基于壓電纖維復合材料的航天器動力學建模與振動抑制*

孫 杰，黃庭軒，朱東方，黃 靜，孫祿君

(1.上海航天控制技術(shù)研究所·上?！?01109； 2.上海市空間智能控制技術(shù)重點實驗室·上?！?01109)

0 引 言

傳統(tǒng)航天器中心剛體的質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量在整個系統(tǒng)中占據(jù)絕對優(yōu)勢，是典型的中心剛體占優(yōu)的剛?cè)狁詈舷到y(tǒng)，其控制模式主要為采用力矩控制形式的被動控制[1-3]。隨著航天技術(shù)的發(fā)展，以大型化、輕質(zhì)化和柔性化為典型特征的大型柔性航天器正在成為新一代航天器發(fā)展的一個重要趨勢[4]。

智能材料和結(jié)構(gòu)在大型柔性航天器上擁有很好的應用前景。傳統(tǒng)驅(qū)動器的體積和質(zhì)量都較大，不便于在軌航天器實現(xiàn)撓性主動抑制，較適合于固定系統(tǒng)或地面系統(tǒng)的振動控制。壓電材料具有質(zhì)量小、易于粘貼于主體結(jié)構(gòu)表面或埋入主體結(jié)構(gòu)內(nèi)部、頻響高、靈敏度高、能量密度高、溫度敏感性低等優(yōu)點，這使得壓電材料適合于航天結(jié)構(gòu)的撓性振動主動抑制。壓電陶瓷(Piezoelectric Ceramic Transducer，PZT)和壓電纖維復合材料(Macro Fiber Composite，MFC)是目前使用最為廣泛的壓電材料。憑借較強的壓電性能和較好的穩(wěn)定性，壓電陶瓷被廣泛應用于傳感器、振動控制、換能器等領(lǐng)域，是當前應用最為普遍的壓電材料[5-9]。LI D X等[8]采用嵌入式的壓電智能結(jié)構(gòu)設(shè)計了一種新的、針對大型柔性空間結(jié)構(gòu)振動抑制的機構(gòu)。QIU Z C等[9]采用陀螺儀和經(jīng)位置優(yōu)化后的PZT壓電片作為傳感器和驅(qū)動器以解耦彎曲和扭轉(zhuǎn)耦合振動的懸臂板結(jié)構(gòu)，建立了壓電板系統(tǒng)的運動方程，并設(shè)計了一種時間離散的滑模變結(jié)構(gòu)控制算法，對柔性懸臂板結(jié)構(gòu)進行了試驗研究。經(jīng)試驗結(jié)果驗證，所提方法可以顯著抑制懸臂板的振動。

近年來，壓電纖維復合材料驅(qū)動器以其良好的驅(qū)動性能得到了廣泛的發(fā)展和應用。圖1所顯示的是Smart Material公司生產(chǎn)的宏纖維復合材料驅(qū)動器，它是目前已經(jīng)實現(xiàn)商業(yè)化的壓電纖維復合材料產(chǎn)品，也是目前應用于航空航天領(lǐng)域中的最為先進的壓電驅(qū)動器。相比傳統(tǒng)的PZT，MFC具有很大的優(yōu)勢。PZT材料脆性大，易碎，不便于加工，同時對于粗糙的材料表面不便實現(xiàn)粘貼，這些缺點限制了PZT材料的應用范圍。壓電纖維材料的出現(xiàn)促進了MFC的誕生，MFC大大改善和增強了PZT材料的脆性和柔韌性，同時又延續(xù)了PZT材料頻響高、靈敏度高的優(yōu)點，并且能量密度更高。MFC已在結(jié)構(gòu)壓電主動控制中顯示出了極大的優(yōu)越性。MFC是當前最先進的驅(qū)動器類型之一，在驅(qū)動載荷和驅(qū)動應變方面的性能大大優(yōu)越于PZT[10]。將兩種不同的MFC應用于1/6縮比的F/A-18模型中進行抖振控制[11]。孫杰等[12]采用MFC驅(qū)動器對全動垂直尾翼的抖振問題進行了主動控制研究。MFC擁有較高的面內(nèi)驅(qū)動性和靈活的驅(qū)動指向性，能夠顯著增強扭轉(zhuǎn)驅(qū)動效果，這使其在航空航天領(lǐng)域中得到了廣泛的關(guān)注。MFC在結(jié)構(gòu)振動控制領(lǐng)域中取得了優(yōu)異的應用成果，將MFC應用于大型柔性航天器的振動抑制領(lǐng)域具有極好的應用前景。

圖1 MFC壓電驅(qū)動器Fig.1 MFC piezoelectric actuator

綜合國內(nèi)外的研究現(xiàn)狀，可以看出MFC驅(qū)動器在航空領(lǐng)域中得到了廣泛應用，但其在航天器尤其是大型柔性航天器上還鮮有應用。本文基于壓電纖維復合材料驅(qū)動器，建立了帶有壓電驅(qū)動的剛?cè)狁詈蟿恿W方程，對柔性航天器的姿態(tài)運動與撓性振動進行了耦合分析，并研究了在外界激勵條件下對姿態(tài)運動與振動的協(xié)同控制。

1 粘貼MFC驅(qū)動器的航天器剛?cè)狁詈蟿恿W模型的建立

首先介紹壓電纖維復合材料驅(qū)動器的建模方法。圖2所示的是壓電纖維復合材料驅(qū)動器的典型驅(qū)動模式。一對壓電纖維復合材料片分別對稱粘貼于主體結(jié)構(gòu)的上下表面，驅(qū)動彎矩或扭矩可由在壓電纖維復合材料片上下分別施加相反的驅(qū)動電壓而獲得。在圖2中，1、2和3坐標系為驅(qū)動器材料坐標系；x、y和z坐標系為空間結(jié)構(gòu)坐標系。壓電纖維復合材料與壓電陶瓷材料的不同之處在于， 1方向為壓電纖維的鋪設(shè)方向，同時1方向為壓電纖維的極化方向，因此只有1方向上的電場強度E1≠0，其余兩個方向上的E2和E3均等于0。同樣，在1和2方向上能夠產(chǎn)生驅(qū)動應變，而3方向上為壓電應變，不產(chǎn)生驅(qū)動。σ1和σ2分別為壓電驅(qū)動器上的主向應力。

在壓電纖維復合材料中，壓電纖維的排列方向具有指向性和可設(shè)計性。圖2所示的是壓電纖維(1方向)沿x坐標軸進行0°鋪設(shè)。如果壓電纖維與結(jié)構(gòu)坐標軸之間存在夾角，則會產(chǎn)生由切向應力組成的力矩(如圖3所示)，這與壓電陶瓷只產(chǎn)生由正應力組成的力矩明顯不同。在圖3中，σx和σy分別為壓電驅(qū)動器上的正應力，τxy和τyx分別為切應力。很顯然，由切向應力組成的力矩對結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)效果的產(chǎn)生是很有益的。

圖2 結(jié)構(gòu)上下表面分布壓電纖維復合材料(纖維0°鋪設(shè))的示意圖Fig.2 Sketch of MFC distributed on the upper and lower surfaces of the structure (the fibers are laid at 0 degrees)

圖3 結(jié)構(gòu)坐標系下壓電單元的應力分布Fig.3 Stress distribution of piezoelectric element in structural coordinates

下面介紹壓電驅(qū)動的載荷比擬方法[13]。根據(jù)載荷比擬方法，可以對壓電單元的響應分析進行有效的模擬。MFC驅(qū)動器和本體結(jié)構(gòu)的厚度分別為t1和t2，長度和寬分別為l1和w1。其中，厚度t1和t2遠小于l1和w1，屬于平面應力問題范疇。假定等效載荷作用于壓電驅(qū)動器中性面的中心，那么在對驅(qū)動器施加一對相反的電壓時，能夠產(chǎn)生的彎矩和扭矩分別為

Mw=σ1w1t1(t1+t2)

(1)

MT=σ2l1t1(t1+t2)

(2)

由壓電驅(qū)動載荷比擬方法得到的驅(qū)動力矩只需施加在壓電結(jié)構(gòu)的邊界，這是由于內(nèi)部加載的力矩已全部被抵消。同時，僅需使用二維模型，大大簡化了有限元模型的整體規(guī)模，尤其在處理復雜的壓電結(jié)構(gòu)時可使建模難度大大降低，這也是采用壓電驅(qū)動載荷比擬方法的最大優(yōu)勢所在。

圖4所示的是粘貼有MFC驅(qū)動器的柔性航天器的簡化示意圖，由中心剛體和柔性梁組成，是典型的剛?cè)狁詈隙囿w系統(tǒng)。o-XYZ為慣性坐標系，o-xyz為固定在中心剛體上的隨體坐標系，Z(z)軸方向按照右手法則確定。本文研究單軸轉(zhuǎn)動航天器，即中心剛體只考慮沿Z軸方向的轉(zhuǎn)動自由度，柔性梁只考慮xoy平面內(nèi)的振動。MFC驅(qū)動器沿柔性體上下表面對稱粘貼。中心剛體的姿態(tài)角用θ表示，中心剛體上可以施加控制力矩Mr。柔性梁采用歐拉-伯努利梁進行建模。

圖4 粘貼MFC的柔性航天器的示意圖Fig.4 Sketch of a flexible spacecraft with MFC actuators

粘貼有MFC驅(qū)動器的懸臂梁的結(jié)構(gòu)動力學方程可表示為

(3)

式(3)中，Mu、Cu和Ku分別為結(jié)構(gòu)質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，u為結(jié)構(gòu)位移，F(xiàn)為外力矢量，Kuφ是力電耦合矩陣，Kφφ是介電剛度矩陣；φ表示電勢矢量；Fφ表示壓電驅(qū)動力。電勢φ通過施加在壓電驅(qū)動器上的電壓來進行控制。因此，帶壓電驅(qū)動的懸臂梁的結(jié)構(gòu)動力學方程可表示為

(4)

使用模態(tài)離散方法，式(4)可以變換為

(5)

式(5)中，

(6)

根據(jù)哈密頓原理，可得到系統(tǒng)連續(xù)形式的剛?cè)狁詈蟿恿W方程，再結(jié)合式(5)可得到基于MFC驅(qū)動器的離散形式的剛?cè)狁詈蟿恿W方程

(7)

2 LQR控制算法

將式(7)簡化為線性形式

(8)

則式(8)可以表示為

(9)

由式(9)可得系統(tǒng)狀態(tài)空間方程

(10)

Kf=R-1BTP

(11)

式(11)中，矩陣P滿足以下的黎卡提方程

PA+ATP-PBR-1BTP+Q=0

(12)

3 數(shù)值模擬及結(jié)果分析

3.1 數(shù)值算例

帶壓電纖維復合材料驅(qū)動器的中心剛體-柔性梁系統(tǒng)的參數(shù)為：柔性梁的長度為2m，寬為0.1m，厚度為0.00215m，彈性模量為70GPa，泊松比為0.3，密度為2700 kg/m3，忽略結(jié)構(gòu)阻尼；中心剛體邊長r0=0.3m，轉(zhuǎn)動慣量為1.1664kg·m2。由于本文著重于基于MFC的航天器振動抑制方法和機理的研究，所以暫不考慮驅(qū)動器的位置優(yōu)化問題，只采用一片MFC驅(qū)動器粘貼于靠近柔性梁的根部處。驅(qū)動器左端距離梁根部的長度為0.1m，其壓電纖維沿柔性梁軸向方向鋪設(shè)。MFC驅(qū)動器的長度為0.6m，寬度為0.1m，厚度為0.0003 m，其材料參數(shù)如表1所示，其中單位C/N表示庫倫/牛頓。載荷激勵施壓于柔性梁的自由端p處，振動位移響應的輸出點同樣為p點。經(jīng)計算，柔性梁的前五階固有頻率分別為0.442Hz、2.76Hz、7.71Hz、15.06Hz、24.8Hz，LQR控制器的控制參數(shù)分別為Q=diag(100)12×12、R=0.1。

表1 MFC的參數(shù)

在柔性梁自由端處施加典型脈沖激勵力載荷，分別計算系統(tǒng)在未受控和受控后的位移響應、中心剛體的姿態(tài)角及姿態(tài)角速度。脈沖載荷的幅值為100N，作用時間為0.0005s。采用4階龍格-庫塔法，計算得到的梁自由端處的位移響應、中心剛體的姿態(tài)角分別如圖5、圖6所示。

圖5 柔性梁自由端的開環(huán)位移響應Fig.5 Open-loop displacement response at free end of the flexible beam

圖6 中心剛體的開環(huán)姿態(tài)角Fig.6 Open-loop attitude of the central rigid body

采用MFC主動控制方法對柔性航天器的彈性振動和中心剛體的姿態(tài)運動進行協(xié)同控制。為了說明主動控制的控制效果，將其結(jié)果與采用被動控制的結(jié)果進行比較，以分析將MFC驅(qū)動器應用于柔性航天器振動抑制的機理。兩種控制方案都使用了LQR最優(yōu)控制，并且控制參數(shù)相同。當采用主動控制時，施加在中心剛體上的Mr為零。

在分別采用MFC主動控制和被動控制后，梁自由端處的位移響應、中心剛體的姿態(tài)角及角速度分別如圖7～圖9所示。

在采用MFC主動控制后，施加在MFC驅(qū)動器上的驅(qū)動電壓如圖10所示，在采用被動控制后施加在中心剛體上的驅(qū)動力矩如圖11所示。

圖7 柔性梁自由端的閉環(huán)位移響應Fig.7 Closed-loop displacement responses at free end of the flexible beam

圖8 中心剛體的閉環(huán)姿態(tài)角Fig.8 Closed-loop attitude angles of the central rigid body

圖9 中心剛體的閉環(huán)姿態(tài)角速度Fig.9 Closed-loop attitude angular velocities of the central rigid body

圖10 施加在MFC上的驅(qū)動電壓Fig.10 Driving voltage applied to the MFC actuator

圖11 施加在中心剛體上的驅(qū)動力矩Fig.11 Driving moment applied to the central rigid body

3.2 結(jié)果分析

此算例中柔性梁與中心剛體的轉(zhuǎn)動慣量之比(即柔性比)為2，即為典型的柔性占優(yōu)的航天器。從圖7可以看出，采用MFC主動控制，位移響應在1.8s即可收斂到0，而采用被動控制在5s時才能收斂。由于MFC驅(qū)動器的控制頻帶比較寬，對于由復雜外界激勵引發(fā)的高頻振動也能較好地進行抑制，而被動控制方法對高頻振動的抑制效果較差。在采用被動控制時，即使在5s時仍然存在微小的高頻振動。針對中心剛體的姿態(tài)角可以得到同樣的規(guī)律，如圖8所示。從圖9可以看出，采用MFC主動控制的姿態(tài)角速度可以更快地收斂到0，說明其姿態(tài)穩(wěn)定性更強。圖10是采用主動控制時施加在MFC上的驅(qū)動電壓。壓電驅(qū)動載荷比擬方法可使壓電結(jié)構(gòu)的動力學建模難度大大降低，在處理復雜的航天器壓電結(jié)構(gòu)時尤其具有顯著的優(yōu)勢。

本文只采用1片MFC驅(qū)動器對航天器的振動進行了主動抑制。如果在航天器柔性體的表面粘貼多片經(jīng)過位置優(yōu)化和壓電纖維鋪設(shè)角度優(yōu)化后的MFC驅(qū)動器，則航天器的振動抑制效果將會更好，同時中心剛體的姿態(tài)穩(wěn)定性將會更高。因此，MFC驅(qū)動器在柔性航天器的撓性振動抑制中具有很好的應用前景。

4 結(jié) 論

本文研究了基于壓電纖維復合材料驅(qū)動器的柔性航天器的振動抑制問題。利用哈密頓原理和壓電驅(qū)動的載荷比擬方法，建立了帶MFC驅(qū)動的離散形式的剛?cè)狁詈蟿恿W方程，采用LQR最優(yōu)控制算法進行了主動控制。結(jié)果表明，使用MFC可以實現(xiàn)航天器撓性振動的快速抑制，并且可同時保持中心剛體姿態(tài)的穩(wěn)定性，即能夠?qū)崿F(xiàn)柔性航天器撓性振動與姿態(tài)運動的協(xié)同控制。由于MFC驅(qū)動器的控制頻帶較寬，基于MFC的主動控制方法對于高頻響應也具有較好的控制效果。針對柔性占優(yōu)的航天器，采用主動控制方法相比被動控制方法在響應收斂的速度和姿態(tài)穩(wěn)定性方面更具優(yōu)勢。本文方法在處理具有復雜柔性壓電結(jié)構(gòu)的航天器時可使建模難度大幅降低，具有顯著的優(yōu)勢，更適合于工程應用。MFC驅(qū)動器在柔性航天器的動力學控制中具有很好的應用前景。本文只采用1片MFC進行主動控制，后續(xù)應考慮粘貼多片MFC，并對MFC驅(qū)動器的粘貼位置及壓電纖維的鋪設(shè)角度進行優(yōu)化設(shè)計。