動與靜　直觀與推理相結(jié)合

劉偉　強小磊

摘要：分析解答動態(tài)問題時，應注意“動靜”結(jié)合;解答作圖存在性問題時，要重視論證圖形的存在性;在解答中，要高度重視暴露思考過程與解答方法.

關鍵詞：動靜結(jié)合;存在說理;暴露思考過程

l 題目呈現(xiàn)

題目 （2018年陜西省中考第25題是[1]）

問題提出 （1）如圖1，在△ABC中，∠A= 120°，AB =AC =5，則△ABC的外接圓半徑R的值為____.

問題探究 （2）如圖2，⊙0的半徑為13，弦AB= 24，M是AB的中點，P是⊙0上一動點，求PM的最大值，

問題解決（3）如圖3所示，AB、AC、BC是某新區(qū)的三條規(guī)劃路，其中AB= 6km，AC= 3km，∠BAC=60°，BC所對的圓心角為60°.新區(qū)管委會想在BC路邊建物資總站點P，在AB、AC路邊分別建物資分站點E、F.也就是，分別在BC、線段AB、AC上選取點P、E、F.由于總站工作人員每天要將物資在各物資站點間按P→E→F→P的路徑進行運輸，因此，要在各物資站點之間規(guī)劃道路PE、EF和FP.為了快捷環(huán)保和節(jié)約成本要使得線段PE、EF、FP之和最短，試求PE+EF+ FP的最小值（各物資站點與所在道路之間的距離、路寬均忽略不計）.

2 題目解析

解 （1）利用圓周角與圓心角的關系，易得R的值為5.

（2）如圖4，連接OM，OA，OP，延長MO交⊙0于點P.因為M是弦AB的中點，所以OM⊥AB，AM=1/2AB=12，則OM=5.

由圖易知：PM≤OM+ OP=OM+ OP=MP=18.當點P運動到點P時，PM取得最大值，最大值是18.

對于第（3）問的解答，其思考過程，應分如下兩個主要環(huán)節(jié)：

2.1 用“靜與動”相互轉(zhuǎn)化的方法探索初步的解法

解決三條線段之和最短問題通常的思路是：設法將三條線段轉(zhuǎn)化在一條直線上.

如圖5所示，假定E、F、P三點就是所定的三點（是解答作圖問題的起步[2]，屬靜態(tài)思考范疇），根據(jù)解答此問題的基本思路，可作點P關于AB的對稱點P′，點P關于AC的對稱點p″，于是EP= EP′，F(xiàn)P=FP″.求AEPP的周長可轉(zhuǎn)化為P′E+ EF+FP″的長.若要P′E+ EF+ FP″的值最小，則P′、E、F、P″四點共線.連接P′p″，由于E、F是動點，所以只要點E運動到點E′，點F運動到點F′，就有P′、E、F、P″四點共線（屬動態(tài)思考范疇）.

另一方面，連接AP、AP′、AP″.因為∠BAC= 60°，由對稱性有AP=AP =AP″，∠P'AP"= 120°.

所以AAP′P″為120°的鈍角等腰三角形.要P′p″最短，則應滿足AP′的長最短，即AP的長最短即可（靜態(tài)思考）.

由于點P是BC上的動點，點A是BC所在圓的圓外一點，設這個圓的圓心為0，那么從整體角度來考慮，問題就轉(zhuǎn)化為圓外一點到圓上一點的最短距離問題（從動態(tài)角度看，問題轉(zhuǎn)化為圓中一個基本問題）.所以點P應是OA連線與⊙0的交點，此時AP線段的長應是最短的.這時應解決的問題是：點P在BC上嗎？

2.2 用“直觀與推理”相結(jié)合的方法說明問題的存在性

如圖6所示，從直觀角度看，點P在BC上.要準確說明點P在BC上，應進行論證.簡單說：因為分析問題的出發(fā)點是從假定E、F、P三點滿足條件開始的，找點P是從BC所在圓來分析的.

連接BC、OB、oc、OA，設OA與⊙0相交于點P.

因為AB= 6km，AC= 3km，∠BAC= 60°，BC所對的圓心角為60°，則AB的中點到A、B、C三點的距離均為3km，所以∠ACB= 90°，則∠ABC= 30°，ABOC為等邊三角形.

說明 點P在BC上有如下兩種方法：

方法1 在四邊形ABOC中，因為∠ABO= 90 °，∠ACO =90 ° +60 °= 150 °，所以OA在四邊形ABOC內(nèi)部，即點P在BC上.

方法2 因為點B到AC的距離為BC =AC.tan60 °=3√3.

又因為AB=6，OB =3√3，則OA= 3√7.

從過程上看，解答動態(tài)問題時，應注意用“動與靜”相結(jié)合的方法來分析問題;解答作圖存在性問題時，要重視說明圖形的存在性，否則總有不完善之處.從讓學生掌握解答方法角度上分析，解答中要注意暴露分析、思考過程與解答方法，

參考文獻：

[I]杜志建.全國各省市中考試卷匯編.45套數(shù)學[M].烏魯木齊：新疆青少年出版社，2018.

[2]朱德祥.初等幾何研究[M].北京：高等教育出版社出版，1985.