共形時(shí)域有限差分技術(shù)在戲場(chǎng)八字墻中的應(yīng)用?

黃武瓊 盧義剛

(華南理工大學(xué)建筑學(xué)院 廣州 510640)

0 引言

中國(guó)傳統(tǒng)戲曲是我國(guó)乃至世界珍貴的藝術(shù)文化遺產(chǎn)，與之相應(yīng)的演出場(chǎng)所也具有其獨(dú)特的形式和布局。中國(guó)傳統(tǒng)戲場(chǎng)主要與宗教活動(dòng)有關(guān)，多建于廟宇之間，從“露臺(tái)”逐漸變成三面圍觀的形式，部分戲臺(tái)還設(shè)有八字形側(cè)墻、穹頂?shù)冉ㄖ?gòu)件。據(jù)考察，山西省介休市襖神樓、太原市陽(yáng)曲縣大卜村關(guān)帝廟、晉中市榆次城隍廟懸鑒樓等部分戲樓都設(shè)有八字墻[1]，這類八字形側(cè)墻集中出現(xiàn)在山西省內(nèi)的戲場(chǎng)中。薛林平等[2]認(rèn)為，八字墻的設(shè)置是古人有意識(shí)地改善戲場(chǎng)音質(zhì)的行為。然而，目前對(duì)這一建筑構(gòu)件的研究還較欠缺，因此本文將利用時(shí)域有限差分法(Finite-different time-domain,FDTD)對(duì)這類八字墻在戲場(chǎng)中產(chǎn)生的聲音效果進(jìn)行研究。

時(shí)域有限差分法最初由Yee[3]提出并應(yīng)用于解決電磁場(chǎng)問(wèn)題，隨后被應(yīng)用于其他領(lǐng)域的研究。20世紀(jì)90年代，Botteldooren等[4]開始將其引入了聲學(xué)領(lǐng)域。在電磁場(chǎng)問(wèn)題中，傳統(tǒng)的FDTD方法都是基于Yee直角網(wǎng)格對(duì)研究目標(biāo)進(jìn)行離散化，對(duì)于含有曲面等結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜的邊界采用階梯近似法。然而，階梯近似法會(huì)帶來(lái)較大的階梯近似誤差和數(shù)值色散誤差。為了克服這些缺陷，主要從兩個(gè)方面解決。其一，減小網(wǎng)格步長(zhǎng)。但網(wǎng)格的減小會(huì)增大存儲(chǔ)內(nèi)存，增加計(jì)算時(shí)間。其二，就是采用共形技術(shù)。從90年代開始，學(xué)者們便提出了多種共形處理方法。1992年，Jurgens等[5]提出了環(huán)路法，但這一方法缺乏靈活性，在計(jì)算編程時(shí)較難實(shí)現(xiàn)，并沒有得到推廣。1997年，Dey等[6]提出了用于電磁場(chǎng)的共形時(shí)域有限差分法(Conformal finite-difference time-domain,CFDTD)，該方法僅對(duì)磁場(chǎng)進(jìn)行求解，不需要對(duì)電場(chǎng)進(jìn)行處理，結(jié)果精度較高而且編程也較容易，但是，CFDTD技術(shù)亦存在計(jì)算不穩(wěn)定的問(wèn)題，當(dāng)共形網(wǎng)格的面積很小時(shí)，需要減小有效網(wǎng)格步長(zhǎng)，相應(yīng)的最大穩(wěn)定時(shí)間步長(zhǎng)也需要減小。2000年，Yu等[7]提出一種將變形網(wǎng)格面積近似為規(guī)則網(wǎng)格面積的共形技術(shù)，雖然精度不如前者，但多用于解決實(shí)際的工程問(wèn)題。2003年，Li等[8]提出簡(jiǎn)化的共形時(shí)域有限差分法(simplified CFDTD,SCFDTD)將面積小于1/6的變形網(wǎng)格近似為規(guī)則網(wǎng)格的1/6。2007年，Zagorodnov等[9]提出了有限積分法(Finite integration technique,FIT)，不用減小最大的穩(wěn)定時(shí)間步長(zhǎng)，運(yùn)算量和算法邏輯也與階梯法一樣，在現(xiàn)有的FDTD代碼中較易實(shí)現(xiàn)。之后，學(xué)者們主要致力于介電參數(shù)和多種方法混合使用方面的研究[10?12]。

建筑聲學(xué)問(wèn)題的計(jì)算機(jī)仿真方法，主要有基于幾何聲學(xué)的聲學(xué)仿真軟件和基于波動(dòng)聲學(xué)的有限元法、邊界元法、時(shí)域有限差分法。時(shí)域有限差分法算法比較簡(jiǎn)單有效，可以直觀地反映聲波在房間里的傳播情況，能夠直接得到房間任意點(diǎn)的脈沖響應(yīng)，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)房間內(nèi)音質(zhì)參量的分析。對(duì)于戲場(chǎng)中的非直角邊界，本文將借鑒電磁場(chǎng)的共形網(wǎng)格CFDTD技術(shù)，引進(jìn)聲壓更新方程中研究戲場(chǎng)八字墻的聲學(xué)問(wèn)題。

1 FDTD共形網(wǎng)格技術(shù)

為了便于觀察聲場(chǎng)變化，本文先考慮二維情形。在理想空氣介質(zhì)中，聲波運(yùn)動(dòng)方程和連續(xù)性方程為

其中，p表示聲壓；ux和uy分別表示空氣質(zhì)點(diǎn)速度沿著x、y方向的分量；c為空氣中的聲速；ρ0為空氣的靜態(tài)密度。對(duì)于常規(guī)均勻直角網(wǎng)格，式(1)～(3)的中心差分交錯(cuò)格式為

其中，?t表示離散時(shí)間間隔；?h表示離散空間間隔；n表示離散時(shí)間刻度；i和j分別表示在直角坐標(biāo)系x和y方向的位置。對(duì)于曲線邊界，需采用共形網(wǎng)格技術(shù)。在二維直角坐標(biāo)系下，曲邊經(jīng)過(guò)的共形網(wǎng)格如圖1所示，深灰色的區(qū)域1為墻體，深灰色以外的區(qū)域2為墻體外側(cè)，圖中斜線陰影網(wǎng)格為曲邊附近的共形網(wǎng)格，需利用共形網(wǎng)格技術(shù)來(lái)計(jì)算。設(shè)聲壓位于直角網(wǎng)格的中心，不管該中心在區(qū)域2或區(qū)域1。共形網(wǎng)格中，質(zhì)點(diǎn)速度遞推方程與常規(guī)網(wǎng)格的遞推方程一樣，只需處理聲壓的更新方程[13]。

圖1 直角坐標(biāo)系下的共形網(wǎng)格Fig.1 Conformal grids in rectangular coordinates

對(duì)式(3)兩邊進(jìn)行二重積分，得

由格林公式，式(7)右邊可化為

綜合式(7)與式(8)，可以得到

設(shè)墻體邊界為剛性邊界，那么墻體上的質(zhì)點(diǎn)速度為零，僅需考慮網(wǎng)格中墻體外的質(zhì)點(diǎn)速度的貢獻(xiàn)，于是由式(9)可得共形網(wǎng)格的FDTD遞推方程：

其中，lx和ly分別為質(zhì)點(diǎn)速度對(duì)應(yīng)的棱邊在墻體外的長(zhǎng)度，A為元胞在墻體外的面積。當(dāng)lx=ly=?h，A=?h2時(shí)，式(10)就退化為常規(guī)直角網(wǎng)格的遞推公式(6)，可見，共形網(wǎng)格的更新方程可以用于所有網(wǎng)格的更新方程。為了便于編程，引入相對(duì)長(zhǎng)度與相對(duì)面積

共形網(wǎng)格的更新方程最終化為

共形網(wǎng)格技術(shù)的一個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)在于相對(duì)長(zhǎng)度和相對(duì)面積的求取。若曲線邊界是由規(guī)則的方程決定，可由方程與網(wǎng)格的交點(diǎn)算出相對(duì)長(zhǎng)度，以下部分討論的橢圓房間與八字墻都是規(guī)則方程，可以容易計(jì)算得到相對(duì)長(zhǎng)度。共形網(wǎng)格的相對(duì)面積一般直接取規(guī)則網(wǎng)格面積或者規(guī)則網(wǎng)格面積的一半，顯然這樣處理太粗糙，本文利用雙加權(quán)平均法求得相對(duì)面積[14]。共形網(wǎng)格處理受到變形網(wǎng)格特性的制約，共形面積過(guò)小會(huì)使程序不穩(wěn)定，因此，本文利用SCFDTD方法[8]，將相對(duì)面積小于1/6的網(wǎng)格近似為常規(guī)網(wǎng)格面積的1/6，以此來(lái)改善計(jì)算的穩(wěn)定性問(wèn)題。

2 精度驗(yàn)證

為了驗(yàn)證共形網(wǎng)格技術(shù)的精確度，模擬一個(gè)橢圓房間內(nèi)的聲場(chǎng)變化。根據(jù)費(fèi)馬原理，波總是沿著“波程”為極小值的路徑傳播，從橢圓一焦點(diǎn)發(fā)射出的聲線，經(jīng)過(guò)界面的各種反射，最終會(huì)聚集在另一焦點(diǎn)[15]。以下利用共形網(wǎng)格技術(shù)和傳統(tǒng)的階梯法模擬橢圓的曲線邊界，比較兩者聲場(chǎng)結(jié)果的精確度。

圖2為在6 ms、131 ms、189 ms 3個(gè)時(shí)刻，3種情況下橢圓房間內(nèi)的聲場(chǎng)分布圖。聲源采用微分高斯脈沖[16]，圖2(a)將聲源設(shè)在偏離焦點(diǎn)水平位置0.7 m處，圖2(b)和圖2(c)的聲源都設(shè)在其中一個(gè)焦點(diǎn)上。根據(jù)穩(wěn)定性條件，空間步長(zhǎng)設(shè)為0.07 m，時(shí)間步長(zhǎng)設(shè)為0.117 ms；橢圓形墻壁設(shè)為剛性邊界。計(jì)算的總網(wǎng)格數(shù)為180×300。計(jì)算用Matlab軟件編寫。

在6 ms時(shí)，波前未到達(dá)反射面，波陣面幾乎一致，圓形波前向前傳播，可以看出利用FDTD方法計(jì)算聲波方程的精確性和穩(wěn)定性較好。當(dāng)聲源不設(shè)在焦點(diǎn)上時(shí)，聲線不能在另一焦點(diǎn)聚集，如圖2(a)所示；而當(dāng)聲源設(shè)在焦點(diǎn)上時(shí)，共形網(wǎng)格技術(shù)和階梯法都有聚集焦點(diǎn)的現(xiàn)象，驗(yàn)證了費(fèi)馬原理在聲學(xué)上的正確性。比較圖2(b)與圖2(c)可以看出，利用共形網(wǎng)格技術(shù)得到的聚焦的聲波波前基本上保持圓形波前，而階梯法得到的聚焦聲波波前不夠圓。共形技術(shù)得到的聚焦區(qū)域更集中于焦點(diǎn)，而階梯法得到的聚焦區(qū)域較大，不夠集中，共形網(wǎng)格技術(shù)比階梯法的精確度高。

圖2 三種情況下橢圓房間內(nèi)的聲場(chǎng)分布Fig.2 Sound field of three cases in the oval room

3 八字墻的聲音效果分析

圖3 4類戲臺(tái)平面圖Fig.3 Four types of stage plan

圖4 設(shè)有八字墻戲臺(tái)的庭院模型Fig.4 A courtyard model of an theater stage with the splayed walls

參考多處戲臺(tái)的構(gòu)造，如圖3所示，榆次市聶店村戲臺(tái)的前臺(tái)在山墻之外，新降縣樊店村關(guān)帝廟戲臺(tái)的前臺(tái)在山墻之間，對(duì)于設(shè)有八字墻的戲臺(tái)，太谷縣靜信寺戲臺(tái)的八字墻的寬度相對(duì)于戲臺(tái)前臺(tái)較短，介休市襖神樓戲臺(tái)的八字墻的寬度相對(duì)于戲臺(tái)前臺(tái)較長(zhǎng)。綜合以上戲臺(tái)的構(gòu)造和大小，建立大小為23.45 m×23.45 m的含有戲臺(tái)的庭院模型，如圖4所示，戲臺(tái)兩側(cè)設(shè)有3.5 m的山墻，緊連著山墻設(shè)有八字墻，八字墻的寬度L設(shè)為3 m或5 m，八字墻與山墻所在直線之間的夾角θ設(shè)為30?、45?或者60?。在戲臺(tái)中軸線上的5個(gè)位置設(shè)有聲源點(diǎn)，聲源采用上述微分高斯脈沖。以中軸線為基準(zhǔn)，在庭院內(nèi)觀眾席處設(shè)兩個(gè)相鄰的測(cè)區(qū)1和測(cè)區(qū)2，山墻旁邊設(shè)測(cè)區(qū)3。測(cè)區(qū)1正對(duì)山墻之間，測(cè)區(qū)2緊鄰著測(cè)區(qū)1，面積與測(cè)區(qū)1相同。山墻與八字墻均設(shè)為剛性邊界。在實(shí)際戲場(chǎng)中，考慮聲能消耗，庭院模型四周圍合墻壁設(shè)為阻抗邊界條件[17]，平均吸聲系數(shù)為0.15。

3.1 各個(gè)區(qū)域的聲能分析

為了研究戲臺(tái)構(gòu)件的聲學(xué)作用，考察各個(gè)測(cè)區(qū)獲得的聲強(qiáng)大小。本文以1 s時(shí)長(zhǎng)內(nèi)測(cè)區(qū)的所有聲能疊加作為總聲能強(qiáng)度，各個(gè)測(cè)區(qū)內(nèi)的總聲能強(qiáng)度由式(15)計(jì)算：

由圖5的結(jié)果可見，對(duì)于無(wú)八字墻的戲臺(tái)，不論聲源設(shè)在山墻之間或是超過(guò)山墻很多距離，在測(cè)區(qū)1和測(cè)區(qū)2獲得的聲能強(qiáng)度都比有八字墻的小。在測(cè)區(qū)3獲得聲能強(qiáng)度反而比有八字墻的大。顯然八字墻的存在減小了測(cè)區(qū)3的衍射聲能。從圖6波陣面可見，聲場(chǎng)在山墻頂端產(chǎn)生了次聲源，八字墻把衍射聲能反射到觀眾區(qū)，無(wú)八字墻時(shí)，則有較多聲能傳播到了山墻旁的測(cè)區(qū)3。當(dāng)聲源距離超過(guò)一定位置后，測(cè)區(qū)2接收到的聲強(qiáng)驟減，因此，欲使測(cè)區(qū)2能接收到較高的聲能，聲源應(yīng)盡量在山墻之間，即前臺(tái)不應(yīng)凸出山墻太多。

當(dāng)八字墻的寬度都取5 m或3 m時(shí)，如圖5和圖7所示，聲壓變化與角度之間沒有明顯的正比關(guān)系，這可能是山墻與八字墻的共同作用導(dǎo)致的混亂現(xiàn)象。當(dāng)夾角θ為30?、聲源距離在2.8 m時(shí)，測(cè)區(qū)1得到的聲強(qiáng)都大于其他兩種夾角；但當(dāng)夾角θ為30?、八字墻寬為5 m時(shí)，在測(cè)區(qū)2得到的聲強(qiáng)較其他兩種角度的聲強(qiáng)都小。因此，若觀眾席集中在戲臺(tái)正前方時(shí)，八字墻的夾角設(shè)為30?更佳，若希望觀眾席的范圍擴(kuò)到兩側(cè)更遠(yuǎn)的地方，八字墻的夾角選擇45?或者60?更佳，但要綜合考慮戲臺(tái)正前方與兩側(cè)都能得到較強(qiáng)的聲能，夾角最好取中間值45?左右。

圖6 27 ms時(shí)刻兩種戲臺(tái)模型的波形圖Fig.6 Waveforms of two stage models in t=27 ms

圖7 八字墻角度對(duì)聲能強(qiáng)度的影響Fig.7 The Influence of the angels of the splayed walls on the sound energy strength

當(dāng)夾角都為30?時(shí)，除了聲源距離為5.95 m時(shí)在測(cè)區(qū)2得到的特殊值外，不管八字墻的寬度為3 m或是5 m，聲能強(qiáng)度隨聲源距離的變化趨勢(shì)大致相同，如圖8所示。當(dāng)夾角為45?或是60?時(shí)，聲能強(qiáng)度隨聲源距離的變化趨勢(shì)也是大致相同的，比較圖5與圖7即可看出，在此不贅述。取同一夾角時(shí)，八字墻的寬度越大，測(cè)區(qū)1和測(cè)區(qū)2的聲能強(qiáng)度越大，而測(cè)區(qū)3的聲能強(qiáng)度越小，顯而易見，八字墻的寬度越大時(shí)，觀眾區(qū)接收到的反射聲必然會(huì)越多，從而也驗(yàn)證了利用FDTD計(jì)算聲場(chǎng)的正確性。

圖8 八字墻寬度對(duì)聲能強(qiáng)度的影響Fig.8 The Influence of the widths of the splayed walls on the sound energy strength

3.2 側(cè)向反射聲及早期聲分析

20世紀(jì)60年代末，聲學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了側(cè)向反射聲能對(duì)于聽覺空間感的重要性，據(jù)此提出了若干評(píng)價(jià)指標(biāo)，較重要的是側(cè)向能量因子(Lateral energy factor,LEF)，LEF的定義為

式(16)表示直達(dá)聲到達(dá)后延遲5～80 ms之內(nèi)的能量與80 ms之內(nèi)到達(dá)的總能量之比。為了得到八字墻對(duì)側(cè)向反射聲的作用，將庭院模型中除了后墻的其他三面墻設(shè)為完全匹配層(Perfectly matched layer,PML)吸收邊界，即忽略側(cè)墻的側(cè)向反射聲。在戲臺(tái)模型的正前方設(shè)3個(gè)接收點(diǎn)R1、R2、R3，八字墻的正前方另設(shè)3個(gè)接收點(diǎn)R4、R5、R6，如圖4所示，以下只討論八字墻寬度為5 m時(shí)三種夾角的聲場(chǎng)情況。經(jīng)計(jì)算，各個(gè)模型的側(cè)向能量因子如表1所示。圖9是4個(gè)模型R1點(diǎn)、R3點(diǎn)和R4點(diǎn)的脈沖響應(yīng)。

表1 各接收點(diǎn)在4個(gè)模型中的側(cè)向能量因子Table 1 Lateral energy factors of receivers in four models

表1的結(jié)果顯示，有八字墻的側(cè)向能量因子基本都比無(wú)八字墻的要大，最大的差值可達(dá)0.21，如果LEF值能達(dá)到0.2左右或者更大，說(shuō)明有較豐富的早期側(cè)向反射聲，其音樂聽感也較好[17]。而且，靠近八字墻正前方接收點(diǎn)的側(cè)向反射聲比正對(duì)戲臺(tái)接收點(diǎn)的側(cè)向反射聲豐富。從圖9中也可以看出，接收點(diǎn)R1的脈沖響應(yīng)中的反射聲沒有接收點(diǎn)R3和R4多。此外，60?夾角時(shí)，接收點(diǎn)R4、R5、R6的側(cè)向能量因子明顯小于30?與45?。從圖9(c)亦可見，夾角為60?時(shí)，直達(dá)聲與后墻第一次反射聲之間的脈沖響應(yīng)與無(wú)八字墻的差不多，而夾角為30?和45?時(shí)在直達(dá)聲與第一次反射聲之間還有一次較強(qiáng)的反射聲，此為八字墻提供的早期側(cè)向反射聲，比后墻第一次反射聲還先到達(dá)了接收點(diǎn)。因此，為了使八字墻提供更多的早期側(cè)向反射聲，夾角不宜取太大。

此外，從圖9各接收點(diǎn)脈沖響應(yīng)可看出，八字墻對(duì)早期聲(直達(dá)聲之后延遲50 ms內(nèi)到達(dá)的反射聲)亦有一定的加強(qiáng)作用。表2列出了有八字墻與無(wú)八字墻模型的早期聲能比，即

其中，p0表示無(wú)八字墻時(shí)的聲壓值，p1表示有八字墻時(shí)的聲壓值。由表2中結(jié)果可知，夾角取30?與45?時(shí)，早期聲能都大于無(wú)八字墻的情況，而夾角取60?時(shí)，接收點(diǎn)R1、R2、R3的早期聲能大于無(wú)八字墻的情況，接收點(diǎn)R4、R5、R6的早期聲能小于無(wú)八字墻的情況?？梢姡俗謮Φ拇嬖跁?huì)提供更多的早期聲，早期聲可以加強(qiáng)直達(dá)聲，提高聲源清晰度，但夾角仍然不宜取太大。

圖9 3個(gè)接收點(diǎn)在4個(gè)模型中的脈沖響應(yīng)Fig.9 Impulse responses of three receivers in four models

表2 有八字墻與無(wú)八字墻模型的早期聲能比Table 2 The ratios of early sound energy between models with splayed walls and without splayed walls

4 結(jié)論

共形時(shí)域有限差分法引入到聲波動(dòng)方程，有利于對(duì)曲面邊界建筑聲學(xué)問(wèn)題計(jì)算分析，相比于階梯近似法具有更高的精確度。共形時(shí)域有限差分法分析表明：(1)含有八字墻的戲臺(tái)比不含八字墻的戲臺(tái)能加強(qiáng)觀眾席的聲強(qiáng)。(2)八字墻與山墻之間的角度越小，越能加強(qiáng)正面觀眾席的聲音。若將觀眾席擴(kuò)充到更大的范圍，八字墻的夾角取45?或60?時(shí)比夾角取30?時(shí)的效果更好，但要綜合考慮戲臺(tái)正前方與兩側(cè)都能得到較強(qiáng)的聲能，夾角取中間值45?左右最好。(3)當(dāng)夾角一定時(shí)，八字墻的寬度越長(zhǎng)，越能加強(qiáng)觀眾席的聲能大小。(4)八字墻對(duì)早期側(cè)向反射聲起到一定的加強(qiáng)作用，使聽覺空間感更好，但夾角不宜取太大。(5)八字墻可提供更多的早期聲，加強(qiáng)直達(dá)聲的清晰度。

盡管沒有確切的八字墻起源的歷史記載，古人在戲臺(tái)設(shè)八字墻或許只是主觀經(jīng)驗(yàn)，但從本文計(jì)算分析結(jié)果看，八字墻對(duì)戲臺(tái)的聲場(chǎng)起到了一定的加強(qiáng)作用，在類似的自然聲演出場(chǎng)所可參考八字墻構(gòu)件改善聲音效果。