農(nóng)產(chǎn)品期貨期權(quán)定價(jià)的有效性研究
——以我國豆粕期貨期權(quán)為例

馬慶華,郭 倩

(廣東外語外貿(mào)大學(xué) 金融學(xué)院,廣州 510006)

期權(quán)定價(jià)主要包括三種方法：B-S模型，二叉樹模型以及蒙特卡洛模擬。Barone-Adesi和Whaley提出的美式期權(quán)近似解模型(BAW模型)將美式期權(quán)的解分為兩部分，一部分是同等歐式期權(quán)的解，另一部分是由于合約提前實(shí)施條款而需要增付的權(quán)利金，并認(rèn)為美式期權(quán)價(jià)格和歐式期權(quán)價(jià)格都滿足Black-schole方程，所以提前實(shí)施的權(quán)利金也符合B-S方程[1]；Cox Ross和Rubinstein的二叉樹模型既適合于歐式期權(quán)又適合于美式期權(quán)，且方法簡單易懂，之后被投資者們廣泛運(yùn)用，其缺點(diǎn)就是當(dāng)步長增加時(shí)，計(jì)算耗時(shí)增大[2]；Longstaff和Schwartz提出的最小二乘蒙特卡洛模擬(LSM)被廣泛用來當(dāng)作美式期權(quán)定價(jià)的標(biāo)準(zhǔn)[3]。

關(guān)于期權(quán)定價(jià)的對比分析大都是基于兩種模型或者是基于外國期權(quán)產(chǎn)品的實(shí)證研究，沒有結(jié)合三種模型且基于本國期權(quán)產(chǎn)品的實(shí)證研究。刁博玨等用Microsoft的股票期權(quán)作為樣本，使用Matlab和Excel并運(yùn)用二叉樹模型以及蒙特卡洛模擬法對股票期權(quán)進(jìn)行了理論定價(jià)研究，并將兩種方法的定價(jià)結(jié)果同實(shí)際的期權(quán)價(jià)格進(jìn)行了比較[4]；方艷等分別運(yùn)用B-S-M模型和蒙特卡洛模擬方法對上證50ETF的定價(jià)進(jìn)行了實(shí)證研究，認(rèn)為兩種方法都能比較精準(zhǔn)地對上證50ETF進(jìn)行定價(jià)，還用平均絕對誤差(MAE)、均方比例誤差(MSPE)、平均絕對比例誤差(MAPE)來檢驗(yàn)?zāi)Ｐ投▋r(jià)的穩(wěn)健性[5]。

對農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)定價(jià)的研究，或是根據(jù)外國期權(quán)市場的數(shù)據(jù)，或是通過對我國的訂單農(nóng)業(yè)進(jìn)行摸索而進(jìn)行模擬定價(jià)。Foster 和Whiteman加入數(shù)值貝葉斯技術(shù)建立了標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的預(yù)測密度，以芝加哥期貨交易所交易的大豆期貨期權(quán)為例，探討B(tài)-S模型、Stutzer模型以及經(jīng)改進(jìn)后的貝葉斯技術(shù)模型哪一種模型更接近實(shí)際期權(quán)價(jià)格[6]；黃亞林根據(jù)芝加哥期貨交易所的玉米、大豆和小麥期權(quán)的數(shù)據(jù)，從農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格風(fēng)險(xiǎn)規(guī)避的視角對其期權(quán)定價(jià)進(jìn)行研究[7]；田貴良等提出用虛擬水期權(quán)來規(guī)避糧食安全和農(nóng)業(yè)生產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)，構(gòu)建了一個(gè)適合虛擬水產(chǎn)品的“擴(kuò)散-跳躍”模型,并用鄭商所的小麥作為實(shí)證得出小麥虛擬水期權(quán)的價(jià)格[8]。

2016年12月16日，證監(jiān)會批準(zhǔn)鄭商所和大商所分別開展白糖和豆粕期貨期權(quán)交易，這意味著國內(nèi)首個(gè)場內(nèi)農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)落地。在2017年3月31日豆粕期貨期權(quán)掛牌首日共成交了46066手，持倉量為32056手?？傮w而言，市場交易比較理性，成交平穩(wěn)。從其期權(quán)合約設(shè)計(jì)來看，它反映了服務(wù)實(shí)體的特征，嚴(yán)格控制了市場風(fēng)險(xiǎn)。而豆粕期貨期權(quán)自從上市以后，大商所不斷放寬其限倉標(biāo)準(zhǔn)，從剛開始的300手到2017年9月的2000手，再到2018年5月的1萬手，接著2019年2月放寬到3萬手。這說明了我國豆粕期權(quán)的快速發(fā)展和投資者的需求日漸增加，這也更有利于投資者們充分利用豆粕期權(quán)的豐富的交易策略，更好地滿足他們自身的風(fēng)險(xiǎn)管理需求。豆粕期貨期權(quán)是由大連商品交易所制定的。

鑒于我國農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)市場起步較晚，關(guān)于農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)定價(jià)的研究大多數(shù)僅限于理論研究階段。就上述我國的兩種農(nóng)產(chǎn)品而言，其期權(quán)品種是美式期權(quán)，雖然已有文獻(xiàn)中有關(guān)于美式期權(quán)定價(jià)對比分析方面的研究，但大都沒有經(jīng)過實(shí)際價(jià)格的檢驗(yàn)，更沒有基于我國農(nóng)產(chǎn)品期權(quán)實(shí)際數(shù)據(jù)而進(jìn)行的研究。本文通過比較B-S期權(quán)定價(jià)模型、二叉樹定價(jià)模型以及蒙特卡洛模擬這三種方法，以我國新上市的豆粕期貨期權(quán)為例，對我國農(nóng)產(chǎn)品的期貨期權(quán)的定價(jià)進(jìn)行比較，并比較不同的參數(shù)選取方式對定價(jià)效果的影響，再通過與真實(shí)交易數(shù)據(jù)做比較，得出相對而言適合我國農(nóng)產(chǎn)品期貨期權(quán)的定價(jià)模型。

1 本文使用的期權(quán)定價(jià)的原理與模型

本文的期權(quán)定價(jià)模型主要分為三個(gè)。其共同點(diǎn)是都融入了期貨保證金(m1)和期權(quán)手續(xù)費(fèi)(m2)這兩個(gè)因素。因?yàn)樵趯?shí)際的期貨交易市場中，期貨的購買并不是單純的信用交易，作為合約的擔(dān)保必須繳納一定的保證金才能進(jìn)行期貨交易，而每個(gè)交易所都會有一定的標(biāo)準(zhǔn)來確定其保證金，也就是保證金率m1，且保證金在持倉者交割或者平倉后會返還給交易者，并且交易者再需支付一定的期權(quán)交易和行權(quán)手續(xù)費(fèi)，即m2。因此，交易者也就損失了這個(gè)保證金的貨幣時(shí)間價(jià)值。而下面這3個(gè)模型融入了期貨保證金和期權(quán)手續(xù)費(fèi)，即將m1和m2融入模型中。

1.1 改進(jìn)后的BAW模型

B-S模型的一大缺點(diǎn)就是不能很好地給美式期權(quán)定價(jià)，所以本文以Barone-Adesi和Whaley的BAW模型為基礎(chǔ)，在BAW模型的歐式期權(quán)部分融入保證金率和行權(quán)手續(xù)費(fèi)的因素。在BAW模型中，模型的解由兩部分構(gòu)成，一是同等B-S模型求出來的解，二是可提前行權(quán)而多支付的權(quán)利金。

對于第一部分，我們在求解B-S模型時(shí)所構(gòu)造的資產(chǎn)組合的變化為：

(式1)

加入期貨保證金之后，就相當(dāng)于損失了保證金這一部分的利息，所以資產(chǎn)組合變?yōu)椋?/p>

(式2)

原始B-S的偏微分方程為：

(式3)

在改進(jìn)后的模型中融入了期貨保證金這個(gè)因素，根據(jù)文章第二部分可得伊藤定理：

(式4)

結(jié)合伊藤定理，代入式3，得到改進(jìn)后的偏微分方程：

(式5)

以C表示歐式買入期權(quán)的價(jià)值、P表示歐式賣出期權(quán)的價(jià)值、S為原生資產(chǎn)的價(jià)格、K為期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格、β為便利損失率、m1為保證金率，歐式期權(quán)定價(jià)的求解問題變?yōu)榱艘韵路匠蹋?/p>

(式6)

最后的看漲歐式期權(quán)部分定價(jià)模型變?yōu)椋?/p>

C=e-(r-βm1)(T-t)SN(d1)-e-r(T-t)(K+m2)N(d2)

(式7)

根據(jù)期權(quán)的平價(jià)公式以及累計(jì)正態(tài)分布的性質(zhì)，N(d)+N(-d)=1，可得出看跌歐式期權(quán)定價(jià)模型：

(式8)

對于第二部分可提前行權(quán)應(yīng)多支付的權(quán)利金，因?yàn)椋?/p>

VA(S,t)=VE(S,t)+e(S,t)

(式9)

所以，對于權(quán)利金e也需滿足偏微分方程：

(式10)

而美式看漲和歐式看漲都滿足：

VA(S,T)=max(S-K-m2，0)=VE(S,T)

(式11)

所以，e(S,t)必須滿足：

(式12)

當(dāng)X(1-X)=0時(shí)，可以得到期權(quán)價(jià)格的精確值；當(dāng)X(1-X)≠0時(shí)，上式則會變成:

(式13)

以上類似于一個(gè)常微分方程，其解的形式為aSρ，可得：

(式14)

(式15)

將式14和式15代入式13可得：

(式16)

解得：

(式17)

(式18)

對于美式看漲期權(quán)來說，CA(S)滿足如下公式：

(式19)

對于美式看跌期權(quán)來說，PA(S)滿足如下公式：

(式20)

其中：

在以上CA(S)和PA(S)兩個(gè)模型中，cE(S*)和PE(S**)是同等條件下歐式期權(quán)的解，A2和A1是美式期權(quán)比歐式期權(quán)需要多支付的那一部分權(quán)利金，S*和S**是期權(quán)執(zhí)行的股價(jià)臨界點(diǎn)。

1.2 改進(jìn)后的二叉樹模型

二叉樹模型的一個(gè)優(yōu)勢就是既可以給歐式期權(quán)定價(jià)又可以給美式期權(quán)定價(jià)。步數(shù)越長，結(jié)果越精確。首先是單步二叉樹的情形，期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格為K，若期貨價(jià)格上漲，期權(quán)的價(jià)值為：fu=max(uS-K-m2，0)；若期貨價(jià)格下跌，期權(quán)的價(jià)值為：fd=max(dS-K-m2，0)。構(gòu)造一個(gè)組合，用Δ份的期貨和無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)B來復(fù)制期權(quán)的價(jià)值，Δ和B都必須滿足以下條件：

fu=Δus+rB-βm1

(式21)

fd=Δds+rB-βm1

(式22)

通過式21和式22可得：

Δ=(fu-fd)/(us-ds)

(式23)

Δs-f=e-rt(Δus-fu-βm1)

(式24)

(式25)

n步二叉模型的看漲期權(quán)公式為：

(式26)

n步二叉樹模型看跌期權(quán)公式為:

(式27)

1.3改進(jìn)后的LSM模型

(式28)

2 實(shí)證分析

豆粕期貨期權(quán)上市于2017年3月31日。本文以豆粕期貨期權(quán)M1807-C等7個(gè)系列作為標(biāo)的資產(chǎn)，分別為M1807-C2400、C2450、C2500、C2550、C2600、C2650、C2700。選取了2018年4月18日至2018年5月17日的數(shù)據(jù)作為樣本數(shù)據(jù)。因虛值期權(quán)在進(jìn)行模擬定價(jià)時(shí)不穩(wěn)定，本文只選取了實(shí)值期權(quán)。根據(jù)期權(quán)代碼可得，所選取數(shù)據(jù)合約月份為1807，C后面的數(shù)字為執(zhí)行價(jià)格。

2.1 M1807豆粕期貨的市場價(jià)格S

選取2018年4月18至2018年5月17日期間每個(gè)交易日的豆粕期貨收盤價(jià)作為標(biāo)的資產(chǎn)的價(jià)格S。例如，2018年4月18日交易代碼為M1807的豆粕期貨收盤價(jià)為3194。詳情如表1所示。

表1 豆粕期貨2018-04-18至2018-05-17市場價(jià)格

2.2 M1807豆粕期貨期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格K

根據(jù)以上期權(quán)的代碼，可得所選數(shù)據(jù)的執(zhí)行價(jià)格依次為2400、2450、2500、2550、2600、2650、2700這7個(gè)系列。

2.3 M1807豆粕期貨期權(quán)的時(shí)間間隔T-t

所選取豆粕期貨的數(shù)據(jù)月份為7個(gè)月，所以時(shí)間間隔T-t=07/12。

2.4 M1807豆粕期貨的波動率σ

一般在波動率的選取上會考慮歷史波動率和隱含波動率，因隱含波動率反映了投資者對未來波動率的預(yù)期，所以在本部分先選取隱含波動率。其數(shù)據(jù)在wind以及大連商品交易所可以直接獲得。具體數(shù)據(jù)如表2所示。

表2 豆粕期貨期權(quán)2018-04-18至2018-05-17隱含波動率

2.5 M1807豆粕期貨的無風(fēng)險(xiǎn)利率r

在計(jì)算中選用一年期定期存款利率1.5%，所以本文將1.5%作為無風(fēng)險(xiǎn)利率。

2.6 期貨保證金率m1以及手續(xù)費(fèi)m2的選取

期權(quán)交易手續(xù)費(fèi)都可以通過大商所平臺得到。2018年8月份之前交易手續(xù)費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為1元/手，行權(quán)(履約)手續(xù)費(fèi)也是1元/手；保證金的影響用便利損失率β*m1來表示(β一般情況下等于國債流動性損失，此處等于無風(fēng)險(xiǎn)利率1.5%，m1為保證金率，大連商品交易所規(guī)定豆粕的保證金率為7%)。

3 期權(quán)定價(jià)模型結(jié)果的比較分析

根據(jù)式10、式12以及式14這3個(gè)模型，利用Matlab編程可得到模型的預(yù)測價(jià)格，用Excel統(tǒng)計(jì)并繪制了對比圖(見圖1—圖7)。每個(gè)圖表示一種執(zhí)行價(jià)格的豆粕期權(quán)的實(shí)際收盤價(jià)和模型擬合價(jià)格的折線圖。

圖1 M1807-C-2400真實(shí)價(jià)格與模擬價(jià)格走勢

圖2 M1807-C-2450真實(shí)價(jià)格與模擬價(jià)格走勢

圖3 M1807-C-2500真實(shí)價(jià)格與模擬價(jià)格走勢

圖4 M1807-C-2550真實(shí)價(jià)格與模擬價(jià)格走勢

圖5 M1807-C-2600真實(shí)價(jià)格與模擬價(jià)格走勢

圖6 M1807-C-2650真實(shí)價(jià)格與模擬價(jià)格走勢

圖7 M1807-C-2700真實(shí)價(jià)格與模擬價(jià)格走勢

圖8 不同期權(quán)定價(jià)方法的擬合精度比較

在比較定價(jià)結(jié)果時(shí)，為了進(jìn)行定量分析，本文采用平均絕對比例誤差(MAPE)來進(jìn)行分析，Yabs，t表示實(shí)際收盤價(jià)格，Ypred，t表示用模型預(yù)測出來的價(jià)格：值越小，意味著模型模擬較好；值越大，說明模擬較差。其定義為：

由圖1—圖7可知：(1)期權(quán)每一日的收盤價(jià)隨著執(zhí)行價(jià)格的上升而上升，BAW和CRR的這種趨勢與收盤價(jià)是一致的，而LSM的趨勢與收盤價(jià)相反；(2)隨著執(zhí)行價(jià)格的提高，LSM與真實(shí)價(jià)格之間的距離越來越遠(yuǎn)，嚴(yán)重高估了豆粕期貨期權(quán)的價(jià)格，說明LSM的定價(jià)誤差越來越大。根據(jù)不同期權(quán)定價(jià)方法的擬合精度比較(見圖8)可知，BAW與CRR的定價(jià)誤差較小，總體呈高估的態(tài)勢，幾乎接近于真實(shí)價(jià)格，但是也會隨著執(zhí)行價(jià)格的升高誤差而有所增加，這說明CRR更接近于我國豆粕期貨期權(quán)的真實(shí)價(jià)格。

4 結(jié)語

考慮到豆粕期權(quán)的手續(xù)費(fèi)和保證金的因素，其模型比一般的模型在假設(shè)條件上要有所放寬,且融入保證金和手續(xù)費(fèi)因素的模型比改進(jìn)之前的美式期權(quán)模型的誤差要小;在使用工具上，使用Matlab編程來進(jìn)行模型的求解，所以在模擬價(jià)格的獲取上更加簡單，并且在進(jìn)行結(jié)果統(tǒng)計(jì)部分使用Excel，其使用比較普遍，操作起來更加容易；通過對比三個(gè)模型的模擬價(jià)格與實(shí)際價(jià)格發(fā)現(xiàn)，CRR與BAW模型與實(shí)際價(jià)格變化趨勢一致，誤差控制在10%左右，差異可以接受。