一種穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成算法

沈肖雅，葛俊祥，王 奇

(1.南京信息工程大學(xué) 江蘇省氣象探測與信息處理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 南京 210044；2.南京信息工程大學(xué)， 南京 210044)

0 引 言

自適應(yīng)波束形成又稱為空域自適應(yīng)濾波，是陣列信號(hào)處理的重要內(nèi)容，它在雷達(dá)、通信、射電天文以及醫(yī)學(xué)影像等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用[1-4]。傳統(tǒng)自適應(yīng)波束形成在理想情況下能夠獲得良好性能，但當(dāng)陣列模型存在失配導(dǎo)致導(dǎo)向矢量無法精確獲得時(shí)，波束形成器性能下降，尤其是訓(xùn)練數(shù)據(jù)中包含期望信號(hào)時(shí)，期望信號(hào)有可能被當(dāng)成干擾，從而出現(xiàn)信號(hào)自消現(xiàn)象[5]。同時(shí)，若波束形成器在干擾方向形成的零陷極窄，這造成干擾必須完全對(duì)準(zhǔn)零陷位置才能被抑制，然而實(shí)際中可能出現(xiàn)干擾移動(dòng)，天線接收平臺(tái)的振動(dòng)等情況，導(dǎo)致干擾偏離零陷位置，嚴(yán)重情況下，常規(guī)方法可能完全失效[6]。

目前，針對(duì)陣列模型失配提出的穩(wěn)健算法主要為：對(duì)角加載算法、特征空間算法、不確定集約束算法以及協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法。對(duì)角加載波束形成算法[7](Diagnoal Loading，DL)是在協(xié)方差矩陣對(duì)角元素上添一個(gè)加載因子，從而抑制權(quán)向量中的噪聲，但最優(yōu)加載因子的不易確定[8-9]。文獻(xiàn)[10]采用投影波束形成方法是對(duì)特征空間算法的進(jìn)一步改善，其將失配的導(dǎo)向矢量向信號(hào)加干擾子空間進(jìn)行投影，將投影分量作為修正后的導(dǎo)向矢量，從而提高了導(dǎo)向矢量失配的魯棒性。以上兩類算法是對(duì)采樣協(xié)方差矩陣進(jìn)行了改進(jìn)，而采用不確定集約束的穩(wěn)健波束形成方法[11-12]可看成是對(duì)導(dǎo)向矢量的改進(jìn)，如最典型的穩(wěn)健Capon波束形成[13](Robust Capon Beamformer，RCB)算法，但由于仍沒有將期望信號(hào)剔除，在高信噪比和導(dǎo)向矢量失配角度較大[14]時(shí)，算法性能下降。為了解決協(xié)方差矩陣中包含期望信號(hào)的問題，文獻(xiàn)[15]通過Capon空間譜估計(jì)，對(duì)除去期望信號(hào)的協(xié)方差矩陣重構(gòu)，因此能夠降低期望信號(hào)失配對(duì)算法的影響，文獻(xiàn)[15-18]是基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的一些不同的波束形成算法。以上是對(duì)陣列模型存在失配提出的一些方法，而針對(duì)干擾位置擾動(dòng)的問題通常采用零陷加寬的方法，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)擾動(dòng)干擾的抑制。Mailloux[19]和 Zatman[20]都對(duì)零陷加寬問題進(jìn)行了研究，且各自獨(dú)立提出了解決方法。Gershman[21]提出了在干擾方向施加導(dǎo)數(shù)約束來加寬干擾零陷的方法，但是該方法運(yùn)算量大，零陷加寬不明顯。李榮峰[22]從干擾位置變化的角度出發(fā)，實(shí)現(xiàn)了干擾在正態(tài)分布特性時(shí)的零陷展寬，而當(dāng)干擾模型為均勻分布時(shí)與 Zatman的方法等同。王金博[23]采用了基于最小均方誤差準(zhǔn)則對(duì)權(quán)值進(jìn)行二次約束得到新的權(quán)值，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)了零陷加寬。

綜上可知，如何提高系統(tǒng)的抗失配和抗運(yùn)動(dòng)干擾的能力是亟需解決的問題，而本文針對(duì)以上問題，采用重構(gòu)協(xié)方差矩陣和二次約束的方法來提高算法的穩(wěn)健性。

1 問題描述

1.1 陣列信號(hào)模型

假設(shè)入射信號(hào)均為相互獨(dú)立的遠(yuǎn)場窄帶信號(hào)，接收端是一個(gè)M元均勻線列陣，陣元間距d為半波長，設(shè)定一個(gè)期望信號(hào)從θ0方向入射和P個(gè)方向?yàn)棣萰，j=1，2，…，p的干擾信號(hào)，且M>P+1，則陣列接收信號(hào)可表示為：

X(k)=AS(k)+n(k)=

xs(k)+xi(k)+n(k)

(1)

其中，A=[a(θ0),a(θ1),…,a(θp)]T為M×(P+1)的陣列流型矩陣，S(k)為信號(hào)復(fù)包絡(luò)向量，a(θ0)為期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量，a(θj)為干擾信號(hào)的導(dǎo)向矢量，n(k)為復(fù)高斯白噪聲且與入射信號(hào)互不相關(guān)。

定義符號(hào)‖H為矩陣共軛轉(zhuǎn)置，陣列天線的接收信號(hào)協(xié)方差矩陣為：

R=E[x(k)x(k)H]=Rs+Ri+n=

(2)

根據(jù)最大化輸出信干噪比(MSINR)準(zhǔn)則，即：

(3)

標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成[1]問題可以表示成如下最優(yōu)化問題：

minwHRi+nw

(4a)

s.t.wHa(θ0)=1

(4b)

由此可得最優(yōu)權(quán)值為：

(5)

(6)

1.2 零陷展寬技術(shù)

Mailloux[19]和Zatman[20]分別提出了一種針對(duì)移動(dòng)強(qiáng)干擾的零陷展寬方法。雖然兩種方法本質(zhì)上是相同的，但Zatman方法中的噪聲項(xiàng)沒有受到影響，因此該方法優(yōu)于Mailloux的方法。Guerci[24]提出的Mailloux-Zatman方法是對(duì)采樣協(xié)方差矩陣加權(quán)實(shí)現(xiàn)，得到的增強(qiáng)協(xié)方差矩陣可表示為：

RMZ=R·TMZ

(7)

其中，符號(hào)·表示Hadamard乘積，TMZ為一般實(shí)正定矩陣，而且它的第mn個(gè)元素為：

(8)

其中，Δ為零陷寬度。此方法由于采用多個(gè)虛擬干擾源代替原本的單個(gè)干擾，因?yàn)槊總€(gè)虛擬干擾源的功率較小，將導(dǎo)致零陷深度變淺，旁瓣升高。

2 本文提出的算法

2.1 干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)

(9)

(10)

2.2 期望導(dǎo)向矢量估計(jì)

為了提高算法抗導(dǎo)向矢量失配誤差的魯棒性，采用了基于MUSIC譜算法[25]來獲取信號(hào)的入射方向，由于信號(hào)與噪聲相互獨(dú)立，數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣可以分解為相互正交的信號(hào)子空間和噪聲子空間，則采樣協(xié)方差矩陣的子空間形式如下：

(11)

aH(θ)UN=0

(12)

所以，MUSIC算法的譜估計(jì)公式為：

(13)

由此利用MUSIC譜估計(jì)法重構(gòu)期望信號(hào)協(xié)方差矩陣：

(14)

(15)

在實(shí)際應(yīng)用中，對(duì)于一維導(dǎo)向矢量有下式成立：

aH(θ)a(θ)=M

(16)

那么估計(jì)的期望導(dǎo)向矢量為：

(17)

可得重構(gòu)后新的權(quán)值公式：

(18)

2.3 基于二次約束的零陷展寬

本文采用了對(duì)輸出權(quán)值與最優(yōu)權(quán)值之差平方最小的二次約束和對(duì)干擾輸出功率進(jìn)行參數(shù)約束的方法，實(shí)現(xiàn)了干擾零陷加寬并且寬度可調(diào)。

要使wnew盡可能的接近最優(yōu)權(quán)值W，對(duì)自適應(yīng)權(quán)值二次約束，可得約束方程如下：

minf(W)=‖W-wnew‖2

(19a)

(19b)

其中，ε為大于0的約束參數(shù)。對(duì)于式 (19)的最優(yōu)化問題，可以利用Lagrange乘數(shù)法進(jìn)行求解，可得：

(20)

其中，λ為Lagrange乘數(shù)，文獻(xiàn)[26]中對(duì)λ進(jìn)行了限制，即要求λ≥0。其實(shí)對(duì)于上面的約束最優(yōu)化問題，λ可以取任意實(shí)數(shù)，即λ∈R，在此沒有對(duì)其進(jìn)行限制。

對(duì)式(20)關(guān)于W求導(dǎo)：

(21)

令式(21)等于零，可以得到W的解為：

(22)

2.4 最優(yōu)Lagrange乘數(shù)的求解

(23)

(24)

(25)

(26)

為了便于分析，令

(27)

(28)

進(jìn)行簡化，可得：

(29)

(30)

此處的算法步驟總結(jié)如下：

Step3 確定最優(yōu)λ，代入式(22)得到最優(yōu)權(quán)值W。

3 仿真結(jié)果及分析

實(shí)驗(yàn)一：約束參數(shù)ε改變時(shí)，分別采用正負(fù)拉格朗日乘數(shù)的本文算法分析

圖1 不同參數(shù)下的正負(fù)加載波束圖

從圖1(a)可以看出，當(dāng)約束參數(shù)ε較大時(shí)，采用正負(fù)加載的本文算法都能很好的實(shí)現(xiàn)導(dǎo)向失配校準(zhǔn)和零陷加寬，隨著約束參數(shù)的變小如圖1(b)、圖1(c)，零陷深度加深，但圖1(c)正負(fù)加載下的算法性能都有所下降，主瓣變寬，旁瓣升高，隨著約束參數(shù)越小精度越高，拉格朗日乘數(shù)極大，本文算法性能下降。綜上可知，本文算法還是很好的實(shí)現(xiàn)了抗運(yùn)動(dòng)干擾同時(shí)提高了抗系統(tǒng)誤差的魯棒性。

實(shí)驗(yàn)二：存在指向誤差時(shí)不同算法的波束圖分析

圖2 不同算法的歸一化波束圖

從圖2(a)可以看出，RCB算法雖然針對(duì)導(dǎo)向矢量失配問題進(jìn)行了不確定集約束，但當(dāng)角度失配較大時(shí)，主瓣指向產(chǎn)生了偏差，甚至在期望信號(hào)的真實(shí)入射方向附近產(chǎn)生了零陷；文獻(xiàn)[23]算法是對(duì)零陷展寬的算法，可以看出其在干擾方向?qū)崿F(xiàn)了加寬，但是對(duì)導(dǎo)向矢量失配的情況無法得到解決，旁瓣升高，性能急劇下降；文獻(xiàn)[15]算法可看出在角度失配下，主瓣仍能對(duì)準(zhǔn)期望信號(hào)的真實(shí)方向，具有著抗失配的穩(wěn)健性，但在干擾位置形成的零陷非常陡峭，對(duì)運(yùn)動(dòng)干擾不能很好抑制；本文算法由于采取了二次約束的零陷展寬和干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)及導(dǎo)向矢量估計(jì)，因此校正了主瓣指向，同時(shí)干擾方向?qū)崿F(xiàn)了零陷展寬且可調(diào)，也可以看出相比文獻(xiàn)[23]算法零陷深度加深。圖2(a)、2(b)、2(c)分別是失配角度為6°，7°和8°時(shí)的波形圖，從中可以看出當(dāng)失配角度大于7°時(shí)，本文算法也出現(xiàn)了較大失配。

實(shí)驗(yàn)三：不同輸入SNR下的輸出SINR分析

圖3 輸出SINR隨輸入SNR的變化情況

從圖3可以看出，由于文獻(xiàn)[23]王金博的算法無法解決期望信號(hào)導(dǎo)向矢量失配問題，因此性能遠(yuǎn)遠(yuǎn)偏離了理論值，并會(huì)隨著輸入SNR的增大惡化加劇。RCB算法雖然對(duì)導(dǎo)向矢量失配采用了不確定集約束，性能有所改善，但由于采樣協(xié)方差矩陣仍然包含期望信號(hào)分量，造成失配角度較大時(shí)，性能下降，可以看出高信噪比下，逐漸惡化。文獻(xiàn)[15]算法由于重構(gòu)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，實(shí)現(xiàn)了期望指向不偏移，增強(qiáng)了算法的穩(wěn)健性。本文算法由于從根本上解決了期望信號(hào)和擾動(dòng)干擾對(duì)算法的影響，期望導(dǎo)向矢量失配在一定的范圍內(nèi)時(shí)算法可保持它的穩(wěn)健性，輸出SINR與理論情況相差很小。

實(shí)驗(yàn)四：少快拍數(shù)下的輸出SINR分析

圖4 輸出SINR隨快拍數(shù)的變化情況

由圖4可知，本文算法在快拍數(shù)約為30時(shí)就能達(dá)到收斂，且其輸出SINR是最接近最優(yōu)理論值的。相比較本文算法，文獻(xiàn)[15]達(dá)到收斂所需的快拍數(shù)也較小，但它的輸出 SINR與理論值相差將近3dB。文獻(xiàn)[23]由于大角度失配的原因，性能惡化，相較于文獻(xiàn)[23]而RCB算法有所改善。綜上可得，本文算法不僅最快達(dá)到收斂，而且輸出SINR也是最接近最優(yōu)輸出值，其性能最佳。

實(shí)驗(yàn)五：隨失配角度變化的輸出SINR分析

快拍數(shù)為N=50，輸入SNR=10 dB，干噪比均為30 dB。圖5為期望信號(hào)的失配角度在[-8:1:8]之間變化時(shí)，幾種方法的輸出SINR變化曲線對(duì)比圖。

圖5 輸出SINR隨失配角度的變化情況

由圖5可知，當(dāng)期望信號(hào)導(dǎo)向矢量角度偏離較大時(shí)，本文算法依然與最優(yōu)的輸出SINR接近，但失配角度大于7度時(shí)，主瓣方向也不能完全對(duì)準(zhǔn)實(shí)際期望方向。而文獻(xiàn)[15]協(xié)方差矩陣重構(gòu)法雖然抗失配角度也較大，但輸出SINR要略低于本文算法。RCB算法受到協(xié)方差矩陣中的期望信號(hào)分量的影響和文獻(xiàn)[23]由于沒有針對(duì)導(dǎo)向矢量失配做出改進(jìn)，輸出SINR均不同程度的偏離了最優(yōu)理論值。

4 結(jié) 語

近十幾年來，國內(nèi)外學(xué)者提出了一些改善自適應(yīng)波束穩(wěn)健性的方法，也使得穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成為了當(dāng)前陣列處理的研究熱點(diǎn)。這其中基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的算法能夠改善一般導(dǎo)向矢量失配的穩(wěn)健性，而本文也是采用了這種方法解決導(dǎo)向矢量失配問題同時(shí)對(duì)干擾矩陣構(gòu)造寬零陷，再對(duì)自適應(yīng)權(quán)值進(jìn)行二次約束和對(duì)干擾輸出功率約束實(shí)現(xiàn)了零陷加寬。仿真結(jié)果表明了本文算法的正確性和有效性，最終提高了算法的抗陣列模型失配和抗運(yùn)動(dòng)干擾的能力。