裂縫性巖石振動特性研究及有限元分析

閆立鵬

(中國石化石油工程技術(shù)研究院，北京 100101)

隨著深部地層勘探開發(fā)比例的逐年增加，復(fù)雜地層與難鉆地層鉆遇率升高，現(xiàn)有技術(shù)越來越不能滿足當今鉆井作業(yè)需求，亟需發(fā)展新的高效破巖技術(shù)解決當前鉆井作業(yè)難題[1～3]。因此，高頻諧波振動沖擊鉆井技術(shù)作為一種新的高效破巖技術(shù)被提出[4，5]，這里沖擊頻率大于10Hz稱之為高頻。在進行高頻諧波振動沖擊鉆井時，當諧振激勵的沖擊頻率與巖石的固有頻率相等時，巖石會產(chǎn)生共振，此時巖石的振動位移最大，最容易產(chǎn)生破壞，即共振鉆井。如何確定巖石的固有頻率，巖石在簡諧振動激勵下的振動響應(yīng)如何是需要解決的關(guān)鍵問題。

目前，有關(guān)梁結(jié)構(gòu)振動頻率的研究較為普遍[6～8]，楊美良等[9]對剪切變形下斜梁橋自振頻率的解析方法進行了研究。楊明鏡等[10]基于接觸非線性理論，提出了裂紋梁固有頻率近似計算法。王術(shù)新等[11]對工程中3種典型裂縫梁(簡支梁、自由梁和懸臂梁)的前三階固有頻率的變化率與裂縫位置和深度的關(guān)系進行了計算和分析。還有一部分學者對其余結(jié)構(gòu)的振動頻率進行了研究[12，13]，項松等[14]應(yīng)用Love的一階理論計算了旋轉(zhuǎn)功能梯度圓柱殼的固有頻率。周永兆等[15]利用多尺度方法分析了輸流管道非線性橫向振動的固有頻率。邱兆國等[16]利用超聲波垂直入射的方法，研究了粘接層界面具有彈簧模型的邊界條件下波的反射系數(shù)與諧振頻率的關(guān)系。但在已有的研究成果中，有關(guān)巖石振動頻率的研究并不多見，而關(guān)于裂縫對巖石振動頻率的影響研究更是少之又少。

筆者基于巖石模態(tài)理論，建立了裂縫性巖石固有頻率的理論計算模型，給出了巖石在簡諧振動激勵下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，同時應(yīng)用ANSYS有限元軟件分析了裂縫對巖石固有頻率的變化規(guī)律，旨在為高頻振動沖擊鉆井技術(shù)的實現(xiàn)提供理論基礎(chǔ)。

1 裂縫性巖石固有頻率計算模型

巖石存在著大量裂縫，這些裂縫影響著巖石自身的振動特性，為巖石的破碎提供了前提條件。巖石破碎時，隨著裂縫個數(shù)的增加或者裂縫的擴張，巖石強度降低，巖石的固有頻率也隨之改變。在巖石中選取含有一個裂縫單元的巖塊作為分析對象，如圖1所示，計算其固有頻率ωi。

圖1 巖塊分析單元

巖塊振動系統(tǒng)的固有頻率可以表示為:

(1)

式中：k為巖塊剛度，N/m；m為巖塊質(zhì)量，kg。

假設(shè)巖塊是理想化模型，其剛度可由彈性材料的剛度公式求得，即：

(2)

式中：L為巖塊長度，m；E為巖塊彈性模量，MPa；A為巖塊橫截面積，m2。

只考慮裂縫尺寸對巖石彈性模型的影響，可將其表示如下：

(3)

式中：C是裂縫的尺寸參數(shù)，m；a是裂縫單位面積的表面能，J/m2。

將式(2)、 (3) 代入式 (1) 可得：

(4)

(5)

式(5)即為裂縫性巖石固有頻率的理論計算公式。由式(4)可知，巖石的固有頻率隨裂縫尺寸的增加而減小。因此，在高頻振動沖擊鉆井時，當巖石裂縫由小到大擴張，沖擊頻率應(yīng)隨之從大到小變化，從而最大程度實現(xiàn)井底巖石的共振。

2 諧振下巖石的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

圖2 諧振激勵下巖石的幅頻特性曲線

巖石在簡諧振動激勵下，會產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。由振動學理論繪制巖石的幅頻特性曲線，如圖2所示。其中β為巖石的幅頻特性，表示巖石響應(yīng)的位移振幅放大因子；ω1/ω為激勵頻率與巖石固有頻率比；ζ為巖石的阻尼系數(shù)。

通過幅頻特性曲線進行分析，可得到如下3個結(jié)論：

1)當激勵頻率ω1?ω時，β=1。當激勵頻率很低，即ω1?ω時，β接近于1，說明當用低頻激勵井底巖石時，振動幅值接近于靜態(tài)位移，這時對井底巖石的強迫振動過程可近似地用靜變形過程來描述。因此，ω1/ω?1的這一頻率范圍又被稱為“準靜態(tài)區(qū)”。

2)當激勵頻率ω1→∞時，β→0。當激勵頻率ω1很高，即ω1/ω?1時，β<1，說明當用高頻激勵井底巖石時，由于自身慣性的影響，井底巖石來不及對高頻激勵做出響應(yīng)，因而振幅很小。因此，此區(qū)域稱為“慣性區(qū)”。

3)當激勵頻率ω1≈ω時,β曲線出現(xiàn)峰值。當激勵頻率ω1與固有頻率ω在相近的范圍內(nèi)，即ω1/ω≈1，β曲線出現(xiàn)峰值，說明此時動態(tài)效應(yīng)很大，振動幅值高出靜態(tài)位移許多倍。

3 數(shù)值模擬

應(yīng)用ANSYS軟件模態(tài)分析模塊和諧響應(yīng)分析模塊求解巖石的固有頻率和諧振頻率，巖石的巖性分別為砂巖、石灰?guī)r、花崗巖和油頁巖，其彈性模量分別為4×1010、3.7×1010、2.6×1010和1.5×1010MPa。裂縫模型：常規(guī)裂縫尺寸為0.1mm×2mm×300mm的立方體，短裂縫模型尺寸為0.1mm×2mm×280mm的立方體，寬裂縫模型尺寸為1mm×2mm×300mm的立方體。

有無裂縫的巖石不同階下的巖石模態(tài)如圖3、圖4所示。由圖3可知，每一種巖石均具有不同階的模態(tài)，巖石在簡諧振動激勵下，當激勵頻率與巖石任意一階模態(tài)大小相等時，巖石即可產(chǎn)生共振，產(chǎn)生顯著的振動位移。不同巖石的固有頻率不同，巖石的彈性模量越大，巖石的固有頻率越大。這是由于巖石的彈性模量越大，巖石越難產(chǎn)生變形，因而引起巖石產(chǎn)生振動需要的能量更大，激勵頻率更高。對比圖3和圖4可知，存在裂縫的巖石低于同等條件下無裂縫巖石的各階模態(tài)，說明裂縫的存在降低了巖石的固有頻率。

圖3 無裂縫巖石不同階下的巖石模態(tài) 圖4 有裂縫巖石不同階下的巖石模態(tài)

具有不同長度和不同寬度的水平裂縫和垂直裂縫的巖石諧振頻率如圖5～圖10所示。由圖5～圖10可知，水平裂縫、水平短裂縫及水平寬裂縫的諧振動頻率分別為3600、3900、3200Hz，垂直裂縫、垂直短裂縫及垂直寬裂縫的諧振頻率分別為4000、4250、2000Hz。由具有不同尺寸的2種裂縫的巖石諧振頻率對比說明，裂縫長度越長，寬度越大，巖石的諧振頻率越小，這均是由于巖石剛度降低造成的。

圖5 水平短裂縫諧振頻率 圖6 水平寬裂縫諧振頻率

圖7 水平裂縫諧振頻率 圖8 垂直短裂縫諧振頻率

圖9 垂直寬裂縫諧振頻率 圖10 垂直裂縫諧振頻率

此外，由數(shù)值模擬結(jié)果可知，巖石在簡諧振動激勵下的振動響應(yīng)與幅頻特性曲線符合性較好，當激勵頻率與巖石固有頻率相等時，巖石的振動響應(yīng)會出現(xiàn)峰值，此時巖石處于失穩(wěn)狀態(tài)，振動響應(yīng)最劇烈，最容易達到其斷裂極限而發(fā)生破碎。當以非共振頻率激勵巖石時，巖石也會發(fā)生上下的往復(fù)振動，只是此時巖石的振動響應(yīng)和共振狀態(tài)下相比非常微弱。

4 結(jié)論

1)建立了裂縫性巖石固有頻率的理論計算模型，由模型可知，巖石的固有頻率與巖石材料特性和裂縫尺寸密切相關(guān)，裂縫存在會降低巖石的固有頻率。

2)給出了諧振激勵條件下巖石穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的幅頻特性曲線，當激勵頻率與巖石固有頻率相接近時，巖石的振動響應(yīng)會出現(xiàn)峰值。

3)由有限元數(shù)值模擬分析可知，巖石的彈性模量越大，固有頻率越大；裂縫長度越長，寬度越大，巖石的諧振動頻率越小。數(shù)值模擬結(jié)果對理論模型進行了驗證。