履帶式全方位移動平臺的運(yùn)動學(xué)分析與仿真*

張?jiān)ツ希?遠(yuǎn)，楊懷彬，崔 智，史浩楠

（陸軍裝甲兵學(xué)院，北京 100072）

0 引言

全方位移動平臺能夠?qū)崿F(xiàn)前后平移、左右平移和繞自身旋轉(zhuǎn)3個自由度的運(yùn)動，這種運(yùn)動學(xué)上的優(yōu)勢使其在狹窄空間作業(yè)的機(jī)器人運(yùn)動系統(tǒng)得到廣泛應(yīng)用，并成為機(jī)器人移動機(jī)構(gòu)的一個主要發(fā)展趨勢［1］。全方位移動平臺種類多樣，其中以Mecanum輪式移動平臺的研究和應(yīng)用最為成熟［2］。Mecanum輪式移動平臺采用與普通轎車相似的布局形式，可擴(kuò)展性強(qiáng)，與其他全方位移動平臺相比具有較強(qiáng)的承載能力，而且平臺的相關(guān)控制技術(shù)成熟，故得到了較為廣泛的應(yīng)用，例如物流倉儲中使用的Mecanum輪式叉車。由于Mecanum輪自身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使得輥?zhàn)虞S向受力大、易磨損，且在輪子正常運(yùn)動時輥?zhàn)右话惆殡S有滑動［3］，無法準(zhǔn)確完成直線運(yùn)動。Mecanum輪式移動平臺在運(yùn)動過程中振動大，越野、越障能力差，在地面濕滑的情況下，運(yùn)動能力差。

為了改善Mecanum輪式移動平臺的運(yùn)動能力，一種思路是直接對Mecanum輪進(jìn)行改進(jìn)，包括設(shè)計(jì)橢圓形的 Mecanum 輪［4］，增加輥?zhàn)渔i緊機(jī)構(gòu)［5］，對輥?zhàn)雍穸妊a(bǔ)償［6］等，增加了輪的復(fù)雜程度，其加工成本和難度也較高，實(shí)際效果不好。另一種思路是受Mecanum輪式移動平臺的啟發(fā)，設(shè)計(jì)出履帶式全方位移動平臺，矩形布局的履帶式全方位移動平臺如圖1所示，其行走機(jī)構(gòu)的細(xì)節(jié)部分如圖2所示。履帶式全方位移動平臺的實(shí)用性強(qiáng)，應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，既能實(shí)現(xiàn)全方位運(yùn)動，又具有傳統(tǒng)履帶式移動平臺的優(yōu)點(diǎn)，如：運(yùn)動平穩(wěn)；接地面加大，載重能力強(qiáng)；越野能力強(qiáng)；具有一定的柔性，對不平路面具有一定的“濾波”作用等［7］。

圖1 矩形布局的履帶式全方位移動平臺

圖2 履帶式全方位移動平臺行走機(jī)構(gòu)

目前針對履帶式全方位移動平臺的研究很少，現(xiàn)有文獻(xiàn)中的運(yùn)動學(xué)方程和動力學(xué)方程的推導(dǎo)過程復(fù)雜，推導(dǎo)結(jié)果的通用性不強(qiáng)，并且只對矩形布局的履帶式全方位移動平臺進(jìn)行了驗(yàn)證，限制了對履帶式移動平臺運(yùn)動特性的進(jìn)一步研究。本文針對履帶式移動平臺的運(yùn)動學(xué)方程，提出一種較為簡便的推導(dǎo)方法，并以三角形布局的履帶式移動平臺為例，對運(yùn)動學(xué)方程進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1 運(yùn)動學(xué)方程

本文在運(yùn)動學(xué)方程推導(dǎo)的過程中進(jìn)行了簡化，并不直接針對履帶式全方位移動平臺進(jìn)行推導(dǎo)，而是針對在運(yùn)動學(xué)方程上等效的圓柱輥?zhàn)覯ecanum輪全方位移動平臺（以下簡稱“圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿悠脚_”）進(jìn)行推導(dǎo)，圓柱輥?zhàn)尤轿惠喓蛨A柱輥?zhàn)尤轿灰苿悠脚_如圖3、圖4和圖6所示。對比可知，履帶式全方位移動平臺和圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿悠脚_的區(qū)別在于是否有履帶和圓柱輥?zhàn)樱膸鲜菆A柱小輪）數(shù)量的多少，如果假設(shè)履帶式全方位移動平臺的履帶接地段的滑轉(zhuǎn)、滑移為零，圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿悠脚_的輥?zhàn)硬话l(fā)生滑移，那么二者的運(yùn)動學(xué)方程將是完全相同的。

1.1 圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿悠脚_運(yùn)動學(xué)建模

在本文中對全方位移動平臺的運(yùn)動過程作出如下假設(shè)：

1）平臺車體、全方位輪和地面均為剛體，平臺在理想的平面上運(yùn)動；

2）輥?zhàn)优c地面之間具有足夠大的摩擦力，輥?zhàn)硬话l(fā)生滑移；

3）平臺的重心在其平面幾何中心上；

4）假定輥?zhàn)优c地面的接觸點(diǎn)在全方位輪正下方，忽略圓柱輥?zhàn)尤轿惠嗈D(zhuǎn)動過程中輥?zhàn)优c地面接觸點(diǎn)的變化。

采用矢量分析法，圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿悠脚_的運(yùn)動學(xué)方程推導(dǎo)過程如圖3所示：

圖3 觸地圓柱輥?zhàn)邮疽鈭D

圖4 輪相對平臺質(zhì)心示意圖

對于由n個圓柱輥?zhàn)尤轿惠啒?gòu)成的移動平臺，首先討論第i個圓柱輥?zhàn)尤轿惠喌乃俣缺磉_(dá)式，圖3所示為基于圓柱輥?zhàn)尤轿惠喿鴺?biāo)系內(nèi)各量的定義，圖4所示為基于圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿悠脚_坐標(biāo)系內(nèi)各量的定義。定義輪轂轉(zhuǎn)過的角度為θi，輪轂轉(zhuǎn)速為θ觶i，圓柱輥?zhàn)愚D(zhuǎn)過的角度為，圓柱輥?zhàn)拥霓D(zhuǎn)速為，點(diǎn)Qi為圓柱輥?zhàn)拥闹行狞c(diǎn)，點(diǎn)Oi為輪轂的中心點(diǎn)，點(diǎn)Oi的速度向量為o觶i，全方位輪和地面的接觸線為圓柱輥?zhàn)由系木€li，過點(diǎn)Oi和Qi的直線和 li相交于點(diǎn) Ai，點(diǎn) Ai的速度向量為a觶i。定義 ω 為平臺車體轉(zhuǎn)動角速度，定義點(diǎn)B為平臺幾何中心，b觶為平臺的速度向量，定義di為從B點(diǎn)指向Oi點(diǎn)的向量，ei為沿輪轂軸線方向的單位向量，ki為沿OiQi方向的單位向量，fi為過點(diǎn)Oi且垂直于ei和ki的單位向量，mi為沿圓柱輥?zhàn)虞S線方向的單位向量，ni為過點(diǎn)Oi且垂直于mi和ki的單位向量，R為全方位輪半徑，r為圓柱棍子半徑。

將Oi點(diǎn)的速度與Ai點(diǎn)的速度聯(lián)系起來，有

其中，vi為Oi相對于Qi的速度。

記ωR為輪轂角速度，ωr為輥?zhàn)咏撬俣龋瑒t有

從線速度的角度有

也即有

將式（4）代入式（1）得

下面討論Oi相對于B點(diǎn)的速度表達(dá)式，如圖4所示，有

據(jù)圖4中矢量之間的關(guān)系有

將式（5）兩邊同時點(diǎn)乘 mi，并將式（7）代入可得，

將式（6）兩邊同時點(diǎn)乘 gi，可得

聯(lián)立式（8）和式（9），可得θ觶i和 ω 與b觶的關(guān)系為

考慮n個圓柱輥?zhàn)尤轿惠喌倪\(yùn)動方程，則平臺的逆運(yùn)動學(xué)方程為

相應(yīng)的，平臺的正向運(yùn)動學(xué)方程為

平臺能實(shí)現(xiàn)全方位運(yùn)動的必要條件是系統(tǒng)的速度逆雅可比矩陣滿秩，即rank（K）=3，此時系統(tǒng)不存在奇異位形。

1.2 矩形布局的履帶式全方位移動平臺運(yùn)動學(xué)方程

應(yīng)用式（11）和式（12），對如下頁圖 5所示的矩形布局的履帶式全方位移動平臺進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析，圖中履帶上的小輥?zhàn)佑弥本€段代替。根據(jù)1.1的內(nèi)容，首先將矩形布局的履帶式全方位移動平臺等效成矩形布局的圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿悠脚_，對其進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析，如圖6所示。圖5和圖6均為俯視圖。圖6中表示平臺的廣義速度，表示4個輪子的轉(zhuǎn)速，方向符合右手定則，L和l分別表示前后輪之間距離的一半和左右輪之間距離的一半，圓柱輥?zhàn)优c輪軸的夾角分別取45°和-45°。根據(jù)式（11）和式（12）可以得到圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿悠脚_的正向運(yùn)動學(xué)方程為

圖5 矩形布局的履帶式全方位移動平臺結(jié)構(gòu)圖

圖6 矩形布局的圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿悠脚_

逆向運(yùn)動學(xué)方程為

由前文1.1的分析可知，經(jīng)過等效分析得到的式（13）即為履帶式全方位移動平臺的正向運(yùn)動學(xué)方程，式（14）即為履帶式全方位移動平臺的逆向運(yùn)動學(xué)方程。此結(jié)論與文獻(xiàn)［7-8］的分析結(jié)果一致，并且已經(jīng)過圖1和圖5所示的履帶式全方位移動平臺進(jìn)行過實(shí)車驗(yàn)證，故可知本文運(yùn)動學(xué)分析方法的正確性。

2 分析與仿真

在1.1節(jié)運(yùn)動學(xué)方程的推導(dǎo)過程中，將全方位履帶等效成圓柱輥?zhàn)尤轿惠喬幚?，本質(zhì)上是作出假設(shè)，認(rèn)為履帶式全方位移動平臺的運(yùn)動學(xué)特性和履帶長度無關(guān)。為了證明該等效處理的正確性，同時驗(yàn)證本文公式結(jié)論的正確性，在Adams中建立車體相同，履帶長度不同的履帶式三角形全方位移動平臺模型，進(jìn)行中心轉(zhuǎn)向仿真驗(yàn)證。三角形車體為等邊三角形，三條履帶呈中心對稱分布。

2.1 履帶式三角形車體全方位移動平臺運(yùn)動學(xué)建模

對履帶式三角形車體全方位移動平臺進(jìn)行運(yùn)動學(xué)分析，如圖7所示。

圖7 履帶式三角形車體全方位移動平臺結(jié)構(gòu)示意圖

圖7 為俯視圖，圖中按逆時針方向?qū)?條履帶進(jìn)行了從 1到 3的編號，ω1，ω2，ω3分別表示 3條履帶的轉(zhuǎn)動角速度，方向符合右手定則，VyOVx為車體坐標(biāo)系，ωz為車體中心轉(zhuǎn)向角速度，圓柱輥?zhàn)优c輪軸的夾角均為45°。設(shè)三角形車體中心點(diǎn)O到履帶對稱中心線的垂直距離為l，履帶的主動輪半徑為R，那么根據(jù)1.1的分析過程和式（11）可以得到履帶式三角形全方位移動平臺的逆運(yùn)動學(xué)方程為

由式（15）可知，雅可比矩陣的秩有 rank（K）=3，滿足全方位運(yùn)動的條件，故履帶式三角形全方位移動平臺能夠進(jìn)行全方位運(yùn)動。

根據(jù)式（12）和式（15）可知平臺的中心轉(zhuǎn)向角速度表達(dá)式為

2.2 履帶式三角形車體全方位移動平臺仿真與分析

3種平臺的Adams模型如下頁圖8所示，測量可得l=0.685 m，R=0.112 m。為了方便將仿真結(jié)果進(jìn)行對比，設(shè)定ωz=1 rad/s，假設(shè)每個平臺3條履帶的角速度都相等，則根據(jù)式（16）有 ω1=ω2=ω3=6.116 1 rad/s。

圖8 3種平臺的Adams模型

圖9 3種平臺的中心轉(zhuǎn)向角速度值平均值

3種平臺經(jīng)仿真驗(yàn)證均能實(shí)現(xiàn)平面上的全方位運(yùn)動，主動輪的速度輸入均為 STEP（TIME，0，0，0.5，6.116 1），參數(shù)和仿真結(jié)果對比見表 1，其中的中心轉(zhuǎn)向角速度平均值是取0.5 s之后的中心轉(zhuǎn)向角速度值求均值得出，仿真結(jié)果如圖9所示。由表1和圖9可知，3種平臺的中心轉(zhuǎn)向角速度誤差都在10%以內(nèi)，證明了相關(guān)公式結(jié)論和運(yùn)動學(xué)方程的正確性。

表1 3種平臺的參數(shù)和仿真結(jié)果

由表1和圖9還可以看出，履帶式三角形全方位移動平臺的中心轉(zhuǎn)向角速度平均絕對誤差，隨著履帶接地長度的增加而增加，這是因?yàn)槁膸Ы拥亻L度越長，與地面接觸的小輥?zhàn)拥拇蚧e累越嚴(yán)重的緣故［9］。

3 結(jié)論

本文提出一種簡便的履帶式全方位移動平臺的運(yùn)動學(xué)推導(dǎo)方法，在滿足1.1中4條假設(shè)的前提下，推導(dǎo)過程中將履帶式全方位移動平臺用圓柱輥?zhàn)尤轿灰苿悠脚_代替。將此方法應(yīng)用于矩形布局的履帶式全方位移動平臺，得出的運(yùn)動學(xué)方程與現(xiàn)有文獻(xiàn)的結(jié)論完全一致，并且已經(jīng)過實(shí)車驗(yàn)證。將此方法應(yīng)用于履帶式三角形車體全方位移動平臺的運(yùn)動學(xué)分析，在Adams中建立3種履帶長度不同的履帶式三角形車體全方位移動平臺，進(jìn)行中心轉(zhuǎn)向角速度對比仿真，得到3種平臺的中心轉(zhuǎn)向角速度平均絕對誤差均在10%以內(nèi)，證明該方法的正確性。