淺談數(shù)學(xué)中的美

代莉

（重慶市綦江職業(yè)教育中心，重慶 401420）

什么是美？自古以來(lái)，人類從來(lái)沒(méi)有停止過(guò)對(duì)美的學(xué)習(xí)，而且對(duì)“美是什么？”都有不同的衡量標(biāo)準(zhǔn)和價(jià)值取向，見(jiàn)者見(jiàn)智。那到底什么是美呢？俗話說(shuō)：“愛(ài)美之心，人皆有之?！敝睦顫珊翊髱熢f(shuō)過(guò)：“完好、和諧、鮮明、真與善、規(guī)律性與目的性的統(tǒng)一，就是美的本質(zhì)和根源”。

一、數(shù)學(xué)中的符號(hào)美

據(jù)我觀察，“惰性”無(wú)論是在自然界，還是在人類的世界都受到我們的熱烈追捧，只要能夠偷懶，能夠簡(jiǎn)潔，我們就絕不會(huì)去“多此一舉”：光沿直線方向傳播，這是因?yàn)樗亲顬楸憬莸木嚯x；大雁遷徙時(shí)呈人字飛行，這是由于他們所受到得阻力最小；在人體中，人的粗細(xì)血管之比是這又是緣于它在疏導(dǎo)液體時(shí)能量消耗得最少……這些都向我們展示了萬(wàn)事萬(wàn)物的簡(jiǎn)潔與和諧。宇宙萬(wàn)物都是如此，那數(shù)學(xué)更不用說(shuō)了。法國(guó)哲學(xué)家狄德說(shuō)道：數(shù)學(xué)中所謂美的回答，是關(guān)于困難而繁雜的題目的簡(jiǎn)單回復(fù)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)單是體現(xiàn)在簡(jiǎn)單的語(yǔ)言和求解方法簡(jiǎn)單。數(shù)學(xué)，不喜歡笨拙和復(fù)雜。

那現(xiàn)在我們就來(lái)看看數(shù)學(xué)符號(hào)吧！數(shù)學(xué)符號(hào)的首要在于它存在無(wú)限的氣力和門徑來(lái)協(xié)助直覺(jué)，把自然和社會(huì)甚至于宇宙中的數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)起來(lái)，去回答那些已知或未知的問(wèn)題，去創(chuàng)造更新、更深的思維形式。如：

(一)表示數(shù)的符號(hào)，如0，1，2，…，8，9這類數(shù)字在學(xué)習(xí)了計(jì)數(shù)的方法后，我們將使用它們來(lái)代表不同的數(shù)字。

(二)括號(hào)，如（），［］，{}，等等；通過(guò)它，可以對(duì)代數(shù)符號(hào)與符號(hào)構(gòu)成式子（或項(xiàng)），進(jìn)行組織，使之能形成各種復(fù)雜的結(jié)構(gòu)。括號(hào)在數(shù)學(xué)上，特別是代數(shù)公式語(yǔ)言的構(gòu)成上起著十分重要的作用。[5]

(三)語(yǔ)標(biāo)符號(hào)，數(shù)學(xué)有一些語(yǔ)標(biāo)符號(hào)。這是表示特定的數(shù)學(xué)對(duì)象的符號(hào)，其書(shū)寫形態(tài)也 專門為此而“發(fā)明”的。大家最熟悉的數(shù)字0，1，2，…，9便是語(yǔ)標(biāo)符號(hào)的例子，其他還有+、-、×、÷、，…，等等。

二、數(shù)學(xué)中的抽象美

萬(wàn)有引力的萌芽，在牛頓之前的歷史上早就有存在，但僅僅只有當(dāng)牛頓通過(guò)用數(shù)學(xué)公式精確的表達(dá)時(shí)，才成為科學(xué)中最有意義、最重要的萬(wàn)有引力定律。愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論的孕育與發(fā)表，也得益于黎曼幾何所供應(yīng)的數(shù)學(xué)框架和門徑。

當(dāng)數(shù)學(xué)家的思想變得更抽象時(shí)，他會(huì)發(fā)現(xiàn)使用物理世界來(lái)測(cè)試他的直覺(jué)越來(lái)越難。為了確認(rèn)直覺(jué)，他必須更詳細(xì)地，更小心地下定義和證明，和為了到達(dá)更高程度的精確性而進(jìn)行的連續(xù)的努力，這樣以來(lái)也使得數(shù)學(xué)本身得以成長(zhǎng)了。

數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔性在很大的程度上是源自數(shù)學(xué)的抽象性，換句話說(shuō)：數(shù)學(xué)概念正是從眾多事物共同屬性中抽象出來(lái)的。而對(duì)日益擴(kuò)展的數(shù)學(xué)知識(shí)總體進(jìn)行簡(jiǎn)化、廓清和統(tǒng)一化時(shí)，抽象更是必不可少的。

如前所述，微積分的創(chuàng)始人牛頓和萊布尼茲分別從力學(xué)(研究物體的速度、加速度)和幾何學(xué)(討論曲線的切線)不同角度引入建立同一概念、創(chuàng)立同一學(xué)科——微分學(xué)；而他們又分別從“反運(yùn)算”和“微分求和”不同角度建立另一門學(xué)科——積分學(xué)。這也使微分、積分(微積分)成為一個(gè)不可分離的整體學(xué)科。

同一個(gè)拉普拉斯(Laplace)方程：

它可以用來(lái)表示溶質(zhì)，穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程的動(dòng)態(tài)平衡，彈性膜的平衡，也可以說(shuō)是靜電場(chǎng)電位，真空中的引力勢(shì)以及不可壓流體的定常運(yùn)動(dòng)等等。

這個(gè)方程因?yàn)槌橄笮远蔀槠者m固然，方程本身的表達(dá)形式亦然很美，除符號(hào)美外，它還具對(duì)稱美、簡(jiǎn)潔美)，這顯然也是數(shù)學(xué)本身的一大特色。

三、數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一美

數(shù)學(xué)起源于哲學(xué)，哲學(xué)中的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律反映在數(shù)學(xué)上就是其統(tǒng)一性。統(tǒng)一是簡(jiǎn)單的基礎(chǔ)，簡(jiǎn)單是數(shù)學(xué)的魅力。用統(tǒng)一的眼光看數(shù)學(xué)，則動(dòng)與靜是統(tǒng)一的，數(shù)與式是統(tǒng)一的，運(yùn)算與映射是統(tǒng)一的，二維與三維是統(tǒng)一的。用統(tǒng)一的眼光看數(shù)學(xué)，才能將數(shù)學(xué)由厚讀薄，由淺入深，才能領(lǐng)略到數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔之美。

數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一性，是指數(shù)學(xué)中部分與部分，部分與整體之間的和諧一致。數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，美在數(shù)學(xué)對(duì)客觀世界和諧協(xié)調(diào)、井然有序的真實(shí)反映上。數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美，使人們對(duì)數(shù)學(xué)能夠居高臨下、攬括一切，增強(qiáng)人們洞察世界的深度、廣度。

微分和積分最先是當(dāng)作兩種數(shù)學(xué)的運(yùn)算、兩類的數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)分別以研究。但是當(dāng)牛頓與萊布尼茨獨(dú)立地將微分和積分真正溝通，用微積分基本定理使得這兩種數(shù)學(xué)的運(yùn)算統(tǒng)一起來(lái)，正確清楚地找到了兩種運(yùn)算的內(nèi)在的聯(lián)系：微分和積分是互逆的兩種運(yùn)算，微積分學(xué)才真正的建立起來(lái)。

四、數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美

“對(duì)稱”這一詞在古代的含意是“協(xié)調(diào)”、“雅觀”。事實(shí)上，這個(gè)詞是從希臘語(yǔ)翻譯，原文的意思是“在一些物品的布置時(shí)出現(xiàn)的般配與和諧。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派認(rèn)為，一切空間圖形中，最美的是球形；一切平面圖形中，最美的是圓形。圓是中心對(duì)稱圖形——圓心是它的對(duì)稱中心，圓也是軸對(duì)稱圖形——任何一條直徑都是它的對(duì)稱軸。畢達(dá)哥拉斯說(shuō)：“一切立體圖形中，最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形。”因?yàn)檫@兩種形體在各個(gè)方向上都是對(duì)稱的。此外，像一般的正多邊形，正多面體，旋轉(zhuǎn)體與圓錐曲線給出了完美的對(duì)稱美。

對(duì)稱是數(shù)學(xué)美的一個(gè)重要內(nèi)容，它為人們提供了一個(gè)良好的平衡和充分的享受和審美，其實(shí)質(zhì)是對(duì)數(shù)學(xué)概念，對(duì)立統(tǒng)一的重要體現(xiàn)，在形式和結(jié)構(gòu)命題和圖形中也有著不可磨滅的必要性。對(duì)稱圖形與其變換在幾何中的是明顯對(duì)稱的，從最基礎(chǔ)的圓、橢圓、雙曲線到各類幾何變換群的對(duì)稱性都體現(xiàn)的非常明顯，這些對(duì)稱性是數(shù)學(xué)的形式美的表現(xiàn)，它直觀給人以美的享受。但是數(shù)學(xué)中更多的是數(shù)學(xué)的基本概念、定理、法則的對(duì)稱性，這也是數(shù)學(xué)內(nèi)容的對(duì)稱美的表現(xiàn)。

在小學(xué)數(shù)學(xué)中，奇數(shù)與偶數(shù)，合數(shù)與質(zhì)數(shù)，約數(shù)與倍數(shù)，整數(shù)與分?jǐn)?shù)，和與差等都有一種很強(qiáng)的對(duì)稱美感。幾何圖形里，平行四邊形的兩對(duì)邊等，三角形中的角與對(duì)邊，都迸發(fā)著對(duì)稱美的光輝。被稱為最美的平面圖形就是圓，這是因?yàn)閳A具有最多的對(duì)稱性。

總之，數(shù)學(xué)之美的每一側(cè)面的美都不是孤立的，她們是相輔相成、密不可分的。如果在學(xué)習(xí)過(guò)程中，我們要與數(shù)學(xué)家一起探索、發(fā)現(xiàn)，從中獲得成功的喜悅和美的享受，那么我們就會(huì)不斷深入其中，欣賞和創(chuàng)造美。