“切出”算式的結(jié)果

賈玉文

筆者有幸參加了2018年烏蘭察布市教育局落實(shí)“三區(qū)”人才支持計(jì)劃“千名專家服務(wù)基層”赴化德縣送教下鄉(xiāng)活動(dòng)，我執(zhí)教了人教版《數(shù)學(xué)》六年級(jí)上冊(cè)第八單元《數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形》一課。

本課旨在借助圖形的直觀模型解釋抽象的數(shù)學(xué)原理與事實(shí)，實(shí)現(xiàn)以下教學(xué)目標(biāo)。

一、借助“數(shù)”“形”關(guān)系，尋找隱藏的規(guī)律。

二、通過對(duì)圖形的觀察與操作，應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

三、在探索過程中，感悟數(shù)形結(jié)合、歸納推理、極限等基本的數(shù)學(xué)思想，感受數(shù)學(xué)之美。

【教學(xué)重點(diǎn)】

通過自主探究發(fā)現(xiàn)圖形中隱藏著的數(shù)的規(guī)律，并會(huì)應(yīng)用所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

【教學(xué)難點(diǎn)】

利用圖形來解決一些有關(guān)數(shù)的問題。

【課前準(zhǔn)備】

課件、黑板貼、正方形或圓形紙張。

【教學(xué)設(shè)計(jì)】

一、借助圖形找感覺

（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課

師：前面x老師多次帶大家走進(jìn)數(shù)學(xué)廣角，今天由我和同學(xué)們?cè)俅巫哌M(jìn)奇妙無窮的數(shù)學(xué)廣角——數(shù)與形。（板書課題）

師：大家歡迎嗎？

生：歡迎！

師：歡迎數(shù)學(xué)廣角還是賈老師？還是后面的聽課老師？

生：（笑著說）都?xì)g迎！

（二）課前熱身，復(fù)習(xí)鞏固

師：請(qǐng)大家觀察圖形，寫出相應(yīng)的分?jǐn)?shù)。用課件逐一出示、、、，并分別口算出這些算式的和。（+= 、++= 、+++= ）

板書：+++

師：如果按照這樣的規(guī)律誰能寫出下一個(gè)分?jǐn)?shù)？（生：）還能寫一個(gè)嗎？（生：）

完善板書：++++++

師：如果繼續(xù)往下加，你還愿意往下寫嗎？

生：（搖頭）不愿意。

師：（驚訝地）為什么？

生：后面有無數(shù)個(gè)分?jǐn)?shù)，寫不完。

師：寫不完的是算術(shù)，寫得完的是代數(shù)。誰來把這道題稍作修復(fù)，變成一道求無限個(gè)加數(shù)和的算式？

“…=”生板書。

師：（微笑著）妙哉！妙哉！此處還沒掌聲呀？

（課堂上，生熱烈地掌聲）

（三）學(xué)習(xí)例2：++++++…=

師：這三個(gè)點(diǎn)表示？

生：表示后面有無限個(gè)加數(shù)。

師：（疑惑地）呀，省略號(hào)是六個(gè)點(diǎn)，怎么是三個(gè)點(diǎn)呢？

生1：這是我在一本數(shù)學(xué)課外書學(xué)到的，這可能是數(shù)學(xué)學(xué)科的規(guī)定吧。（師生微笑）

生2：我們的數(shù)學(xué)書上也是這樣寫的。 （同學(xué)們笑了）

師：所謂老師，就是走在我們的前面。（倆同學(xué)不好意思地低下頭）好了，我們重新來審視這道算式，它有什么特點(diǎn)？大家能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

生1：這列算式，前一個(gè)分?jǐn)?shù)是后一個(gè)分?jǐn)?shù)的2倍。

師：還有不同說法嗎？

生：2：這些分?jǐn)?shù)的分子都是1，后一個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都是前一個(gè)的2倍。

師：誰能把這兩句話合并成一句話？

生3：后一個(gè)分?jǐn)?shù)是前一個(gè)分?jǐn)?shù)的。

師：精準(zhǔn)！那算式中的省略號(hào)是？

生1：后邊還有很多分?jǐn)?shù)。

生2：也可以說后面有無數(shù)個(gè)分?jǐn)?shù)。

師：“無數(shù)個(gè)”就是沒有盡頭的意思。按照這樣的規(guī)律無限地加下去，怎樣計(jì)算這個(gè)算式的和呢？

（學(xué)生沉默，教室里一片寂靜）

師：同學(xué)們，到目前為止，這是我們首次遇到計(jì)算無數(shù)個(gè)加數(shù)的和，對(duì)吧？（老師故意設(shè)置懸念，激發(fā)學(xué)生興趣）

生：對(duì)！

師：同學(xué)們對(duì)這道題沒感覺是吧？（學(xué)生點(diǎn)頭）沒關(guān)系！下面，我們要經(jīng)歷一次像數(shù)學(xué)家那樣探究數(shù)學(xué)的旅程，我們可以先借助圖形來找一找感覺。

二、操作圖形談感受

（一）利用練習(xí)紙，分組操作圖形

提示：請(qǐng)同學(xué)們一邊觀察算式，一邊在你選擇的圖形中折（或畫）出它的，在的基礎(chǔ)上加上它的，再加上它的，按照算式的要求一直加下去……觀察所折（或畫）的圖形，看能否找到這列算式的結(jié)果。

師：小組合作，給大家3分鐘的時(shí)間，可以嗎？計(jì)時(shí)開始。（老師巡視、指導(dǎo)）

（二）分組展示、匯報(bào)

1.師：時(shí)間到！哪個(gè)小組先來匯報(bào)你們的操作過程？

請(qǐng)大家觀察這組同學(xué)先通過平分找到正方形的，然后在的基礎(chǔ)上又做了什么？

生：繼續(xù)平分，加上、、、…

師：如果繼續(xù)往下加，下一個(gè)數(shù)加在哪里？

生：加在空白部分。

師：算式的意思就是在空白處不停地加下去。（學(xué)生點(diǎn)頭）

2.師：再看這組同學(xué)用圓形表示的，他先找到圓形的，然后加上，再加…算式中的省略號(hào)表示哪里？

生：右邊的空白處。

師：怎么沒有、、這些分?jǐn)?shù)呢？

生：我們知道這些分?jǐn)?shù)就在省略號(hào)的位置不斷加下去，另外，時(shí)間不允許。（學(xué)生們自發(fā)鼓起掌來）

師：省事省時(shí)。感受一下，這樣一直加下去，和應(yīng)該是多少？

有幾位學(xué)生指出和等于1，大部分學(xué)生認(rèn)為和無限接近于1。

3.師：那我們繼續(xù)觀察這組用線段表示的算式，過程同上。

師：老師的手也癢癢的，想演示一下加的過程，可以嗎？

（課件出示：圓形模型和線段模型來表示“1”）

師：按這樣的規(guī)律加下去，和是多少？

生：我認(rèn)為和是1。

生：我覺得和是無限接近于1。

學(xué)生意見還不統(tǒng)一，又相互爭(zhēng)論起來。

師：我是這樣理解的，大家剛才在圓上或線段上分別有規(guī)律地表示出這些加數(shù)，當(dāng)這個(gè)過程無止境地持續(xù)下去時(shí)，所有的扇形和線段就會(huì)把整個(gè)圓和整條線段——

生1：畫完。

生2：折完。

生3：占完。

生4：占滿。

…

師：即這些數(shù)相加之和為——

生：1。（多數(shù)同學(xué)認(rèn)為）

課件出示：++++++…=1

師：從圖上可以看出，這些分?jǐn)?shù)不斷地加下去，總和就是1。理解嗎？

（還有學(xué)生搖頭。）

三、數(shù)形結(jié)合尋感悟

師：大家的眼神告訴老師，還有同學(xué)沒有完全理解這個(gè)算式為什么等于1，因此在感情上還無法接受這個(gè)結(jié)果。沒關(guān)系！因?yàn)檫@個(gè)問題太難了（學(xué)生笑了），在前面推導(dǎo)圓面積的公式也用到這個(gè)極限數(shù)學(xué)思想，同學(xué)們到了初中、高中時(shí)還要繼續(xù)學(xué)習(xí)。今天我們研究這個(gè)問題的目的，是在尋求它等于幾的過程中體會(huì)數(shù)和形之間的關(guān)系?；仡^看我們的探究過程，剛開始同學(xué)們看到這樣一個(gè)算式，不知道等于幾，誰幫助我們找到了這個(gè)方向，找到了這種感覺，也找到了“和”與1有關(guān)系？

生：圖形！

師：同學(xué)們，數(shù)和形有關(guān)系，你們覺得數(shù)和形之間有著怎樣的關(guān)系？

生：數(shù)與形關(guān)系非常密切。（同學(xué)們笑了）

生：你中有我，我中有你，互相幫助，配合默契。

（教室里響起熱烈的掌聲）

師：把數(shù)與形的關(guān)系描述地太形象了！好學(xué)生的標(biāo)準(zhǔn)：一積極思考，二勇于表達(dá)！同學(xué)們思考一下，在數(shù)與形互助的過程中，數(shù)的優(yōu)勢(shì)是什么？形的優(yōu)勢(shì)呢？

生：數(shù)是準(zhǔn)確的，形是直觀的。（或一目了然）

師：對(duì)！“數(shù)”能更精準(zhǔn)地表達(dá)事物，“形”能更直觀地表達(dá)事物。其實(shí)，我國(guó)的數(shù)學(xué)家（出示華羅庚圖）——華羅庚爺爺很早就闡述過數(shù)與形的內(nèi)容：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。”你能理解其中的含義嗎？

生：有數(shù)無形，看不出來;有形無數(shù)，難算出來。（全班同學(xué)都笑了）

師：理解得太到位啦！看來形能直觀，數(shù)能入微。所以，后面還有兩句話，請(qǐng)同學(xué)們讀一讀。（課件出示）

生：“數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休。”

師：如果將數(shù)、形分家，什么事都做不了。所以，我們要將數(shù)與形——（完美）結(jié)合！只有數(shù)形的完美結(jié)合，我們才能走進(jìn)數(shù)學(xué)的神秘世界，尋找它的有趣規(guī)律，就會(huì)感受到數(shù)學(xué)的無窮魅力！

（板書：完美結(jié)合、魅力無窮）

師：大家想不想檢驗(yàn)一下自己本節(jié)課的學(xué)習(xí)效果？

生：想！

四、動(dòng)手操作觸感觀

（一）應(yīng)用規(guī)律

課件出示：1------…=

（提示：折紙或畫圖）

師：請(qǐng)同學(xué)們觀察算式，大家理解算式中省略號(hào)的意思嗎？誰來談?wù)勛约旱目捶ǎ?/p>

生：省略號(hào)的意思就是要不斷地減下去，要減去無限個(gè)分?jǐn)?shù)。

師：大家同意嗎？你們知道下一個(gè)要減去哪個(gè)數(shù)？

生：根據(jù)這列算式的規(guī)律，下一個(gè)減去的分?jǐn)?shù)應(yīng)該是。

師：既然大家明白算式中省略號(hào)的意思，那我們?cè)鯓觼碛?jì)算這列算式的差呢？找誰幫忙？

生：找老師?。◣熒夹α耍?/p>

師：剛才我們?cè)谟?jì)算一列分?jǐn)?shù)的和時(shí)，是誰幫助我們找到算式的規(guī)律？

生：圖形！（幾位同學(xué)齊聲說）

師：好！我們?cè)賮斫柚鷪D形試著折一折、畫一畫。

（學(xué)生借助圖形，小組討論，尋找算式結(jié)果）

師：哪位同學(xué)來說一說自己的看法？

生：老師，我覺得這道題沒結(jié)果！我們組是借助長(zhǎng)方形圖形來探究算式的結(jié)果，不管減去多少個(gè)分?jǐn)?shù)，始終還有剩余，可這個(gè)余下的分?jǐn)?shù)仍然不是最終的結(jié)果呀。

師：大家展開想象，如果按照這樣的規(guī)律無限地減下去，請(qǐng)同學(xué)們觀察圖形，猜一猜最后的結(jié)果可能是多少？

同學(xué)們沉默了。

“是0吧？”一位同學(xué)小心翼翼地說。

師：現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們和老師做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，來推導(dǎo)這列算式的差。

（老師出示一個(gè)蘋果，一把水果刀）

師：同學(xué)們，一個(gè)蘋果減去它的，你們覺得怎么切？剩下這個(gè)蘋果的多少？

生1：把一個(gè)蘋果平均切成兩份，剩下這個(gè)蘋果的。（一位快嘴的同學(xué)說）? 老師把切下蘋果的獎(jiǎng)勵(lì)給這個(gè)快嘴的同學(xué)。（同學(xué)們羨慕那個(gè)講解的同學(xué)）

師：接著要減去這個(gè)蘋果的，又怎么切？這時(shí)剩下這個(gè)蘋果的多少？

生2：把剩下的蘋果再平均分成兩份，余下這個(gè)蘋果的。

（老師又把切下蘋果的獎(jiǎng)給講解的同學(xué)）

師：繼續(xù)減去這個(gè)蘋果的呢？剩下這個(gè)蘋果的多少？

生3：把余下這個(gè)蘋果的平均分成兩份，剩下的就是這個(gè)蘋果的。

老師小心謹(jǐn)慎地切出這個(gè)蘋果的又獎(jiǎng)給講解的同學(xué)。同學(xué)們看著老師手里的蘋果，都笑了。

師：同學(xué)們笑什么？

“老師手里的蘋果越來越小?！睂W(xué)生幾乎齊聲說。

師：如果減去這個(gè)蘋果的呢？剩下這個(gè)蘋果的多少？

生4：把余下這個(gè)蘋果的繼續(xù)平均分成兩份，剩下這個(gè)蘋果的。

老師拿起水果刀，盯著的蘋果，做出難為情地樣子。

生：小心手！老師不要切啦，這樣做太危險(xiǎn)，我明白最后的結(jié)果！

師：（驚訝地）什么？說來聽聽。

生：如果這樣不斷地減下去，那么就得無限地切下去，最后老師手里的蘋果終于切沒了，所以這列算式的差應(yīng)該等于“0”。

“謝謝這位關(guān)心老師、大膽猜想的同學(xué)！我們還切蘋果嗎？”老師問。

“不用啦！”學(xué)生答。

師：“這的蘋果——”

“獎(jiǎng)給你！” 同學(xué)們手指講解的學(xué)生齊聲說。

教室里響起熱烈的掌聲……

“數(shù)形結(jié)合真好玩！水果刀幫我們‘切出了算式的結(jié)果。”一生說。