫非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行了數(shù)值研究，并推得了縱向-橫向耦合運(yùn)動(dòng)的非線性偏微分方程；丁虎等[4]對軸向運(yùn)動(dòng)梁橫向非線性振動(dòng)的兩組數(shù)學(xué)模型進(jìn)行了研究。此外，針對梁和薄圓板的非線性振動(dòng)穩(wěn)定性及參數(shù)振動(dòng)研究方面，Yang等[5]對由內(nèi)部共振引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的非線性動(dòng)力學(xué)現(xiàn)象進(jìn)行了研究；Yurdda等[6]考慮非理想支撐情況，對軸向移動(dòng)支撐弦的非線性振動(dòng)問題進(jìn)行了研究；Wu[7]對橫向磁場和熱負(fù)荷作用下梁的大幅度振動(dòng)及動(dòng)態(tài)穩(wěn)定性進(jìn)行了分析；Ding等[8]分析了軸向速度、邊界條件等參數(shù)對結(jié)構(gòu)振動(dòng)頻率及動(dòng)力穩(wěn)定性的影響；胡宇達(dá)等[9-10]研究了磁場環(huán)境中軸向變速運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電矩形薄板和載流梁的磁彈性參數(shù)振動(dòng)問題；Pratiher[11]對磁場中周期載荷作用下懸臂梁的主參數(shù)振動(dòng)及穩(wěn)定性等問題進(jìn)行了研究；Ghayesh等[12]研究了軸向運(yùn)動(dòng)Timoshenko梁的雙模態(tài)非線性參數(shù)共振；Tang等[13-14]針對Timoshenko梁模型，分析了隨時(shí)間變化的軸向運(yùn)動(dòng)梁的參數(shù)共振現(xiàn)象及軸向加速黏彈性梁參數(shù)共振的動(dòng)力學(xué)穩(wěn)定性；Hu等[15-16]對磁場中軸向運(yùn)動(dòng)矩形薄板的非線性參數(shù)振動(dòng)及穩(wěn)定性進(jìn)行研究，分析了磁場中軸向移動(dòng)薄板的強(qiáng)非線性諧波共振和混沌運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象。

本文針對兩平行交變載流導(dǎo)線間軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電梁的參數(shù)-主共振問題進(jìn)行研究，推導(dǎo)出軸向運(yùn)動(dòng)梁的非線性參數(shù)-主共振聯(lián)合振動(dòng)微分方程，分析平行導(dǎo)線載流強(qiáng)度和距離等參量對系統(tǒng)參數(shù)-主共振特性的影響。

1 載流導(dǎo)線間軸向運(yùn)動(dòng)梁的磁彈性方程

研究圖1所示處在兩平行交變載流導(dǎo)線間的載流導(dǎo)電梁，該梁沿形心軸x方向以速度c做軸向運(yùn)動(dòng)，并受軸向拉力F0x作用。梁的基本參數(shù)：長為l，寬為b，高為h，彈性模量E,質(zhì)量密度ρ。導(dǎo)電梁通入的電流密度為J0x=J0，導(dǎo)線通入交變電流分別為I1(t)=i1cosωt和I2(t)=i2cosωt，導(dǎo)線與梁的距離為d1和d2，w(x,t)為梁的橫向位移，t為時(shí)間變量，i1和i2為交變電流的幅值，ω為電流頻率。

圖1 載流導(dǎo)線間的導(dǎo)電梁Fig.1Conductive beam between current-carrying wires

利用畢奧-薩伐爾電磁定律[17]，可以得到兩平行無限長載流導(dǎo)線在導(dǎo)電梁所在位置產(chǎn)生的疊加磁場之和為

(1)

式中：μ0為真空磁導(dǎo)率，當(dāng)通入的電流i1cosωt與i2cosωt同向時(shí)取“-”,反向時(shí)取“+”。

由圖1可知，當(dāng)無外加載荷時(shí)，導(dǎo)電梁的磁彈性振動(dòng)一般方程為

(2)

將式(1)代入電磁力Fz中，可得電磁力的展開表達(dá)式為

(3)

將式(3)用泰勒級數(shù)展開，忽略三次方及以上的高階項(xiàng)，當(dāng)載流導(dǎo)線通同向的交流電，可以得到導(dǎo)電梁的橫向非線性振動(dòng)微分方程

(4)

2 參數(shù)共振與主共振問題的解析求解

2.1 微分方程的伽遼金截?cái)?/h3>

當(dāng)軸向運(yùn)動(dòng)梁受兩端鉸支約束時(shí)，考慮一階模態(tài)情形，設(shè)滿足兩端鉸支梁邊界條件的位移解為

(5)

將式(5)代入式(4)中，進(jìn)行伽遼金積分并無量綱化，可推得含變系數(shù)參數(shù)項(xiàng)和強(qiáng)迫項(xiàng)的非線性振動(dòng)微分方程

(6)

2.2 多尺度法求解

研究系統(tǒng)參數(shù)-主共振問題，當(dāng)應(yīng)用多尺度法求解弱非線性方程式(6)時(shí)，需在方程等號右端引入小參數(shù)ε，即

(7)

為求解式(7)的近似解析解，選用兩個(gè)時(shí)間尺度T1=τ，T2=ετ討論系統(tǒng)參數(shù)共振和主共振方程的一次近似解，令其一次近似解為

x(τ,ε)=x0(T0,T1)+εx1(T0,T1)

(8)

將式(8)代入式(7)中展開，令ε的同冪次系數(shù)相等，得到各階近似的非線性偏微分方程組

(9a)

(9b)

將零次近似方程式(9a)的解寫成復(fù)數(shù)形式

(10)

再將式(10)代入一次近似方程式(9b)的右邊，得到

(11)

式中:cc為等號右端項(xiàng)的共軛復(fù)數(shù)部分。

分析式(11)可知，當(dāng)激勵(lì)頻率與固有頻率間滿足一定關(guān)系時(shí)，系統(tǒng)可能出現(xiàn)不同形式的參數(shù)共振或主共振現(xiàn)象，下面分別進(jìn)行討論。

(1)Ω≈ω0情況

當(dāng)激勵(lì)頻率與系統(tǒng)固有頻率近似相等時(shí)，設(shè)Ω=ω0+εσ，其中σ為引入的頻率調(diào)諧參數(shù)。由式(11)可知，為避免久期項(xiàng)出現(xiàn)，要求A滿足

(12)

將復(fù)函數(shù)A寫成如下指數(shù)形式

(13)

式中:a(T1),β(T1)均為T1的實(shí)函數(shù)。

將式(13)代入式(12)中，實(shí)部與虛部相分離，并令γ=σT1-β，得到關(guān)于a和γ的微分方程組

(14)

對于穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的情況，令式(14)中a′,γ′都為零并且聯(lián)立，可得關(guān)于系統(tǒng)參數(shù)-主共振的狀態(tài)方程

(15)

由式(15)可知，對于系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)解，即含有g(shù)7項(xiàng)的主共振激發(fā)項(xiàng)，也含有g(shù)1,g4,g6項(xiàng)的變系數(shù)參數(shù)共振激發(fā)項(xiàng)，因此，此時(shí)系統(tǒng)可能呈現(xiàn)主共振和參數(shù)共振同時(shí)存在的聯(lián)合共振現(xiàn)象。

(2)Ω≈2ω0情況

當(dāng)激勵(lì)頻率近似等于系統(tǒng)固有頻率的2倍時(shí)，設(shè)Ω=2ω0+εσ，其中σ為引入的頻率調(diào)諧參數(shù)。同理由式(11)可知，為避免久期項(xiàng)，必須令A(yù)滿足

(16)

將式(13)代入式(16)中，實(shí)部與虛部相分離，并令γ=σT1-2β，得到關(guān)于a和γ的微分方程組

(17)

同理，對于穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的情況，令式(17)中a′,γ′都為零可得幅頻響應(yīng)方程

(18)

當(dāng)a=0時(shí)，式(18)成立，令式(17)中a′,γ′都為零，當(dāng)a≠0時(shí)，將a消去并整理可得

(19)

(20)

同理實(shí)部與虛部相分離，并令γ=2σT1-β，得到關(guān)于a和γ的微分方程組

(21)

對于穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)的情況，令式(21)中a′,γ′都為零可得幅頻響應(yīng)方程

(22)

當(dāng)a=0時(shí)，式(22)成立，當(dāng)a≠0時(shí)，將a消去并整理方程可得

(23)

通過對式(23)的解a2=x進(jìn)行判斷發(fā)現(xiàn)，根的判別式Δ<0，所以方程無非零實(shí)數(shù)解，故此時(shí)系統(tǒng)不存在非平凡穩(wěn)態(tài)解。

3 算例分析

下面以軸向運(yùn)動(dòng)銅制材料導(dǎo)電梁進(jìn)行算例分析。主要參數(shù)取值為：彈性模量E=108 GPa，質(zhì)量密度ρ=8 920 kg/m3，導(dǎo)電率σ0=5.714 3×107(Ω·m)-1，真空磁導(dǎo)率μ0=4π×10-7H/m；梁長l=0.3 m，寬b=0.02 m，軸向拉力F0x=2 000 N，電流密度J0=2 A/mm2，導(dǎo)線與梁的距離為d1=0.04 m,d2=0.05 m。

圖2 不同電流頻率下的幅值變化圖Fig.2 The curve of amplitude changes in different current frequency

圖3～圖5為利用龍格-庫塔法求解式(14)，根據(jù)變化不同的初始值找到系統(tǒng)不同類型的奇點(diǎn)，再將不同調(diào)諧參數(shù)對應(yīng)的奇點(diǎn)擬合成幅頻響應(yīng)曲線。

圖3為i2=9 000 A，c=55 m/s，h=0.01 m時(shí)不同導(dǎo)線電流下的系統(tǒng)參數(shù)-主共振幅頻響應(yīng)圖；圖4為i1=10 000 A，i2=9 000 A，c=55 m/s時(shí)不同梁高下的系統(tǒng)參數(shù)-主共振幅頻響應(yīng)圖；圖5為i1=i2=9 000 A，h=0.01 m時(shí)不同軸向運(yùn)動(dòng)速度c下的系統(tǒng)參數(shù)-主共振幅頻響應(yīng)圖。圖3～圖5中曲線中實(shí)心點(diǎn)代表穩(wěn)定解，空心點(diǎn)代表不穩(wěn)定解，從圖中可知，隨著εσ的增大，系統(tǒng)由單值逐漸變?yōu)槎嘀到馇闆r，且多值區(qū)包含穩(wěn)定解和不穩(wěn)定解；在給定εσ范圍內(nèi)，共振幅頻響應(yīng)曲線向右偏移，隨著εσ的改變，曲線呈現(xiàn)硬彈簧特性，系統(tǒng)出現(xiàn)多值性和跳躍現(xiàn)象。

由圖3可知，隨著導(dǎo)線電流i1的增大，曲線的多值區(qū)右移，共振主架曲線呈明顯的外擴(kuò)趨勢；由圖4可知，隨著高度h的增大，曲線多值區(qū)左移，共振主架曲線呈明顯的內(nèi)縮趨勢；由圖5可知，隨著軸向速度c的增大，曲線多值區(qū)右移，共振主架曲線由狹窄的內(nèi)縮逐漸變?yōu)橥鈹U(kuò)趨勢。

圖3 電流i1影響下的幅頻響應(yīng)圖Fig.3 The curve of amplitude frequency in different current i1

圖4 高度h影響下的幅頻響應(yīng)圖Fig.4 The curve of amplitude frequency in different high h

圖5 軸向速度c影響下的幅頻響應(yīng)圖Fig.5 The curve of amplitude frequency in different velocity c

圖6～圖14為運(yùn)用龍格-庫塔法求解式(14)，根據(jù)選取不同的初值，找到不同類型的奇點(diǎn)，繪制了變化導(dǎo)線電流、梁的高度以及軸向速度的動(dòng)相平面軌跡圖。

圖6～圖8為與圖3對應(yīng)得到的不同導(dǎo)線電流i1下的動(dòng)相平面軌跡圖。由曲線可知，隨著調(diào)諧參數(shù)εσ的增大，由單值逐漸變?yōu)槎嘀到?，其中多值解中有一個(gè)不穩(wěn)定解鞍點(diǎn)S2和兩個(gè)穩(wěn)定解焦點(diǎn)S1,S3，鞍點(diǎn)S2逐漸靠近焦點(diǎn)S3，逐漸遠(yuǎn)離焦點(diǎn)S1，與圖3中的隨電流變化的幅頻響應(yīng)結(jié)果吻合；隨著電流的增大曲線逐漸由緊密變得疏松清晰，單值部分曲線形狀發(fā)生變化，由圈繞比較圓潤到圈繞形成類似橢圓形狀。

圖6 當(dāng)i1=9 000 A時(shí)不同εσ對應(yīng)的動(dòng)相圖Fig.6 The curve of dynamic phase trajectory in different frequency with i1=9 000 A

圖7 當(dāng)i1=10 000 A時(shí)不同εσ對應(yīng)的動(dòng)相圖Fig.7 The curve of dynamic phase trajectory in different frequency with i1=10 000 A

圖8 當(dāng)i1=11 000 A時(shí)不同εσ對應(yīng)的動(dòng)相圖Fig.8 The curve of dynamic phase trajectory in different frequency with i1=11 000 A

表1列出了與圖6～圖8對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)解的具體數(shù)值，從表中可以看出，當(dāng)εσ=0時(shí)，隨著導(dǎo)線電流的增大，共振幅值也有增大趨勢，但變化幅度很?。粡臄?shù)值上看單值解和多值解也與幅頻響應(yīng)圖3中的對應(yīng)值相同。

表1 不同導(dǎo)線電流i1下的幅值穩(wěn)態(tài)解(×10-3)

圖9～圖11為與圖4對應(yīng)得到的不同高度h下的動(dòng)相平面軌跡圖。由曲線可知，隨著調(diào)諧參數(shù)εσ的增大，由單值逐漸變?yōu)槎嘀到?，其中多值解中有一個(gè)不穩(wěn)定解鞍點(diǎn)S2和兩個(gè)穩(wěn)定解焦點(diǎn)S1,S3，鞍點(diǎn)S2逐漸靠近焦點(diǎn)S3，逐漸遠(yuǎn)離焦點(diǎn)S1，與圖4中的隨高度變化的幅頻響應(yīng)結(jié)果相吻合；隨著高度的增大，曲線逐漸由緊密變得疏松清晰，但單值部分的曲線圈繞形狀基本沒變。

圖9 當(dāng)h=0.01 m時(shí)不同εσ對應(yīng)的動(dòng)相圖Fig.9 The curve of dynamic phase trajectory in different frequency with h=0.01 m

圖10 當(dāng)h=0.015 m時(shí)不同εσ對應(yīng)的動(dòng)相圖Fig.10 The curve of dynamic phase trajectory in different frequency with h=0.015 m

圖11 當(dāng)h=0.02 m時(shí)不同εσ對應(yīng)的動(dòng)相圖Fig.11 The curve of dynamic phase trajectory in different frequency with h=0.02 m

表2列出了與圖9～圖11對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)解的具體數(shù)值，從表中可以看出，當(dāng)εσ=-0.004時(shí)，隨著高度逐漸增大，共振幅值逐漸減??；從數(shù)值上看單值解和多值解也與幅頻響應(yīng)圖4中的對應(yīng)值相同。

表2 不同梁的高度h下的幅值穩(wěn)態(tài)解(×10-3)

圖12～圖14為與圖5對應(yīng)得到的不同軸向運(yùn)動(dòng)速度c下的動(dòng)相平面軌跡圖。由曲線可知，隨著調(diào)諧參數(shù)εσ的增大，由單值解逐漸變?yōu)槎嘀到?，其中多值解中有一個(gè)不穩(wěn)定解鞍點(diǎn)S2和兩個(gè)穩(wěn)定解焦點(diǎn)S1，S3，與圖5中的隨軸向運(yùn)動(dòng)速度變化的幅頻響應(yīng)結(jié)果相吻合；隨著軸向運(yùn)動(dòng)速度的增大，曲線圈繞的緊密度及形狀沒有發(fā)生變化。

表3列出了與圖12～圖14對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)解的具體數(shù)值，從表中可以看出，當(dāng)εσ=0.002時(shí)，隨著軸向速度逐漸增大，共振幅值逐漸減?。坏儎?dòng)幅度很小，從數(shù)值上看單值解和多值解也與幅頻響應(yīng)圖5中的對應(yīng)值相同。

圖12 當(dāng)c=10 m/s時(shí)不同εσ對應(yīng)的動(dòng)相圖Fig.12 The curve of dynamic phase trajectory in different frequency with c=10 m/s

圖13 當(dāng)c=55 m/s時(shí)不同εσ對應(yīng)的動(dòng)相圖Fig.13 The curve of dynamic phase trajectory in different frequency with c=55 m/s

圖14 當(dāng)c=90 m/s時(shí)不同εσ對應(yīng)的動(dòng)相圖Fig.14 The curve of dynamic phase trajectory in different frequency with c=90 m/s

軸向速度(c)調(diào)諧參數(shù)εσ0.0020.003 7S1S2S30.005S1S2S30.006 5S1S2S30.008S1S2S3c=10 m/s2.941.012.563.570.713.334.06c=55 m/s2.830.822.983.810.603.544.27c=90 m/s2.600.992.623.600.763.153.89

圖15～圖17為利用龍格-庫塔法直接求解式(6)，初值選取為x=0.004，x′=0.000 6，繪制了與圖3對應(yīng)的不同導(dǎo)線電流i1條件下的時(shí)程圖、相圖。其中圖(a)和圖(b)為單值解情況，即一個(gè)穩(wěn)態(tài)解，而圖(c)和圖(d)為多值解情況，即一個(gè)調(diào)諧參數(shù)εσ的值對應(yīng)多個(gè)幅值，但是只有兩個(gè)穩(wěn)定解；且圖中得到的數(shù)值結(jié)果與圖3中的解析結(jié)果相吻合。

由圖15和圖3(a)可以發(fā)現(xiàn)εσ≈0.004 3為分界點(diǎn)；當(dāng)εσ<0.004 3時(shí)，為一個(gè)穩(wěn)定解，隨著εσ的增大，幅值逐漸增大；當(dāng)εσ>0.004 3時(shí)，逐漸出現(xiàn)兩個(gè)穩(wěn)定解，其中幅值較大的隨著εσ增大而增大，幅值較小的隨著εσ增大而減?。煌ㄟ^比較數(shù)值解與解析解發(fā)現(xiàn)，當(dāng)εσ=0.004,εσ=0,εσ=-0.004時(shí)，圖15(a)中所對應(yīng)的幅值大小與圖3(a)中幅值相吻合，當(dāng)εσ=0.004 5時(shí)，圖15(c)中的兩個(gè)解的大小與圖3(a)中的上下兩個(gè)穩(wěn)定解相吻合。

由圖16和圖3(b)可以發(fā)現(xiàn)εσ≈0.004 75為分界點(diǎn)，當(dāng)εσ<0.004 75時(shí)，為一個(gè)穩(wěn)定解，隨著εσ的增大，幅值逐漸增大；當(dāng)εσ>004 75時(shí)，逐漸出現(xiàn)兩個(gè)穩(wěn)定解，其中幅值較大的隨著εσ增大而增大，幅值較小的隨著εσ增大而減?。粩?shù)值解與解析解比較發(fā)現(xiàn)，當(dāng)εσ=0.004,εσ=0,εσ=-0.006時(shí)，圖16(a)中所對應(yīng)的幅值大小與圖3(b)中幅值相吻合，當(dāng)εσ=0.006時(shí)，圖16(c)中的兩個(gè)解的大小與圖3(b)中的上下兩個(gè)穩(wěn)定解相吻合。

由圖17和圖3(c)可以發(fā)現(xiàn)εσ≈0.006 35為分界點(diǎn)，當(dāng)εσ<0.006 35時(shí)，為一個(gè)穩(wěn)定解，隨著εσ的增大，幅值逐漸增大；當(dāng)εσ>0.006 35時(shí)，逐漸出現(xiàn)兩個(gè)穩(wěn)定解，其中幅值較大的隨著εσ增大而增大，幅值較小的隨著εσ增大而減??；比較發(fā)現(xiàn)，當(dāng)εσ=0.006,εσ=0,εσ=-0.004時(shí)，圖17(a)中所對應(yīng)的幅值大小與圖3(c)中幅值相吻合，當(dāng)εσ=0.007時(shí)，圖17(c)中的兩個(gè)解的大小與圖3(c)中的上下兩個(gè)穩(wěn)定解相吻合。

圖15 當(dāng)i1=9 000 A時(shí)不同εσ對應(yīng)的時(shí)程圖和相圖Fig.15 The time history response diagrams and phase plot in different frequency with i1=9 000 A

圖16 當(dāng)i1=10 000 A時(shí)不同對應(yīng)的時(shí)程圖和相圖Fig.16 The time history response diagrams and phase plot in different frequency with i1=10 000 A

圖17 當(dāng)i1=11 000 A時(shí)不同εσ對應(yīng)的時(shí)程圖和相圖Fig.17 The time history response diagrams and phase plot in different frequency with i1=11 000 A

4 結(jié) 論

本文針對載流導(dǎo)線間軸向運(yùn)動(dòng)導(dǎo)電梁的參數(shù)-主共振問題，推導(dǎo)出不同激勵(lì)電流頻率下磁彈性參數(shù)-主共振狀態(tài)方程，并判斷了非零穩(wěn)態(tài)解的存在情況。算例計(jì)算結(jié)果表明：

(1)軸向運(yùn)動(dòng)梁的幅頻響應(yīng)曲線具有多值性和跳躍性現(xiàn)象，呈現(xiàn)硬彈簧特性，具有復(fù)雜的非線性動(dòng)力學(xué)行為。

(2)從動(dòng)向平面軌跡圖中可以看出，隨著調(diào)諧參數(shù)εσ的增大，出現(xiàn)兩個(gè)穩(wěn)定焦點(diǎn)一個(gè)鞍點(diǎn)，且鞍點(diǎn)S2逐漸靠近焦點(diǎn)S3，逐漸遠(yuǎn)離焦點(diǎn)S1，其值與幅頻響應(yīng)曲線中對應(yīng)的計(jì)算結(jié)果相吻合。

(3)從時(shí)程圖、相圖中可以看出，通過改變不同的調(diào)諧參數(shù)，幅值大小變化規(guī)律與動(dòng)相圖和幅頻圖保持一致，驗(yàn)證了解析結(jié)果的正確性。