一個關(guān)于Carleman不等式的全新加強式

薛睿琪，許呈翔，趙岳清

（臺州學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，浙江 臨海 317000）

不等式的研究是數(shù)學(xué)分析近幾百年發(fā)展過程中的一個歷久彌新的課題.不等式的理論從一開始零星碎片化的研究，到20世紀形成了系統(tǒng)化的理論基礎(chǔ).如今，不等式理論已經(jīng)是數(shù)學(xué)分支中不可剝離的一份子.Carleman不等式是乘積冪級數(shù)的估計式，為了使該估計式的逼近效果更為顯著，后人對Carleman不等式的改進和推廣從未停滯.

在1922年，Torsten Carleman給出了一個著名Carleman不等式［1］.

定理1設(shè)ak＞0,k=1,2,…,且收斂，則

從此以后，對它的研究經(jīng)久不衰.

2001年，文獻［2］對Carleman不等式進行了加強，建立了如下不等式

2012年，文獻［3］又將Carleman不等式進一步改進如下

1988年，在文獻［4］中建立了如下關(guān)于常數(shù)e的逼近式

2017年，文獻［5］對關(guān)于常數(shù)e的逼近式進行如下加強，

2005年，文獻［6］將Carleman不等式進行如下的進一步優(yōu)化

通過此式，給出了如下常數(shù)e的多項式逼近的結(jié)果

2011年，文獻［7］給出了Carleman不等式的一種新改進，并建立如下不等式

本文在式（5）（6）式的基礎(chǔ)上，優(yōu)化和改進了Carleman不等式，給出如下定理.

定理2當(dāng)n≥7時，有

最后得出了如上的Carleman不等式的改進式。本改進式基本可以較為精確地估計出的數(shù)值。由于最新的改進式的收斂速度較為迅速，Carleman不等式的級數(shù)形式進行了高數(shù)量級的逼近優(yōu)化。

1 定理2的證明

證明：令f(n)=nln，則當(dāng) n≥7時

其中，p(n)=352800n8+1176000n7+2839550n6+5438860n5+7245070n4+7640045n3+6219605n2+2932650n+530530.

故

于是e2，故

證畢.

2 幾種Carleman雙邊不等式的對比分析

表1、表2為幾種Carleman雙邊不等式對比分析。

表1 各式左邊項與中間項差的絕對值

表2 各式左邊項與中間項差的絕對值

由上表可知（7）式左邊比（3）（4）（5）式更加精確 .

由上述表格可知，（7）式右邊比（3）（4）（5）（6）式更加精確 .