初探機(jī)械振動(dòng)的有效復(fù)習(xí)策略

浙江

機(jī)械振動(dòng)是一種重要的運(yùn)動(dòng)形式。在高中階段，機(jī)械振動(dòng)的知識(shí)要點(diǎn)主要包含簡諧運(yùn)動(dòng)的規(guī)律、單擺的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)、振動(dòng)圖象的意義和受迫振動(dòng)的特征等四個(gè)方面。為了鞏固和掌握有關(guān)機(jī)械振動(dòng)的相關(guān)知識(shí)，有效提高復(fù)習(xí)效果，本文就機(jī)械振動(dòng)的有效復(fù)習(xí)作粗淺探討以供參考。

一、掌握四大要點(diǎn)

1.簡諧運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)

(1)動(dòng)力學(xué)特征。振動(dòng)物體所受的回復(fù)力與位移成正比，即F=-kx，方向始終與位移方向相反，且總是指向平衡位置。

(3)對(duì)稱性。在振動(dòng)軌跡上關(guān)于平衡位置對(duì)稱的兩點(diǎn)，位移、回復(fù)力、加速度等大反向；速度等大，方向可能相同，也可能相反；動(dòng)能、速率等大；振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)從平衡位置開始第一次通過這兩點(diǎn)所用的時(shí)間相等。

(4)周期性。簡諧運(yùn)動(dòng)是周期性運(yùn)動(dòng)，其位移、速度、加速度、回復(fù)力、動(dòng)能和勢(shì)能都隨時(shí)間做周期性變化。

(5)能量關(guān)系。機(jī)械振動(dòng)的能量只取決于振幅，與周期和頻率無關(guān)；簡諧運(yùn)動(dòng)中只有動(dòng)能和勢(shì)能間的相互轉(zhuǎn)化，則系統(tǒng)機(jī)械能守恒。

2.振動(dòng)圖象

振動(dòng)圖象反映一個(gè)振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間的變化規(guī)律，由圖象可直接讀出振幅、周期和任意時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向。

由于振動(dòng)的周期性和非線性，在從任意時(shí)刻開始計(jì)時(shí)的一個(gè)周期內(nèi)或半個(gè)周期內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程都相等(分別為4A和2A)，但從不同時(shí)刻開始計(jì)時(shí)的四分之一周期內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程不一定相等。

3.單擺

(1)單擺模型。將一根輕質(zhì)且不可伸長的細(xì)線，一端固定另一端系一質(zhì)量大而體積小的鋼球。單擺是一個(gè)理想化的物理模型。

(2)回復(fù)力。由重力沿圓弧切線方向的分力提供，而不是重力和繩子張力的合力提供。

4.受迫振動(dòng)

(1)受迫振動(dòng)：物體在外界驅(qū)動(dòng)力作用下的振動(dòng)。受迫振動(dòng)的頻率在振動(dòng)穩(wěn)定后總是等于外界驅(qū)動(dòng)力的頻率，與物體的固有頻率無關(guān)。

(2)在受迫振動(dòng)中，驅(qū)動(dòng)力的頻率接近物體的固有頻率時(shí)，受迫振動(dòng)的振幅增大，這種現(xiàn)象叫共振。

二、辨析四個(gè)關(guān)系

1.回復(fù)力和合力

使做機(jī)械振動(dòng)的物體回到平衡位置的力叫回復(fù)力?；貜?fù)力是一種效果力，是振動(dòng)物體在振動(dòng)方向上所受的合力，但不一定是物體所受的合力?；貜?fù)力可能由某一個(gè)力，或某一個(gè)力的分力，或某幾個(gè)力的合力提供。在平衡位置，回復(fù)力為零，但物體在該位置所受的合外力不一定為零。回復(fù)力的方向總是指向平衡位置。

2.平衡位置和最低點(diǎn)

做機(jī)械振動(dòng)的物體，所受回復(fù)力為零的位置叫平衡位置。平衡位置不一定是最低點(diǎn)，且所受合力不一定為零。

平衡位置是運(yùn)動(dòng)過程中一個(gè)明顯的分界點(diǎn)，一般是振動(dòng)停止時(shí)靜止的位置，并不是所有往復(fù)運(yùn)動(dòng)的中點(diǎn)都是平衡位置。存在平衡位置是機(jī)械運(yùn)動(dòng)的必要條件，有很多運(yùn)動(dòng)，盡管也是往復(fù)運(yùn)動(dòng)，但并不存在明顯的平衡位置，所以并非機(jī)械振動(dòng)。

3.振動(dòng)圖象和振動(dòng)軌跡

簡諧運(yùn)動(dòng)圖象表示做簡諧運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)的位移隨時(shí)間變化的關(guān)系，是一條正弦(或余弦)曲線，振動(dòng)圖象不是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡。

4.振動(dòng)圖象和波的圖象

(1)研究對(duì)象不同。振動(dòng)圖象是單個(gè)物體，而波的圖象是沿波傳播方向上所有質(zhì)點(diǎn)。

(2)物理意義不同。振動(dòng)圖象表示質(zhì)點(diǎn)在各個(gè)時(shí)刻的位移，波的圖象表示某時(shí)刻所有質(zhì)點(diǎn)的位移。振動(dòng)圖象上任意兩點(diǎn)表示該質(zhì)點(diǎn)在不同時(shí)刻偏離平衡位置的位移，而波的圖象上任意兩點(diǎn)表示不同的兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)刻偏離平衡位置的位移。

(3)一個(gè)完整波形所占橫坐標(biāo)的距離意義不同。振動(dòng)圖象表示一個(gè)周期，波的圖象表示一個(gè)波長。

(4)圖線的變化規(guī)律不同。振動(dòng)圖象隨時(shí)間推移而繼續(xù)延伸，原來部分形狀不變；波的圖象隨時(shí)間推移圖象將沿傳播方向平移，原來部分將不復(fù)存在。

(5)相同點(diǎn)。機(jī)械波是振動(dòng)在介質(zhì)中的傳播，兩者都是按正弦或余弦規(guī)律變化的曲線，振動(dòng)圖象和波圖象中的縱坐標(biāo)均表示質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)位移，它們中的最大值均表示質(zhì)點(diǎn)的振幅。

三、熟解九大題型

1.簡諧運(yùn)動(dòng)基本特點(diǎn)類

利用簡諧運(yùn)動(dòng)的基本特征和基本特點(diǎn)解題，基本特征是運(yùn)動(dòng)學(xué)特征和動(dòng)力學(xué)特征，基本特點(diǎn)是對(duì)稱性和周期性。

【例1】彈簧振子在AOB之間做簡諧運(yùn)動(dòng)，O為平衡位置，測(cè)得A、B之間的距離為8 cm，完成30次全振動(dòng)所用時(shí)間為60 s，則

( )

圖1

B.振子的振動(dòng)頻率是2 Hz

C.振子完成一次全振動(dòng)通過的路程是16 cm

D.從振子通過O點(diǎn)時(shí)開始計(jì)時(shí)，3 s內(nèi)通過的路程為24 cm

【例2】(2017年北京卷)某彈簧振子沿x軸的簡諧振動(dòng)圖象如圖2所示，下列描述正確的是

( )

圖2

A.t=1 s時(shí)，振子的速度為零，加速度為負(fù)的最大值

B.t=2 s時(shí)，振子的速度為負(fù)，加速度為正的最大值

C.t=3 s時(shí)，振子的速度為負(fù)的最大值，加速度為零

D.t=4 s時(shí)，振子的速度為正，加速度為負(fù)的最大值

【分析】從圖象中看到，當(dāng)t=1 s時(shí)，振子在最大位移處，此時(shí)它的速度為零，加速度最大，加速度的方向指向平衡位置，即沿x軸負(fù)方向，選項(xiàng)A正確；同理可知，選項(xiàng)BCD均錯(cuò)誤。

2.振動(dòng)圖象類

從振動(dòng)圖象上可直接得出的振動(dòng)情況有：①任意時(shí)刻相對(duì)平衡位置的位移，或由振動(dòng)位移判定對(duì)應(yīng)的時(shí)刻；②振動(dòng)周期T，振幅A；③任意時(shí)刻回復(fù)力和加速度的方向；④任意時(shí)刻的速度方向。

【例3】一質(zhì)點(diǎn)做簡諧運(yùn)動(dòng)的圖象如圖3所示，下列說法中正確的是

( )

圖3

A.質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)頻率是4 Hz

B.在10 s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程是20 cm

C.第4 s末質(zhì)點(diǎn)的速度為零

D.在t=1 s和t=3 s兩時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的位移大小相等、方向相同

【分析】從振動(dòng)圖象上可直接讀出周期為4 s，則頻率為0.25 Hz，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；在10 s內(nèi)質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的路程是s=2.5×4A=20 cm，選項(xiàng)B正確；從圖中可知，第4 s末質(zhì)點(diǎn)處于平衡位置，此時(shí)的速度最大，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；在t=1 s和t=3 s兩時(shí)刻，質(zhì)點(diǎn)的位移大小相等、方向相反，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。

3.回復(fù)力類

回復(fù)力是一種效果力，是振動(dòng)物體沿振動(dòng)方向所受到的合力，它可能是某個(gè)力或某個(gè)力的分力亦或是物體受到的合力提供。

【例4】關(guān)于回復(fù)力，以下說法中正確的是

( )

A.回復(fù)力是振動(dòng)物體所受到的合外力

B.回復(fù)力是除了重力、彈力、摩擦力之外的另一種力

C.回復(fù)力的大小跟位移成正比，方向始終相反

D.回復(fù)力可能是某個(gè)力提供，也可能是某個(gè)力的分力提供

【分析】由回復(fù)力的性質(zhì)可知，AB選項(xiàng)都是錯(cuò)誤的，而D選項(xiàng)是正確的；只有簡諧運(yùn)動(dòng)，回復(fù)力的大小跟位移成正比，方向始終相反，對(duì)于其他的振動(dòng)，回復(fù)力的大小跟位移并不成正比，因此，C選項(xiàng)錯(cuò)誤。

4.單擺類

單擺由小球的重力沿圓弧切線方向的分力提供回復(fù)力。解題時(shí)要特別注意單擺周期公式中擺長L和重力加速度g的涵義。

【例5】擺球質(zhì)量相等的甲、乙兩單擺懸掛點(diǎn)高度相同，其振動(dòng)圖象如圖4所示。選懸掛點(diǎn)所在水平面為重力勢(shì)能的參考面，由圖可知

( )

圖4

B.ta時(shí)刻甲、乙兩單擺的擺角相等

C.tb時(shí)刻甲、乙兩單擺的勢(shì)能差最大

D.tc時(shí)刻甲、乙兩單擺的速率相等

5.周期性問題類

振動(dòng)過程中，振動(dòng)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于平衡位置的位移隨時(shí)間做周期性變化，這體現(xiàn)了時(shí)間的周期性。這個(gè)特征決定了振動(dòng)問題通常具有多解性。為了準(zhǔn)確地表達(dá)振動(dòng)的多解性，通常寫出含有“n”或“k”的通式，再結(jié)合某些限制條件，得出所需要的特解，這樣可有效地防止漏解。

【例6】(2018年天津卷)一振子沿x軸做簡諧運(yùn)動(dòng)，平衡位置在坐標(biāo)原點(diǎn)。t=0時(shí)振子的位移為-0.1 m，t=1 s時(shí)位移為0.1 m，則

( )

C.若振幅為0.2 m，振子的周期可能為4 s

D.若振幅為0.2 m，振子的周期可能為6 s

【分析】當(dāng)t=0時(shí)刻振子的位移為x=-0.1 m，t=1 s時(shí)刻x=0.1 m，關(guān)于平衡位置對(duì)稱；如果振幅為0.1 m，則1 s 為半周期的奇數(shù)倍；如果振幅為0.2 m，分靠近平衡位置和遠(yuǎn)離平衡位置分析。

6.受迫振動(dòng)類

受迫振動(dòng)的周期取決于驅(qū)動(dòng)力的周期，與固有周期無關(guān)。當(dāng)驅(qū)動(dòng)力的周期(或頻率)等于固有周期(或固有頻率)時(shí)，振動(dòng)的振幅最大。

圖5

【例7】(2013年江蘇卷)如圖5所示的裝置，彈簧振子的固有頻率是4 Hz?，F(xiàn)勻速轉(zhuǎn)動(dòng)把手，給彈簧振子以周期性的驅(qū)動(dòng)力，測(cè)得彈簧振子振動(dòng)達(dá)到穩(wěn)定時(shí)的頻率為1 Hz，則把手轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率為________。

A.1 Hz B.3 Hz C.4 Hz D.5 Hz

【分析】根據(jù)受迫振動(dòng)特點(diǎn)可知，振子的振動(dòng)頻率等于驅(qū)動(dòng)力的頻率，可見，此時(shí)把手轉(zhuǎn)動(dòng)的頻率為1 Hz，選項(xiàng)A正確。

7.鐘表問題類

對(duì)走時(shí)不準(zhǔn)的擺鐘進(jìn)行調(diào)整的問題，應(yīng)抓住以下三點(diǎn)：(1)擺鐘的機(jī)械構(gòu)造決定了鐘擺每完成一次全振動(dòng)，擺鐘所顯示的時(shí)間是一定的，也就是走時(shí)準(zhǔn)確擺鐘的周期T。(2)在擺鐘機(jī)械構(gòu)造不變的前提下，走時(shí)快的擺鐘，在給定時(shí)間內(nèi)全振動(dòng)的次數(shù)多，周期小，鐘面上顯示的時(shí)間快；走時(shí)慢的擺鐘，在給定時(shí)間內(nèi)全振動(dòng)的次數(shù)少，周期大，鐘面上顯示的時(shí)間就慢。(3)無論擺鐘走時(shí)是否準(zhǔn)確，鐘面上顯示的時(shí)間t顯=T×全振動(dòng)的次數(shù)，其中T為走時(shí)準(zhǔn)確擺鐘的周期，對(duì)于走時(shí)不準(zhǔn)確擺鐘，計(jì)算其全振動(dòng)的次數(shù)，不能用鐘面上顯示的時(shí)間除以其周期，而應(yīng)以準(zhǔn)確時(shí)間除以其周期。

【例8】有一擺鐘的擺長為l1時(shí)，在某一標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間內(nèi)快a分鐘，擺長為l2時(shí)，在同一標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間內(nèi)慢b分鐘，為使其準(zhǔn)確，則擺長應(yīng)為多長？(可把鐘擺視為擺角很小的單擺)

【分析】設(shè)該標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間為ts，準(zhǔn)確擺鐘擺長為lm，走時(shí)快的擺鐘周期為T1s，走時(shí)慢的擺鐘周期為T2s，準(zhǔn)確的擺鐘周期為Ts，不管走時(shí)準(zhǔn)確與否，鐘擺每完成一次全振動(dòng)，鐘面上顯示的時(shí)間都是Ts。

8.綜合應(yīng)用類

求解機(jī)械振動(dòng)與其他知識(shí)的綜合題，關(guān)鍵是弄清知識(shí)的聯(lián)系點(diǎn)，再結(jié)合相關(guān)物理規(guī)律和機(jī)械振動(dòng)知識(shí)建立方程。

圖6

【例9】如圖6所示，將質(zhì)量mA=100 g的平臺(tái)A連接在勁度系數(shù)k=200 N/m的彈簧上端，形成豎直方向的彈簧振子，在A的上方放置mB=mA的物塊B，使A、B一起上下振動(dòng)。若彈簧原長為5 cm，g取10 m/s2。求：

(1)當(dāng)系統(tǒng)進(jìn)行小振幅振動(dòng)時(shí)，平衡位置離地面C的高度；

(2)當(dāng)振幅為0.5 cm時(shí)，B對(duì)A的最大壓力；

(3)為使B在振動(dòng)中始終與A接觸，振幅不得超過多少？

【分析】(1)將A與B整體作為振子，當(dāng)A、B處于平衡位置時(shí)，根據(jù)平衡條件得kx0=(mA+mB)g

解得彈簧形變量

則平衡位置距地面的高度為h=l0-x0=5 cm-1 cm=4 cm

(2)已知A、B一起振動(dòng)的振幅A=0.5 cm，當(dāng)A、B振動(dòng)到最低點(diǎn)位置時(shí)，加速度最大，其值為：

加速度的方向豎直向上。

取B物塊為研究對(duì)象，其受到重力mBg、A對(duì)B的支持力FN，其合外力為F=FN-mBg

根據(jù)牛頓第二定律得FN-mBg=mBam

解得FN=mB(g+am)=0.1×(10+5) N=1.5 N

根據(jù)牛頓第三定律知道，B對(duì)A的最大壓力大小為

(3)取B為研究對(duì)象，當(dāng)B振動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)，受到重力mBg和A對(duì)B的支持力FN，其合力為B的回復(fù)力：

F回=mBg-FN

根據(jù)牛頓第二定律得mBg-FN=mBa

當(dāng)FN=0時(shí)，B振動(dòng)的加速度達(dá)到最大值，其最大值為

取A與B整體為研究對(duì)象，受到的最大回復(fù)力為

則振動(dòng)系統(tǒng)的振幅為

當(dāng)振幅A′>1 cm時(shí)，B與A將分離，為使B在振動(dòng)中始終與A接觸，振動(dòng)系統(tǒng)的振幅A′<1 cm。

9.實(shí)際應(yīng)用類

機(jī)械振動(dòng)作為一種重要的運(yùn)動(dòng)形式，在實(shí)際中有著廣泛的應(yīng)用。求解時(shí)要注意弄清實(shí)際問題與機(jī)械振動(dòng)模型的聯(lián)系，再結(jié)合機(jī)械振動(dòng)的相關(guān)知識(shí)建立方程。

【例10】在心電圖儀、地震儀等儀器工作過程中，要進(jìn)行振動(dòng)記錄，如圖7(1)所示是一個(gè)常用的記錄方法，在彈簧振子的小球上安裝一支記錄用筆P，在下面放一條白紙帶。當(dāng)小球振動(dòng)時(shí)，勻速拉動(dòng)紙帶(紙帶運(yùn)動(dòng)方向與振子振動(dòng)方向垂直)，筆就在紙帶上畫出一條曲線，如圖7(2)所示。

圖7(1)

圖7(2)

(1)若勻速拉動(dòng)紙帶的速度為1 m/s，則由圖中數(shù)據(jù)算出振子的振動(dòng)周期；

(2)作出P的振動(dòng)圖象；

(3)若拉動(dòng)紙帶做勻加速運(yùn)動(dòng)，且振子振動(dòng)周期與原來相同，由如圖7(3)中的數(shù)據(jù)求紙帶的加速度大小。

圖7(3)

(2)由圖7(2)可以看出P的振幅為2 cm，則振動(dòng)圖象如圖8所示；

圖8

(3)當(dāng)紙帶做勻加速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，彈簧振子的振動(dòng)周期仍為0.2 s，由圖7(3)可知，兩個(gè)相鄰0.2 s時(shí)間內(nèi)，紙帶運(yùn)動(dòng)的距離分別為0.21 m、0.25 m，由勻變速運(yùn)動(dòng)的規(guī)律Δx=aT2得