構(gòu)造圖形是求“非特殊角”三角函數(shù)值利器

王淼生 葉志娟

高中學(xué)習(xí)了任意角三角函數(shù)概念及三角恒等變換，因此高中生從代數(shù)上求解tan75°并不困難.比如利用兩角和正切公式、正切半角公式、同角三角函數(shù)關(guān)系與兩角和正弦、余弦公式結(jié)合、互余關(guān)系與兩角差正弦、余弦公式都可以解決.以下借助兩角和正切公式可得

4 構(gòu)造圖形培養(yǎng)直觀想象與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

4.1 構(gòu)造法及構(gòu)造圖形

構(gòu)造法思路就是轉(zhuǎn)化，構(gòu)造法核心就是構(gòu)造，構(gòu)造法突破就是創(chuàng)新，構(gòu)造法本質(zhì)就是模型.當(dāng)構(gòu)造的輔助模型為圖形時(shí)，稱(chēng)之為構(gòu)造圖形法.圖形越簡(jiǎn)單越能凸顯其威力，因此構(gòu)造直角三角形、等腰三角形、矩形、圓成為最優(yōu)先的幾何模型.構(gòu)造法是建立在已有的知識(shí)基礎(chǔ)上的，它生成于認(rèn)知結(jié)構(gòu)的最頂端，因而構(gòu)造法是一種富有創(chuàng)新思維的解題策略.必須指出的是，構(gòu)造輔助模型既沒(méi)有固定的程序可循，也沒(méi)有現(xiàn)成的模式套用，但構(gòu)造法不是"憑空臆造"，而是以掌握的知識(shí)為背景，以具備的能力為基礎(chǔ)，以細(xì)膩的觀察為先導(dǎo)，以透徹的分析為武器，因此構(gòu)造法需要敏銳的觀察力，豐富的聯(lián)想力，高超的創(chuàng)造力.

4.2 構(gòu)造圖形培養(yǎng)直觀想象與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)

有些純代數(shù)問(wèn)題，如果考究其數(shù)量關(guān)系，觀察其外形結(jié)構(gòu)，并對(duì)條件及結(jié)論剖析就會(huì)發(fā)現(xiàn)這些問(wèn)題其實(shí)與幾何密不可分，此時(shí)構(gòu)造恰當(dāng)圖形，將深?yuàn)W、抽象的代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直觀、形象的幾何問(wèn)題，比如文[2]、文[3]通過(guò)巧妙構(gòu)造矩形、長(zhǎng)方體并利用其基本性質(zhì)將很多高難度的高考、競(jìng)賽乃至國(guó)際奧賽試題簡(jiǎn)捷解決.文[4]提出數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象和數(shù)據(jù)分析等六大數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，其中提升直觀想象素養(yǎng)中的“直觀”就是借助經(jīng)驗(yàn)、觀察、測(cè)試或類(lèi)比聯(lián)想，所產(chǎn)生的對(duì)事物關(guān)系直接的感知與認(rèn)識(shí)，而不需要經(jīng)過(guò)充分邏輯推理，正如史寧中指出，在大多數(shù)情況下，數(shù)學(xué)的結(jié)果是“看”出來(lái)，而不是“證”出來(lái)的.在教學(xué)過(guò)程中有意識(shí)實(shí)施構(gòu)造法，尤其構(gòu)造圖形，有利于優(yōu)化數(shù)學(xué)思維品質(zhì)，培養(yǎng)直觀想象能力，提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，逐步形成適合學(xué)生個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品格和關(guān)鍵能力，這才是數(shù)學(xué)教育的出發(fā)點(diǎn)，更是數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo).

參考文獻(xiàn)

[1]朱際生.在簡(jiǎn)約中彰顯深度——一道三角函數(shù)問(wèn)題模型引發(fā)的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中旬），2018（10）：24—25.

[2]王淼生.再談矩形一個(gè)性質(zhì)的應(yīng)用[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2016（12）：14—17.

[3]王淼生.構(gòu)造長(zhǎng)方體 巧證不等式[J].數(shù)學(xué)通訊（下半月），2012（5）：60—61.

[4]中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018：4—7.